壓縮映射原理

劉海軍

（甘肅省蘭州市永登縣第二中學,甘肅 蘭州 730300）

壓縮映射原理

劉海軍

（甘肅省蘭州市永登縣第二中學,甘肅 蘭州 730300）

本文介紹壓縮映射原理的內容和幾何描述及其壓縮映射原理的代數證明和幾何證明,并且論述了壓縮映射原理在求數列極限、線性代數方程組、微分方程、積分方程、數學模型方面和許多關于存在唯一性定理證明中的應用,在一些特殊的、復雜的微分方程、代數方程、積分方程等方程中,它不僅可以用來證明存在唯一性定理,而且也提供了對方程求解的方法———逐次逼近法,并很廣泛地被運用在求極限的問題上，同時論述了壓縮映射原理的推廣和證明及其在具體實例中的應用。

不動點;壓縮映射原理;數列;微分;積分

1 引言

壓縮映射原理是泛函分析中的一個最常用、最簡單的存在性定理。本文通過論述壓縮映射原理及其應用,并通過具體實例來說明用它可以處理一些利用分析方法比較難解決的問題。

2 壓縮映射原理的證明

壓縮映射理的背景：取一個淺盒和一張紙，紙恰好蓋住盒內的底面，可想而知此時紙上的每個點與正在它下面的盒底上的那些點配成對。把這張紙拿起來，隨機地揉成一個小球，再把小球扔進盒里。拓撲學家已經證明，不管小球是怎樣揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點，它恰好處在它盒底原來配對點的正上方.這個點就是我們要找的不動點，如何找這個點呢？

注解:紙被揉成球以后，看它現在投到紙盒底部的影子.紙盒底部的影子區域肯定比紙盒底要小。那么，就取【紙盒底部的在影子內的那個部分】，它肯定對應于紙團里面的某一小團部分.（因為整個底板對應于整個紙團，那么底板的一部分就肯定對應于一部分紙團）,假如去掉紙團的其他部分，那一小團部分同樣可以在紙盒底面投影，而且投影肯定比剛才的大投影小，而且在它之內。（因為它是在整個紙團之內）。那么，取這一小片投影（注意這片影子肯定是連續的不會斷開，因為紙沒有撕裂），當它再往紙團里對應的時候，肯定對應于其中更小的一團。我們再次把多余的紙去掉.就是說：整個紙盒底對應于紙團,紙盒【在紙團投影內的部分】對應于紙團內的一小塊,紙盒【一小塊的投影的部分】對應于剛才那一小塊內的更小一塊,紙盒【更小塊投影的部分】對應于更小塊中的更更小一塊，如此下去，不斷地去掉紙無限次，最后紙團只剩下了一個點，它的投影就對應于紙盒的一個點。

3 壓縮映射原理的推廣及其應用

3.1 壓縮映射原理的推廣

定理3.2（Browder不動點定理）:設En為有限維賦范空間，為有界凸閉集，:連續，則A在中至少有一個動點。

3.2 壓縮映射原理的應用

3.2.1 不動點定理在求數列極限中的應用

下面我們看一下不動點原理在求數列極限中的應用

3.2.2 不動點定理在積分方面的應用

3.2.3 不動點原理在數學模型中的應用

如果函數f（x）在［a，b］是一個連續函數，則根據連續函數的介值性定理可知：

推論4.若函數f（x）在f（［a，b］）h（θ）x連續且滿足f（［a，b］）則f（x）在［a，b］至少有一個不動點。

例3.2.5.1 日常生活中會有這樣的體驗：把椅子放在不平的地面上時通常三條腿著地放不穩,但是稍微挪動幾次就可以使四條腿著地而放平穩。現我們把該現象建模為一個數學問題，通過不動點定理來進行解釋。

解：模型假設：（1）椅子四條腿長度一樣，與地面接觸為一點，且四點連線為正方形。

（2）地面高度連續變化。

（3）椅子在任何位置都有三只腿著地。（4）椅子轉動時中心不變。

圖1

模型建立及求解：設著地點為A,B,C,D建立如圖坐標系，設θ為AC轉動后和x軸夾角，顯然f（θ）為A，C兩點于地面距離之和,g（θ）為B，D兩點于地面距離之和。

由地面平坦假設知f（θ）,g（θ）均連續,由椅子至少三條腿著地知對任意θ，f（θ），g（θ）至少有一個為零。

4 對壓縮映射原理的看法

數學分析中最重要的一部分知識是微積分,它是處理一系列數學問題,甚至其它學科的基礎工具,在解答微積分問題時,經常遇到很多有關存在唯一性問題。壓縮映射在幾何上的意思是說點x和y經T映射后,它們像的距離d（Tx,Ty）縮短了,不超過原像距離d（x,y）的a倍（a<1）。通過逐次逼近的方法，總可以找到方程的唯一解和數列的極限。

因此壓縮映射原理在數學分析、微分方程、積分方程、代數方程解的存在唯一性定理證明中起了重要作用。

[1]張恭慶.泛函分析講義[M].北京大學出版社，1999.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社，2002.

[3]龔懷云.應用泛函分析[M].西安交通大學出版社，2001.

[4]李大華.應用泛函教程[M].華中理工大學出版社，1999.

[5]安國勝.揭開不動點法求數列通項公式的神秘面紗[J].甘肅教育，2007，（47）.

[6]谷學偉等.不動點理論及其應用[M].太原師范學院學報(自然科學版)，2009.

[7]韓超.數學分析中的不動點問題[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2006.

[8]李慶揚等.數值分析[M].清華大學出版社，2009.

[9]邢家省.壓縮迭代序列的極限及其應用[J]河南科學，2008.

[10]程其襄等.實變函數與泛函分析基礎[M].高等教育出版社，1983.