二項式定理的基本題型與思想方法

在高考中，對二項式定理考查往往既著眼于小處，又注重二項式定理的應用.基于此復習二項式定理，我們必須抓住其基本題型，并領會解題過程中體現的思想方法.

一、基本題型

基本題型1求二項展開式中指定項或指定項的系數

例1已知在（3x-123x）n的展開式中，第6項為常數項.

（1）求n;

（2）求含x2的項的系數;

（3）求展開式中所有的有理項.

解析：（1）通項公式為

Tr+1=Crnxn-r3（-12）rx-r3

=Crn（-12）rxn-2r3，

因為第6項為常數項，所以r=5時，有n-2r3=0，即n=10.

（2）令n-2r3=2，得r=12（n-6）=12×（10-6）=2，∴所求的系數為C210（-12）2=454.

（3）根據通項公式，由題意得10-2r3∈Z，

0≤r≤10，

r∈Z.

令10-2r3=k（k∈Z），則10-2r=3k，即r=5-32k，

∵r∈Z，∴k應為偶數.∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8.

所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為C210（-12）2x2，C510（-12）5，C810（-12）8x-2.

點評：①解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據所給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數（求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r）;第二步是根據所求的指數，再求所求解的項;②求二項展開式中的有理項，一般是根據通項公式所得到的項，其所有的未知數的指數恰好都是整數的項.解這種類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解.若求二項展開式中的整式項，則其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項的方式一致.

基本題型2二項式系數的性質

例2二項式（2x-3y）9展開式中，求

（1）二項式系數之和;

（2）各項系數之和;

（3）所有奇數項系數之和;

（4）系數絕對值的和.

解析：設（2x-3y）9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.

（1）二項式系數之和為：C09+C19+C29+…+C99=29.

（2）各項系數之和為：a0+a1+a2+…+a9.

令x=1，y=1，得a0+a1+a2+…+a9=（2-3）9=-1.

（3）由（2）知a0+a1+a2+…+a9=-1.①

令x=1，y=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=（2+3）9=59.②

①+②得a0+a2+a4+a6+a8=59-12，即為所有奇數項……