利用一題多變策略分析等價無窮小量的誤用

宋鵬翔 鄭立飛 吳養會

（1.海軍航空工程學院青島校區 山東 青島 266000 2.西北農林科技大學理學院 陜西 楊凌 712100）

眾所周知，學生在學習極限并計算極限的時候，等價無窮小量的誤用是經常的事情。這個地方的錯誤率非常高，盡管主講老師多次強調，等價無窮小在加減的時候不可以隨意使用，但是學生的作業，考試中此類錯誤仍舊頻頻出現。另外，“一題多變”可以逐漸深入，舉一反三，開發學生思維，擴散學生的思維，培養學生思維創造能力[1-5]。利用“一題多變”的策略進行教學，可以使學生對所學的知識達到活化、深化和融會貫通，

解：

有的學生提出：能否將上題第一項的分母換為相應的等價量 sin2x，而得到相同結果呢？由此，得到下述變化的題目：

這個題目的解法如下：從而培養他們的創新思維能力。為此，在給學生講課的時候，針對一個作業題，筆者重點對其進行了一題多變，由此告知學生：等價無窮小在求極限的時候一定要注意使用條件。

筆者在黑板上講解的原題為：

首先給出此題的正確解法：

顯然結果并非正確答案，從而說明極限式的分子中的第一項不可以換為 sin2x.

有學生又問，原題既然可以寫為

這個等式右邊的第二項的分母能否換為x2，換了后結果一樣嗎？由此得到如下的題目：

顯然結果并不是正確答案。

對變化 2的題目進一步改造，就得到如下題目：

解：

上述題目的各種變形說明：利用等價無窮小量求極限的時候，初學者一定要注意該方法的適用范圍。一般而言，等價無窮小量只在乘除的情況下使用，不主張在加減的情況下使用其求極限，否則，會導致各種不同的極限值。如果為了進一步提高學生的研究能力，可以給出如下解法：

以上是用無窮小代換把cosx換成二次多項式。可以進一步思考的是，究竟用二次多項式替換還是一次或更高次多項式替換好，值得初學者思考。

顯然，結果不對，這里也用的是等價無窮小代換，為什么就得不到正確的結果呢？

前幾次變式用等價無窮小替換其實就是一階

結果顯然還是不同。

同樣，將第一項的x2換為 tan2x后，給出如下的題目：

變化4：計算

結果再次發生變化，還是錯誤的結果。

泰勒公式展開，由于精確度較差，有些題無法解決，此時可以嘗試使用泰勒公式展開得到更高階數來求解。

上述做法也說明，當課堂教學中遇到學生容易產生錯誤做法的內容時，教師不妨利用一題多變來對相應的問題進行解析，這樣更容易讓學生看到問題的本質，從而更好地理解相關知識，達到大學數學教學的目的。