應用題考查熱點

數學應用題是指利用數學知識解決其他領域中的問題，高考對應用題的考查已經逐步成熟，特別是新課程標準出來之后，對應用問題考查的力度正在加大，考試注重分析問題及方法的新穎性，提高了對同學們適應陌生情境能力的考查.對于一些數學的應用問題，同學們往往感覺無從下手，十分困難.高考數學應用題的命題背景常常關注一些與函數導數、平面圖形、數列、空間圖形、概率統計等相關的問題.

一、與平面圖形相關的應用題

例1如圖，現要在邊長為100m的正方形ABCD內建一個交通“環島”.以正方形的四個頂點為圓心，在四個角分別建半徑為xm（x不小于9）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為15x2m的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于60m，繞島行駛的路寬均不小于10m.

（1）求x的取值范圍;（運算中2取14）

（2）若中間草地的造價為a元/m2，四個花壇的造價為433ax元/m2，其余區域的造價為12a11元/m2，當x取何值時，可使“環島”的整體造價最低？

①審題

（1）本題根據半徑、島口寬、路寬限制條件列方程組，即可得x的取值范圍;

（2）本題解題思路清晰，就是根據草地、花壇、其余區域的造價列函數關系式，再由導數求最值.

②建模

（1）由題意得，x≥9，

100-2x≥60，

1002-2x-2×15x2≥2×10，

解得x≥9，

x≤20，

-20≤x≤15，即9≤x≤15.

（2）記“環島”的整體造價為y元，則由題意得

y=a×π×（15x2）2+433ax×πx2+12a11×（104-π×（15x2）2-πx2）

=a11[π（-125x4+43x3-12x2）+12×104].

③求模

令f（x）=-125x4+43x3-12x2，則f′（x）=-425x3+4x2-24x=-4x（125x2-x+6），

由f′（x）=0，解得x=10或x=15.

列表如下：

x9（9，10）10（10，15）15

f′（x）-0+0

f（x）↘極小值↗

所以當x=10，y取最小值.

④還原

答：當x=10m時，可使“環島”的整體造價最低.

例2如圖，某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC=23π.管理部門欲在該地從M到……