基于離散變量GA-APSO算法的鋼結構優化分析

郝潤霞,袁帥,趙根田

內蒙古科技大學建筑與土木工程學院,內蒙古包頭014010

基于離散變量GA-APSO算法的鋼結構優化分析

郝潤霞,袁帥*,趙根田

內蒙古科技大學建筑與土木工程學院,內蒙古包頭014010

本文針對遺傳算法和粒子群算法收斂早熟、局部搜索能力差等缺點，在改進速度與位置更新算子函數的粒子群算法的基礎上，插入了遺傳算法的交叉和變異算子，提出了一種新的啟發式現代混合算法——遺傳-加速粒子群混合算法(GA-APSO)。該算法可以很好的跳出局部最優，擴大搜索域范圍，提高收斂速度進而得到更合理的最優解。并基于離散變量將映射函數插入GA-APSO算法中，衍生出一種基于離散變量的GA-APSO算法，以一榀框架為算例通過與基于離散變量的APSO算法進行對比分析，證明了該衍生算法對于檢索截面數據庫中型鋼規格自動選取具有一定的適用性。

GA-APSO算法;鋼結構;優化設計

當下的科學技術處于一個相互交叉、滲透和影響的時代。隨著計算機技術的發展，數學規劃和運籌學一直是非常活躍的領域。它們能與實際工程問題聯系到一起通過計算機達到多學科相互聯系的目的。結構優化設計的產生與發展正是將工程、力學、數學與計算機應用等領域交叉結合的產物。鋼框架結構的最優化設計越來越受到研究人員的重視，在過去的幾十年里國內外不少學者將不同的優化技術和算法應用于結構優化中。鋼框架結構的最優化設計的目的是在保證滿足相關規范的約束下，以改變鋼構件截面尺寸的方式使得鋼框架的整體自重達到最輕，從而擁有更好的經濟性。

其中粒子群算法(Particle Swarm Optimization)[1]是Kennedy和Eberhart在1995年提出的一種啟發式智能優化算法。文獻[2]提出了一種連續變量的加速粒子群算法(Acceleration based Particle Swarm Optimization)，該算法相比傳統的粒子群算法，具有收斂快、不容易早熟等特點[3]。但是在實際的工程優化問題中往往伴隨著設計變量離散性、約束條件非線性、不可微性等等，這些特性決定了工程結構優化問題上的復雜性[4]。本文將加速粒子群算法和另一種啟發式算法——遺傳算法（Genetic Algorithms）[5]相結合，提出一種混合算法：即粒子群遺傳混合算法（GA-APSO Algorithms）。它在APSO算法的基礎上，插入了GA算法的交叉和變異算子提高了粒子群算法的全局搜索性能；通過對APSO算法的速度更新公式的改進提高算法的收斂速度；并且通過將離散變量映射成連續函數的方法，使其可以與數據庫中的截面尺寸進行匹配從而達到在優化設計中快速自選最優截面的目的。

1 離散變量的GA-APSO混合算法

1.1 GA-APSO混合算法的基本原理

遺傳-粒子群混合算法（GA-APSO）在APSO算法的基礎上保留了粒子群算法的搜索速度快、算法簡單和適用于實值型問題處理等優點；插入了遺傳算法中的交叉和變異算子增加了算法的搜索能力，進一步提高了種群的多樣性，從而減小了兩種算法共有的早熟等問題出現的概率。其基本流程如下:

步驟1：根據式（1）初始化一個規模為n的粒子群，設定其為初始粒子群。

式中n為粒子群中粒子的個數；Ub(i)、Lb(i)為每個粒子中第i個個體的上下限值；rand(1)為服從[0,1]均勻分布的隨機數。

步驟2：根據式（2）罰函數[6]公式對每個粒子的適應度值進行計算。

式中F(x,M)為罰函數，M為罰因子，為一正常數；Wb(x)為優化問題的目標函數；g(x)為優化問題的不等式約束條件。

步驟3：對每個粒子將其適應度值和其目前的最佳位置pbesti的適應度值進行比較，若較小，則將其作為目前最佳位置。

步驟4：對每個粒子將其適應度值和其全搜索空間的最佳位置gbesti的適應度值作比較，若較小，則將其作為全搜索空間最佳位置。

步驟5：根據式（3）和式（4）分別對粒子的位置和速度進行更新。

其中c1和c2為學習因子一般取2，r1和r2為相互獨立的偽隨機數，服從[0,1]上的均勻分布，x為壓縮系數；ω和Φ為權重系數；fmax、fmin和favg分別為粒子解的最大、最小和平均值。

步驟6：對更新后的粒子群進行交叉重組和變異處理。

步驟7：對變異后的粒子種群進行適應度計算，取得局部最佳位置pbest和目前最佳位置gbest，若gbest滿足終止條件則輸出解fitness；返回步驟5。

1.2 離散變量的GA-APSO算法

雖然連續型GA-APSO混合算法可以使用在大多數的工程優化問題中。但是還有一些工程的設計變量是離散型的，如在框架結構中使用熱軋型鋼，這就需要優化后的設計變量的解與型鋼庫里的型號進行對應。而這種情況是連續型GA-APSO算法所不能實現的，于是在連續性的GA-APSO算法的基礎上進行改進得到了離散變量型的GA-APSO算法。

文獻[7]對文獻[8]的方法針對等步長的離散變量問題進行了改進，即將連續設計變量取為最接近的等步長離散變量，表達式如下：

然后將每一個設計變量同給定的取值進行比較，取其最為接近的變量為該變量的給定離散變量。該方法對于連續等步長的獨立的離散變量問題擁有很好的使用性。

但是對于給定的數據庫中的離散變量的組合是無規律的，這就需要對優化出來的離散變量進行映射函數處理。由于本文是鋼框架，對于其結構的特性，采用主控變量，對于鋼框梁而言以強軸慣性矩為主控變量；對以鋼框柱來說，將柱截面的截面面積作為主控變量；針對鋼框梁和鋼框柱分別編寫兩組映射函數，具體表達式如下：

離散變量的GA-PSO算法的步驟如下：

步驟1：初始化一個規模為pop的粒子群，設定初始位置和初始速度；

步驟2：對每個粒子進行適應度值的計算；

步驟3：對每個粒子將其適應度值和其目前的最佳位置pbesti的適應度值進行比較，若較小，則將其作為目前最佳位置；

步驟4：對每個粒子將其適應度值和其全搜索空間的最佳位置gbesti的適應度值作比較，若較小，則將其作為全搜索空間最佳位置；

步驟5：根據式（3）和式（4）分別對粒子的位置和速度進行更新；

步驟6：對更新后的粒子群隨機進行交叉重組和變異處理從而產生新的種群；

步驟7：根據式（10）對變異后的粒子群的進行變量離散和數據庫匹配；

步驟8：對匹配后的粒子群的每個粒子進行適應度計算，若滿足終止條件則輸出解fitness，否則進行步驟5。

離散變量GA-PSO算法的流程圖見圖1。

將變量離散化的函數用于GA-PSO算法的求解適應度函數值之前，以保證離散后的變量能滿足約束條件的要求；這種取值方法不是向上取整,而是將其直接與離散值進行靠攏,更有利于更快地得出問題的解；該方法不存在匹配后不滿足約束條件的情況，避免了驗算約束條件再匹配的復雜計算循環。

圖1 基于離散變量的GA-PSO算法流程圖Fig.1 The process of GA-PSO algorithm with discrete variables

2 鋼結構優化算例

本章使用離散變量的GA-PSO算法工具箱對兩個算例進行優化分析，本算例中所使用的型鋼數據庫為SAP2000v15中中國規范的GB、JG涉及熱軋H型鋼共計60種尺寸，并將優化后的結果與基于離散變量的APSO優化算法優化后的用鋼量進行對比。

2.1 優化計算數學模型

對于非線性約束優化問題的數學模[9]型可表示為：

式中：f(x)為優化問題的目標函數，在解鋼結構優化問題中往往是構件的截面面積、用鋼量、總造價等；x為設計變量，一般為結構構件的截面尺寸；gj(x)和hi(x)分別為不等式約束條件和等式約束條件。

根據《鋼結構設計規范》(GB 50017-2003)[10]得到鋼結構構件的目標函數和約束條件[11]如下：

式中Wb鋼構件的總重量；DS鋼材密度；Vbi鋼構件的體積；fbi鋼構件i在最不利荷載工況下的計算應力；f相應的強度設計值；vbi鋼構件i在最不利荷載工況下的計算撓度；[v]設計撓度限值；φ0構件的整體穩定系數；b1翼緣板外伸寬度；t1翼緣板厚度；h0截面高度；tw腹板厚度；T根據不同情況[3]所取得局部穩定系數。

3 算例1

如圖2所示，該算例為5層單榀框架；軸距5 m；層高2.6 m；樓面恒載30 kN/m；梁柱采用Q345B級鋼；樓面活載6.25 kN/m；屋面恒載35 kN/m；屋面活載5 kN/m；荷載組合1.2恒+1.4活。模型由SAP2000建模并賦值計算，梁柱的最大內力見表1；SAP和優化工具箱優化后的尺寸見表2。

表1 構件最大內力Table 1 The maximum internal force

表2 優化結果對比Table 2 Contrast after optimization

由表2可知，基于離散變量的GA-APSO優化工具箱求解得到的截面尺寸的應力比比離散變量的APSO算法所得到的穩定應力比要小，這是因為在型鋼型號改變的情況下結構自重有所變化而導致的；通過總重量，證明離散變量的GA-APSO優化工具箱的解的截面屬性利用的更充分；由圖3可知離散變量的GA-APSO工具箱計算出的算例的總用鋼量為2.7 t，離散變量的APSO算法計算的總用鋼量為4.4 t，節省了1.7 t。由此可得，基于離散變量的GA-APSO優化工具箱優化效率高、適用性強，能滿足實際工程中的使用。

圖2 一榀框架示意圖Fig.2Aschematic framework

圖3 適應度曲線Fig.3 The curves of suitability

4 算例2

本工程為文獻[12]中某辦公樓算例，地上三層，底層高4.5 m，二層三層均為4 m。工程所在地區基本風壓0.55 kN/m2，B類，基本雪壓0.25 kN/m2，抗震設防烈度8度（0.20 g），II類?？蚣芷矫婕皺M向框架立面示意圖如圖4和圖5所示。

圖4 平面示意圖Fig.4 The flat schematic plan

圖5 立面示意圖Fig.5 The schematic elevation plan

表3 構件內力Table 3 Internal forces of components

表4 優化前后結果對比Table 4 Contrast before and after optimization

從表3可以看出：在滿足工程約束條件的前提下，GA-APSO算法得到了較為理想的截面選型結果，其中GKL的截面優化率達到18.7%，GKZ為22.2%；并且應力比增大提高了截面的使用率。

從上面兩個優化算例的計算結果可得，離散變量下的GA-APSO算法具有一定的實用性，并且優化性能較為優良。

5 結論

（1）本文通過智能算法的特性將遺傳算法（GA）中的交叉、變異算子編入加速粒子群算法（APSO）中改進了PSO算法易早熟收斂的缺陷，并加入了主控變量這一概念將種群中的個體得以與截面數據庫中的設計變量一一對應，大大增加了工程的實用性。

（2）本文通過兩個算例證明，離散變量的GA-APSO算法較APSO算法的優化效率更高，在滿足工程約束條件的前提下較大的優化截面尺寸提高截面的使用率。

（3）通過算例的計算結果可得出離散變量的GA-APSO算法，可用于實際工程。

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The Optimal Analysis on Steel Structure Based on GA-APSO Algorithm with Discrete Variables

HAO Run-xia,YUAN Shuai*,ZHAO Gen-tian
College of Architecture and Civil Engineering/Inner Mongolia University of Science and Technology,Baotou 014010,China

To overcome the shortcomings of“Premature Convergence"and poor local search ability in Genetic Algo rithm and Particle Swarm Optimization Algorithm,this paper proposed a new heuristic modern hybrid algorithm—G enetic-Accelerating Particle Swarm Optimization Algorithm(GA-APSO)by inserting the cross and mutation operat or of Genetic Algorithm based on Particle Swarm Optimization Algorithm improved speed and position update oper ator functions.The algorithm could expand the scope of the search field to improve convergence speed so that mo re reasonable optimal solution was obtained.Furthermore,GA-APSO algorithm with discrete variables was derive d by inserting the mapping function.It was feasible to automatically select the medium-sized steels in a database b y comparing with the APSO algorithm with discrete variables to take a common framework for an example.

GA-APSO;steel structures;optimization design

TU391;O224

A

1000-2324(2016)06-0900-06

2016-05-12

2016-06-26

國家自然科學基金項目(51268042)

郝潤霞(1972-),女,碩士,副教授,研究方向:結構優化理論和設計.E-mail:haorx5300630@163.com

*通訊作者:Author for correspondence.E-mail:yjp415@163.com