用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的最值問題

?祝燕

(作者單位： 廣東梅縣東山中學(xué)514700 )

用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的最值問題

?祝燕

以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，考查函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為目標(biāo)，是最近幾年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的顯著特點(diǎn)和命題趨向。解決導(dǎo)數(shù)在含參函數(shù)最值問題這類問題，主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問題。解決的主要途徑是將含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性弄明白。

題型一、函數(shù)含有參數(shù)，區(qū)間是確定的

(2014年安徽高考理科數(shù)學(xué)卷)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a>0．

(I)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；

∴f′(x)=-3(x-x1)(x-x2)．

當(dāng)xx2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x10．

(II)∵a>0，∴x1<0,x2>0．

∴f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值．

當(dāng)0

又f(0)=1,f(1)=a，

∴當(dāng)0

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在x=0處和x=1處同時(shí)取得最小值；

當(dāng)1

題型二、函數(shù)確定，區(qū)間含有參數(shù)

已知函數(shù)f(x)=xlnx， 求f(x)在[t，t+1](t>0)上的最小值；

所以函數(shù)f(x)在[t，t+2]上遞增，所以f(x)min=f(t)=tlnt；

題型三、函數(shù)、區(qū)間都含有參數(shù)

(2013年廣東高考卷21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R)

(1)當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

試題解析：(1)k=1時(shí)f(x)=(x-1)ex-x2

∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2)

當(dāng)x<0時(shí)ex-2<0，故f′(x)=x(ex-2)>0,f(x)單調(diào)遞增；

0< x0，故f′(x)=x(ex-2)<0，f(x)單調(diào)遞減；

x>ln2時(shí)ex-2>0，故f′(x)=x(ex-2)>0，f(x)單調(diào)遞增；

綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)和(ln2,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0,ln2)．

(2)f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k)

由(1)可知f(x)的在(0，ln2k)上單調(diào)遞減，

∴k-ln2k>0即k>ln2k ∴f(x)的在(0，ln2k)上單調(diào)遞減，在(ln2k，k)上單調(diào)遞增．

∴f(x)的在[0，k]上的最大值應(yīng)在端點(diǎn)處取得．而f(0)=-1，f(k)=(k-1)ek-2k3

∴當(dāng)x=0時(shí)f(x)取最大值-1．

對(duì)于用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的函數(shù)最值問題， 主要就是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)討論出函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的簡(jiǎn)單圖像，不論是函數(shù)含有參數(shù)，還是區(qū)間含有參數(shù)，都要做到討論的不重不漏，這樣才能正確的求出函數(shù)的最值。

(作者單位： 廣東梅縣東山中學(xué)514700 )