懸索橋成橋狀態主纜非線性找形分析

徐朝前

（池州市建筑設計院，安徽 池州 247100）

懸索橋成橋狀態主纜非線性找形分析

徐朝前

（池州市建筑設計院，安徽 池州 247100）

論文從索單元的靜力平衡關系推導出懸索在外荷載作用下的坐標的表達式，并以此為基礎推導出求解分段懸鏈線索單元坐標求解的有限元迭代格式，用于懸索橋成橋狀態主纜找形分析。以前述理論基礎用大型數學軟件MATLAB編制了主纜找形的有限元程序，用于矮寨鋼桁懸索橋成橋線形分析中，驗證了理論的正確性。

主纜找形；分段懸鏈；線迭代方法；矮寨鋼桁懸索橋

【DOI】10.13616/j.cnki.gcjsysj.2016.07.073

1 主纜找形的分析方法

均勻的纜索在自重作用下，呈懸鏈線的形狀。有限元法應用于索結構分析的主要思路是:假定索單元的幾何形狀，推導其位移模式，計算變形前后的索長變化，根據平衡方程或者能量原理來推導剛度矩陣(彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣)，計算索單元端結點力和端結點位移的關系，集成結構整體平衡方程進行迭代計算，若控制變量誤差或結點不平衡余量誤差滿足精度要求，則認為得到了滿足要求的解，結束迭代。

對索結構常見的有限元分析方法有分段懸鏈線理論、分段拋物線理論、分段直線理論及傳統拋物線理論。其中分段懸鏈線法嚴格按照索單元的受力情況進行假定，計算結果最精確，但由于計算涉及大量三角函數，所以計算最耗時。其他方法對索結構的受力形式做了不同程度的簡化與假定，會降低計算精度，但是提高了計算效率。

2 平面索微段的平衡方程

2.1 索結構計算假定

1）索是理想柔性的，不能抗壓，也不能抗彎；

2）索的材料符合胡克定律；

3）主纜的橫截面積在外荷載作用下變化十分微小，計算主纜的抗拉剛度時，可以忽略這種變化的影響。

2.2 荷載分布與索單元形狀

圖1為一索單元平衡關系圖，qx和qz分別為索單元上沿x分布的橫向和豎向的荷載集度。H和V分別是索單元切向拉力T的水平分分量和豎向分量，坐標系和各量的正方向如圖1所示。

根據平衡關系有：

水平方向：H=H+dH+qxdx

豎直方向：V=V+dV+qzdx

化簡得平衡微分方程：

式中H′表示dH/dx。V′表示dv/dx,又根據幾何關系，V/H=dz/dx，代入式（1a）、式（1b），有

圖1 索微段平衡關系圖

索曲線找形問題便化為在一定邊界條件下，求解上述關于z（x）的平衡微分方程問題。對于一般的懸索橋而言，水平分布的荷載集度qx為零，所以H為沿索段不變的恒量。對于式（2b）而言，如果已知qz的分布情況，直接對式（2b）進行積分，即可得到索形z（x），索找形問題退化為線性問題，比如假設qz是沿x分布的常量q0，y″=-q0/H積分可知，索形為拋物線形狀；對于一般的索結構而言，豎向荷載集度一般是沿著索的弧長分布的，轉換成沿x方向分布后有由于qz與z是非線性關系，所以索曲線找形問題也是非線性的，需要迭代求解，此時索曲線呈懸鏈線形。對于實際的懸索橋結構，在空纜狀態，主纜僅受自重作用，自重集度沿弧長分布，所以此時呈標準的懸鏈線形狀。在成橋狀態，主梁的自重及二期通過吊桿傳給主纜，相當于每根吊桿給主纜施加了一個集中的外荷載，在吊桿之間的主纜僅承受沿弧長分布的自重，所以，此時主纜不再呈標準的懸鏈線，而是呈分段懸鏈線形狀。

2.3 分段懸鏈線索單元平衡方程

如前所述，實際的懸索結構荷載分布集度沿主纜弧長分布，索呈懸鏈線或分段懸鏈線形狀。現取吊桿之間的索單元進行分析：

圖2為一平面索單元受力示意圖，為了求解的方便，取Euler坐標為Cartesian坐標｛x，z｝，取Lagrange坐標｛s｝為無應力狀態下對應的無應力索長。Vi、Hi為Cartesian坐標系下索段單元i端點x，z方向所受的節點力，對應的切向力為Ti；q為索段沿弧長分布的自重荷載集度，各量值的正方向如圖2所示。

圖2 沿弧長分布的均布荷載作用的索段

取變形后索段上任意一點P，對應索段的張力為T，該點處對應索段長度微分由變形前的ds變為變形后的dp，且應滿足相容方程為

在索段的端點i，j節點應滿足邊界條件：

s=0時，x=0，z=0，變形后的索長p=0

s=s0時，x=1，z=h，變形后的索長p=s

令Hi=H，Vi=V，由力的平衡及質量守恒原理，應有：

根據Hook定律，張力與應變關系為：

2.4 懸鏈線索單元平衡微分方程求解

據式（4b）可得：

將（4a）、（4b）兩式兩端平方后代入幾何相容方程（3），可以求得任意Lagrange坐標位置下的張力：

根據式（4a）、式（5a）得到

將上式在（0，s）區間內積分，因為：

可得：

該式表明了索段上任意一Lagrange坐標為s的點對應變形后的Euler坐標。

利用式(4b)和式(5b)可以得到

對式（10）在區間（0，s）內直接積分可得：

上式描述了任意Lagrange坐標位置在變形后的豎向位置,根據上述公式，將相應的坐標換為j點位置的坐標，便可得索段單元j端的相關量值，計算結果如下：

水平投影長度：

豎向投影長度：

2.5 索段數值計算的兩類問題

通過式(12a)和式(12b)可知，對于一條無應力索長S0給定的索段，如果已知一個端點的內力H和V，則其跨度l和兩端點的高差h就已經確定；若已知索段的跨度l和兩端點的高差h，就可以計算索段的內力。可見對于一索微段的方程組，獨立的未知數有三個，而且索的內力和線形一一對應。

對于懸索橋的計算，一般需要解決索段數值計算的兩類問題：第一類是已知H，V及跨度l，求解S0和h，第二類問題是已知索段的無應力長度S0、跨度l和高差h，求解H和V。

3 懸索橋成橋主纜線形分析

在懸索橋的成橋狀態，主纜恒載集度q，中跨吊桿間距li，矢高f，鞍座上IP點坐標均已知，根據2.5節可知，懸索橋成橋線形分析屬于二類問題中的后者。

對于主纜而言，所受荷載為沿弧長均布的主纜自重及吊桿施加給主纜的集中荷載，后者包括索夾、吊索、錨頭自重以及通過吊索傳遞的加勁梁恒載及橋面二期恒載。

根據前述理論，將成橋狀態懸索橋簡化為圖3(a)所示的受力模式，為了尋找主纜變形后在吊索力作用下的平衡索形，主纜被分割成獨立的5部分，它們靠支座的左、右邊豎向力和水平力的平衡條件取得聯系。

圖3 成橋狀態主纜力學模型示意圖

設主跨主纜被分割成n個索段，共有n+1個節點，取圖3（b）的第i段索進行受力分析，根據公式（12a）和（12b），吊索間任意一索段都必須滿足：

i號梁段水平投影長度（等于吊桿間距）：

i號豎向投影長度：

對僅有垂直吊桿的情況：

若未特別說明，各量的符號意義同前。中跨的吊桿間距li，矢高f，鞍座上的IP點坐標為設計參數，均視作已知，計算結果應滿足這三個參數對應的協調條件：

式中，m為索鞍到設計變量C位置處主纜劃分的單元數，A為IP點之間的高差。A、C可以通過設計參數得到。

4 真實索形的迭代方法

實際計算時，根據初擬索形得到索鞍處近似的豎向力H*和V*，代入式（15）得如下誤差方程：

設迭代目標函數為φ=（ef）2+（ey）2，“*”表示初擬量，不一定是準確量。

成橋狀態主纜找形的迭代步驟如下：

1）根據鞍座位置處初擬的H*和V*得到第一次迭代的水平力H(1)1、V(1)1，左下標“（1）”表示節點號，右上標“1”代表迭代次數。

2）根據H(1)1、V(1)1計算

3）計算誤差向量及目標函數φ1

4）判斷目標函數是否小于預設值誤差限值ε，若φ1<ε，則求解結束，否則繼續計算，求解影響矩陣。

5）分別使初擬的力H*和V*產生單位增量，即H*=H*+1和V*=V*+1，分別代入式（16）求解相應的誤差向量ey1和ef1，從而得到誤差影響矩陣：

式中第一列為豎向力V引起的ef1和ey1，第二列為水平力H引起的ef1和ey1。

6）求出H、V的修正向量（ΔV，ΔH）

7）修正索端力 H（1）2=H（1）1+ΔH，V（1）2=V（1）1+ΔV進入下一次迭代，直至滿足φ<ε

8）根據真實的IP點和H、V，求解主纜處吊索吊點豎坐標yi

9）根據IP點的實際的H和V，和計算邊跨主纜的成橋線形，根據主索鞍和準索鞍的設計半徑，可計算主纜與鞍座的切點坐標；根據吊桿在主纜和橋面上的y坐標，可以計算吊索在成橋狀態的長度。至此，整個吊索部分的受力與幾何形態都被唯一確定。

迭代過程收斂速度與初擬的H*和V*有很大關系，文獻[7]給出了初值估算的簡便公式：

在上述迭代過程中，第i段索的無應力索長是未知的，吊桿間距和索鞍處的力H*和V*的已知，求解si為索形問題中的第一類。所以懸索成橋狀態找形包含了索段數值計算的兩類問題。由于式(13a)為超越方程，需要通過迭代求解。

設函數

式中Hi，E，A，li均為已知量。將f（si）對si求導：

對于實際的橋梁，Hi>0，si>0，從而在[0,+∞]內，恒有：

可見，f（si）在[0,+∞]內單調增加且有唯一實根，對方程(14)的求解采用改進的Newton割線法。具體步驟如下：1）選取兩個初值X1=li，X2=li+0.1；2）計算f1=f（X1），f2=f（X2）

3）若f1.f2<0，進行下一步，否則令X1=X1-0.1，X2=X2+0.1，返回(2)

5）計算f=f（X）

返回（2）

綜上，懸索橋成橋狀態主纜找形迭代流程圖如圖4所示。

圖4 主纜找形迭代流程圖

5 實例驗證

根據上述迭代步驟，用Matlab編制了索單元找形的通用程序，應用于矮寨鋼桁懸索橋的主纜成橋狀態找形分析中，并與通用有限元程序midas的計算結果進行對比。

5.1 工程背景

矮寨鋼桁懸索橋主纜的孔跨布置為：242m+1176m+116m，主梁全長1000.5m；采用兩根主索，主索垂跨比F/L=1/9.6，主索中心距為27m，采用平面索布置；全橋采用71對吊索，吊索標準間距為14.5m，端吊索的間距29m；主跨梁高（主桁中心線處）7.5m。主跨主纜每延米自重36.6493kN/m。兩側索塔錨固點高程不等高，左側IP點高程為699.716m，右側為709.124m（見圖5）。

5.2 通用有限元程序模型

全橋模型中桁梁采用空間模型，全橋模型包括兩個索面主纜、單主梁、門式式塔、鞍座、吊索、錨固拉索、中央扣、彈性索、橋面板。全橋有限元模型：主纜、吊索、中央扣采用索單元；桁梁主桁（弦桿、豎腹桿、斜腹桿、抗風板）、桁梁橫桁（弦桿、豎腹桿、斜腹桿）、上下平聯、橋塔、索鞍、橫梁、散索鞍、橋面板采用梁單元；彈性索采用索單元。主纜與塔頂采用彈性連接中的剛性連接；墩柱與索塔底固結約束；主纜端部三向線位移固結約束。共48+36+3628+138+130+4= 3984個梁單元，105+105+77+77=364個桁架單元（見圖6）。

圖5 矮寨鋼桁懸索橋總體布置圖

圖6 全橋Midas有限元模型

表1 主纜成橋狀態線形計算結果對比

5.3 計算結果對比

為了節省篇幅，給出部分節點的計算結果，并分別與midas與設計院給出的計算標高進行對比。其中設計院計算軟件采用西南交通大學開發的 《橋梁結構空間靜動力非線性分析系統SBS2000》。（表1）

以矮寨鋼桁懸索橋為工程實例，分別使用大型通用有限元程序Midas和自編懸索橋成橋狀態找形程序，計算該橋成橋狀態主跨主纜節點坐標，并與設計院給出的設計值進行了對比，由結果可知，自編程序與Midas計算結果最大差2.8cm，自編程序與設計院給出的結果最大差0.9cm，相對與跨徑誤差＜1/1000，足以滿足工程要求。驗證了本文所提出的理論和自編程序的正確性。

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【11】王正林，劉明.精通MATLAB[M].電子工業出版社.

Non-linear Shape-finding Analysis for Suspension Bridges under Dead Load

XUChao-qian
（ChizhouArchitecturalDesignInstitute,Chizhou247100,China）

In thispaper, the coordinatessuspension under external loadwere got based on the statical equilibriumrelationship ofa cable segment. Furthermore, finite element iterative formulasfor segmental catenarycablewasintroduced,usingfor suspension bridgesshape-finding.Based on above thesis, shape-finding finite element program was compiled with mathematics software MATLAB and was applied to find the shape of the main cable for Aizhai suspension bridge. Which proved the correctnessofthethesisandtheprogram.

shape-findingformaincable;segmentalcatenary;iterativemethod;aizhaisteelsuspensionbridge

TU997

A

1007-9467（2016）07-0114-04

2016-6-14

徐朝前（1978~），男，安徽池州人，高級工程師，從事建筑結構設計研究，（電子信箱）1033404195@qq.com。