可見的小學數學核心素養
——以“埃及分數”教學為例

陳六一，張 浩

（1.蘇州市陽山實驗小學校，江蘇 蘇州 215151；2.蘇州市高新區金色小學，江蘇 蘇州 215000）

教學核心素養，關乎著培養什么樣的人。可是，如果只有理念沒有行動，教育就是海市蜃樓。雖然我們在普遍性中進行思考，但卻生活在細節之中。所以小學數學課堂，要看得見學生“對數學的持久興趣，對數學思想的融會貫通”[1]。當小學數學核心素養落地，成為學生的自覺，教與學才可謂“君子不器”。

一、可見的教：平衡表層理解與深層理解

表層理解涉及對觀念或事實的認知，深層理解的兩個過程——關系加工和精細加工，造成了思維性質的變化。關系加工的問題需要學生把一種組織模式施予既有材料之上；精細加工需要學生超越既定信息、知識觀念，提出適用于所有情況的更為普遍的規則或者證明。從這些表層的和深層的認知與理解當中，學生能夠建構觀念，進而形成他們參與表層和深層學習的方法。

但并不是說，表層理解必然是劣質的，深層理解則完全是好的。正確的觀點是強調在兩者之間的平衡：因為學習的過程是一段從觀念走向理解再走向建構，并繼續往前走的旅程；是一段學習、遺忘學習、融通學習的旅程。[2]

【案例1：認識埃及分數】

師：同學們，今天我們一起來研究一節課本上沒有的數學知識，愿不愿意挑戰？

生：愿意。

師：出示大屏幕，研究什么？

生：埃及分數。

師：對于埃及分數，你有什么提問的嗎？

生：分數還分國度嗎？

生：什么叫作埃及分數？

師：容我賣個關子，先插播一道數學問題，3塊同樣大小的餅，平均分給4個同學，每人分得多少塊餅？

生：3÷4=（塊）

師：懂了，我們五年級時，是這樣思考的，可是四五千年前的埃及人可不是這樣分餅的，他們先將2塊餅都均分成2份，這樣每個同學可以取走其中的1份，即塊餅；再將剩下的1塊餅均分成4份，每個同學再取走4份中的1份，即塊餅。（老師邊動畫演示，邊敘述。）重點來了哦，誰來回答剛才那位同學的提問：什么叫作埃及分數？

生：分子是1的分數，例如等。

無疑，案例中呈現的“研究什么？”“什么叫作埃及分數？”“每人分得多少塊餅？”等問題的思考都是表層理解，但正是這種表層理解，激發著學生學習的欲望——“什么，分數還有國度之分？這到底是怎么回事？”對過往學習的回憶也是表層理解，縱然過往的學習過程也許是深層理解。這樣學生已然熟知的分餅策略，就與古代埃及人的分餅方法發生了沖撞，這種思維的沖撞必然引起學生的好奇，數學就這樣如同孩子的游戲，步步驚心。當然，教師也要具備一種能夠在學生的學習朝著成功標準邁進時適時“抽身”的技巧。[3]

【案例2：研究】

老師發起問題：我們先來研究一下，誰能將它拆分成兩個不同的埃及分數之和？學生陷入思索之中，兩分鐘之后，有些許同學有了點眉目。老師一邊巡視，一邊與寫出正確答案的同學做個別交流：

生：我先試著將的分子、分母同時擴大，得到；這樣可有

生：我先想到比小一點的埃及分數，再用，結果得到，這樣剛好湊成了

學生明白了埃及分數的含義，但能像古代埃及人那樣靈活運用埃及分數嗎？原來我們不比四五千年的人聰明多少，埃及分數的秘密需要付出思維的代價。案例二在老師適時“抽身”之后，學生通過挖掘自己的數學經驗，哪怕不乏學生沒有尋找出答案，也是在試圖平衡表層理解與深層理解，以便成功建構合理的認知和現實的理論。于是，當教師成為他們自己教學的學習者，學生成為他們自己的教師的時候，對于數學的學習就會產生最大的效果。

二、可見的學：被學生所感知的教學質量

1.可見的挑戰

把拆分成兩個不同的埃及分數之和，對于剛剛接觸埃及分數的學生來說，無疑是從興趣升級到了挑戰。而這個看似簡單但又不能輕松獲得的答案，反而更加刺激著學生的感官。隨后，課堂中挑戰接踵而至。

第一步，老師將大家的結果整理如下：；讓學生觀察這三組算式中的數字，提問能找到什么秘密嗎？

第二步，教師出示讓學生自己探求。

第三步，等號右邊第一個加數的分母如何確定呢？3，2；5，3；15，8……規律是什么？

每一次歷經挑戰，學生都能清晰地感受到自己仿佛學功夫，又精進了一步。原來，挑戰和學習被學生所感知，是數學學習的必要要素，所以張景中院士說：“學習數學的樂趣類似于下棋，是思考之樂，是挑戰之樂。”[4]課堂，不斷丟給學生問題，讓學生花些力氣去解決，并品嘗到挫折；直到他們亟須一個想法時，再給他們一些技巧。但不要給太多。學生樂于其中，并借此不斷積累思維的經驗。

2.可見的娛樂

數學不在“真相”里，而在“搜尋真相”的經歷之中、“創造真相”的過程之中。本來看不出來的，突然間就看見了。能夠從“無”當中創造出簡單的純粹的美麗，并且在這個過程中，豐盈了自己的思維，這不正是至上的娛樂嗎？一如數學家保羅·拉克哈特的興奮之詞：“我純粹就是在玩。這就是數學——想知道、游戲、用自己的想象力來娛樂自己。”[5]

【案例3：歸納公式】

師：你們獲得花了5分鐘，而你們考我，我答出只用了不到5秒鐘，不覺得似乎有什么竅門嗎？

生：后一個加數的分母是前兩個分母的乘積。

師：對的。那等號右邊第一個加數的分母如何確定呢？

生：……

師：看，3，2；5，3；15，8。規律是什么？

生：先將所要拆分的分母+1，再將結果除以2，商就是第一個埃及分數的分母。

師：棒極了！那

生：

師：

生：

這就是數學的外貌和感覺：對于我們想象的創造物提出簡單而直接的問題，然后制作出令人滿意而又美麗的解釋。沒有其他事物能達到如此純粹的概念世界，令人著迷、充滿趣味。

3.可見的改進

再回過頭來，審視案例2和案例3的學習。面對問題，學生們并不是總能立即反應出答案，甚至在獲得答案的過程中，常常伴隨著錯誤。例如有學生寫出，可是這不符合兩個不同的埃及分數的要求；然而，面對錯誤，學生沒有氣餒，嘗試著將一個加數的分母調整為3，眼睛豁然一亮，另一個埃及分數不就是嗎？再例如，學生對所內含的規律產生了困窘，只能判定等號右邊第二個埃及分數的分母，是這個埃及分數的前面兩個分數分母的乘積；不過，一旦老師提醒大家聚焦分母“3，2；5，3；15，8”，思路頓時打開了。所以說，學習是可錯的，更是能夠被改進的，每個學生都能看得見這種改進。

還有，數學學習并非總是大聲的、興奮的，但是又很少有沉郁、壓抑的時候，常常是緊湊的、富有活力和冒險的。一旦學生進入了數學冒險、興奮，還有些許的不確定的探究緊張，走彎路，乃至錯誤自然出現，然而，就像上文的兩個案例，哪一次錯誤不是數學成功的基石？

4.可見的思想

【案例4：特殊到普通】

生：老師，你教我們體驗的都是比較特殊的分數，其他分數都可以寫成幾個埃及分數的和嗎？例如。

生：

師：但是問題又來了，古埃及人可不懂這樣將分子、分母同時乘一個數再去拆分，他們只會實物操作，我們再以分餅為例，可以變成什么樣的問題？

生：5塊餅平均分給6位同學，每人分得多少塊？

師：那我們穿越到四千多年前，像古埃及人那樣實際操作一下如何？

生：先取出3塊餅，每塊平均分成2份，每人取1份，即得塊；再將剩下的2塊餅平均分成3份，每人取1份，即得塊。所以

在課被設計好以后，在內容被傳授以后，在課堂被組織起來以后，就出現了教學成果的完整概念。在案例4中，學生習得了同學的經驗，可以通過分數的基本性質將分子、分母同乘一個數，將改寫成，從而發現需要的埃及分數。毋庸置疑，學生掌握了類比推理的數學思想。

同時，用畫草圖的方式，將數學知識形象化，又有數形結合的意思。更重要的是，這些方法雖然呈現了一定的推理與模型思想，可是所得的推理與模型并不能解決所有的分數如何轉化為埃及分數。那古老的埃及人是怎樣使得的呢？

是的，學生歷經重重挑戰與挫折，通過改進自己的錯誤，探究出了分子是1和分子是2的分數，拆分成不同的兩個埃及分數的一般表達式：和。不過，分子是3、4、5……的分數呢？因為分子的不同，都有一個不同的表達式嗎？有沒有一個統一的表達式？

這就是數學思想的力量，既能解決問題，又是下一個問題的孵化器。當然，下一個問題還得依靠數學抽象思想、推理思想、模型思想。學生的解題策略吻合上了數學家的問題解決方式。吸引了幾千年來的數學家們的埃及分數問題，竟成了學生需要直面的問題。于是就有了接下來的場面：盡管下課了，學生還在關心著斐波那契的貪心求法。

綜上所述，教師是學生學的促進者以及審慎的引領者。但學習終歸需要內化成學生素養的表現。小學數學核心素養的三要素是：數學人文、數學意識、數學思想。[6]三要素中每個要素都是必要的，但是單獨哪一個要素對于有效學習來說又都是不夠的。缺少某一個要素，哪怕是很小一部分的缺乏，學生也可能幾乎什么都沒學到。因此，數學不是名詞，而是動詞，甚至是生活方式。▲

參考文獻：

[1][6]劉曉萍，陳六一.小學數學核心素養的理論分析[J].今日教育，2016（3）：24-26.

[2][3]約翰·哈蒂.可見的學習[M].彭正梅，鄧莉，高原，等，譯.北京：教育科學出版社，2015：28-36.

[4]張景中.怎樣才能快樂地學數學[J].中學生數理化（七年級數學）（人教版），2008（3）：6-8.

[5]保羅·拉克哈特.一個數學家的嘆息[M].高翠霜，譯.臺北：經濟新潮社，2013：17.