均值不等式和割、切線法在水力學分析中的應用

程鐵杰,周婷

1.安徽農業大學工學院,安徽合肥230036

2.合肥工業大學土木與水利工程學院,安徽合肥230009

均值不等式和割、切線法在水力學分析中的應用

程鐵杰1,2,周婷1*

1.安徽農業大學工學院,安徽合肥230036

2.合肥工業大學土木與水利工程學院,安徽合肥230009

文章提出了兩種數學方法在水力學分析與計算中的應用：1)均值不等式在推求矩形斷面明渠臨界水深計算上的應用；2)割線法、Newton切線法以及兩者相結合的方法在求解水力學方程上的應用。從理論上闡述了兩種數學方法在水力學分析中應用的可行性，并通過實際算例進行驗證。不僅為水力學課程教學與解題提供了新的思路，也為實際工程計算中的有關問題提供了可行簡便解決途徑。

均值不等式;割線法;Newton切線法;水力分析

《水力學》是水利、土木、市政等專業的重要專業基礎課之一，其內容涉及大量的理論和經驗公式，尤其是高次方程的求根和非線性方程組的求解等問題，給課程教學和工程計算帶來了繁雜的計算量和難度。教材中提及的方法如圖解法、試算法以及不動點迭代法在有限的計算次數內往往難以滿足實際中需要的精度[1]，容易造成誤差累積，導致結果偏差過大；另一方面，若提高試算迭代的次數則會大大增加計算量，往往會影響設計效率，在實際工程中實踐起來并不現實。因此，合理運用相關數學原理實現公式快速有效求解，對于理解水力學原理、提高求解效率和精度具有良好的理論和實際意義。對于方程（組）的求解這一中心問題，即f(x)=0，不同教材中都闡述過許多方法與技巧；在實際應用當中，隨著f:的不斷擴充，最具啟發性的仍是f:R→R；極值問題和上下確界的確定很多也可以化歸到f′(x)=0的問題上來。近年來，隨著計算機和信息技術水平不斷發展，求解的速度和精確度也在不斷的提升，但在實際問題的分析中仍然面臨以下兩個方面的困境：一方面，求根的方法代價太大，有時甚至無法求解，而且“快速”算法并不總能找到方程的根；另一方面，一些數學條件的約束使得計算機驗證起來并不容易。本文分別介紹了均值不等式方法和割線法、Newton切線法以及二者相結合的方法在水力分析與計算上的應用方式，在保證精度的同時降低了計算量，提高了計算效率。

1 數學理論

1.1 均值不等式

算數—幾何均值不等式的定義如下：若x1，x2，…，xn?R+，那么An≥Gn。

即這些正實數的算術平均數大于等于它們的幾何平均數，等號成立當且僅當x1=x2=…=xn[2]。均值不等式的廣泛應用已經得到了人們的重視[3]，本文對均值不等式的應用僅涉及n=3時的情形。

1.2 割線法與Newton切線法

割線法與Newton切線法是非線性方程求根的兩種方法[4]，其概念如下：

設f:[a,b]→R，則f(x)=0是否在[a,b]上有根可以利用介值定理來判定（本文僅討論單根情形），設f?(x)>0，f(a)>0，f(b)<0，則$x0?[a,b]使得f(x0)=0。

割線法：用過(a，f(a))，(b，f(b))的連線代替f(x)。則割線方程為：。

Newton切線法：用f在a點（或b點）的切線求根。

即：用y=f(a)+f′(a)(x-a)代替f(x)，令y=0可以得到。迭代公式為：，則an單調遞減地收斂到x0，并且f′(x0)≠0。

由于水力計算中涉及到的高次方程（組）較多，其方程形式多變復雜。試算法和不動點迭代法[5]大多均為1階收斂，計算過程中存在過于依賴初始值的弊端，而且實際應用中都忽略了對不動點的存在唯一性做驗證這一過程，致使最終不能較為精確地求得方程的根。而割線法和Newton切線法比較容易應用于水力計算中，割線法是1階收斂，Newton切線法是2階收斂，采用近似程度更高的二階Taylor展開式可以使收斂速度進一步加快[6]。因此在計算中如需求得高精度的結果，可考慮使用Newton切線法來求根，能夠節省迭代次數。

但Newton切線法存在一個不足之處，對于復雜方程f′(x)不易求得，那么考慮和割線法相結合的方式對Newton切線法迭代公式做一些改動，用代替f′(an)進行迭代直到滿足結果需要的精度，這種方法在數值分析中稱之為弦截法[7]，即割、切線相結合的方法。

2 方法應用

2.1 均值不等式在矩形明渠水力計算中的應用

在明渠恒定非均勻流計算中，選取渠底為參考基準面，計算得到過水斷面單位重量液體所具有的能量稱為斷面比能，其表達式如下[8]：

式中：Es—斷面比能（m）；h—水深（m）；θ—明渠底面對水平面的傾角；α—動能修正系數（通常取α≈1.0）；v—斷面平均流速（m/s）；Q—流量（m3/s）；A—過水斷面面積（m2）

相應于斷面單位能量最小值的水深稱為臨界水深，用hK表示；這里利用均值不等式來推求矩形斷面的斷面比能和臨界水深。

當等號成立時，斷面單位能量取到最小值，這時的h就是對應于斷面單位能量最小值的水深，也就是臨界水深，此時h=hK。

可見，利用均值不等式方法推導矩形斷面的斷面比能和臨界水深更為簡單易行，且方便記憶，避免了諸多復雜的計算過程。

2.2 割線法與Newton切線法在梯形明渠水力計算中的應用

對于梯形斷面明渠恒定非均勻流臨界水深的計算，過水斷面面積A與水深間的關系較為復雜，臨界水深hK的直接解不易求得；教科書中大多采用試算法和圖解法求解，計算繁瑣，結果精確度也欠佳；傳統的二分法迭代[9]收斂速度較慢，當精度要求較高時，迭代次數會大大增加；而采用割線法，Newton切線法以及割、切線相結合的方法則能求得較為精確的結果。

可見，梯形斷面臨界水深問題已經轉化為多項式方程的求根問題；由于在實際問題中pi(i=1,2,…,6)，hK均大于零，因此f?(hK)>0，函數曲線在[0,+∞)上為凸函數（下凸）；且當hK→0時，f(hK)<0；當hK→+∞時，f(hK)>0；所以在區間[0,+∞)內只有一個正實根[10]。故而在區間[0,+∞)之中可以取得區間[a,b]，使得f(a)<0，f(b)>0，根hK在區間[a,b]中。

在實際問題中應根據具體問題對計算式進行化歸后選用適當的方法迭代，在計算簡捷的前提下迭代至需要的精度。

3 算例

3.1 均值不等式方法實際算例

一矩形斷面明渠，流量Q=30 m3/s，底寬b=8 m，求渠道中最小斷面比能及臨界水深。

分析：本例常見于灌溉渠道設計中；關于矩形明渠恒定非均勻流最小斷面比能和臨界水深的計算，在水力學教材[11]中的計算方法是根據式（5），對水深h取導數，并令其等于零，推出臨界水深應滿足的條件，這種方法在求導時計算繁雜，最小斷面比能還需進一步通過臨界水深來計算；王功[12]根據斷面比能曲線的特點，取兩個相近數值h1和h2（h1>h2）帶入式（5）計算出相應的ES1和ES2，通過比較ES1和ES2的大小關系，進行臨界水深的推求，計算量仍然較大；陳文英[13]根據伯諾里方程導出了明渠恒定非均勻流的水面曲線微分方程，把斷面比能的變化率同臨界水深的變化率聯系起來進行臨界水深的計算，該方法在實際計算中依然不能對臨界水深和最小斷面比能進行快速求解。均值不等式通過對計算式拆分和放縮，避免了復雜的計算量，通過對取等條件的分析可以快速得出臨界水深的取值。

所以計算結果正確，即最小斷面比能為1.692 m。臨界水深為1.128 m。

3.2 割線法與Newton切線法實際算例

一分叉管道連接水池A，B，C（見圖1）。設1，2，3段管道的直徑及長度分別為：d1為60 cm，l1為900 m；d2為45 cm，l2為300 m；d3為40 cm，l3為1200 m；管道為新鋼管，A，B，C水池的水面高程為：▽A為30 m，▽B為18 m，▽C為0 m。求通過各管道的流量Q1，Q2，Q3。

圖1 分叉管道水池示意圖Fig.1 Sketch of penstock manifold pool

分析：水力學教材對于并聯管道的水力計算中解方程的方法仍為試算法和圖解法[14]，仇寶云等[15]利用拉格朗日乘數法從理論上闡述了以總水力損失最小為目標，確定分流點從每條管道上的分流量；王萍等[16]利用Excel函數編寫程序進行對污水管道的水力計算，計算過程中需要假設和判斷的過程；陳繼泉[17]通過對管道系統和某些局部管網或節點狀態進行適當簡化得出長輸水管道系統水力計算的簡化模型。割線法和Newton切線法在管道水力計算中可以定量分析管道輸水，同時避免試算法和圖解法的誤差。

解：查表可得新鋼管粗糙系數n為0.012。

由實際情況可知Q1>0，Q2>0，Q3>0；由式（28）、（29）可知Q1<0.769；即：Q1的取值范圍是：(0,0.769)，這時方程組求解的問題轉化為方程求根的問題，由式（31）可知：f(0)<0，f(0.769)>0，所以存在Q10在區間(0,0.769)中使得：f(Q10)=0。下面分別用Newton切線法和割、切線相結合的方法分別來求解。

用Newton切線法求解構造迭代公式如下：

由于定義域為（0,0.769），取a0=0.5迭代得：a1=0.65194，a2=0.64350，a3=0.64241，a4=0.64240，a5=0.64240。

停止迭代；即：當Q1=0.64240時f(Q1)=0，Q1=064240 m3/s。

用割、切線相結合的方法求解構造迭代公式如下：

取a0=0.4，a1=0.5迭代得：a2=0.67327，a3=0.63707，a4=0.64216，a5=0.64241，a6=0.64240。

停止迭代；即：當Q1=0.64240時f(Q1)=0，Q1=0.64240 m3/s。

可見兩種方法殊途同歸；將Q1=0.6424 m3/s代入（28）得：Q2=0.3394 m3/s，代入（29）得：Q3=0.3030 m3/s。進一步驗算結果得：Q2+Q3=0.3394+0.3030=0.6424=Q1

可知所求結果計算正確。故而各管流量均求出，Q1為0.6424 m3/s，Q2為0.3394 m3/s，Q3為0.3030 m3/s；本例得解。

4 結論

本文以明渠恒定非均勻流中矩形斷面和梯形斷面的水力計算為切入點，提出了均值不等式和切線、割線法在水力學分析與計算上的應用，不僅從物理角度解釋了水力學公式原理，同時降低了計算復雜程度，提高了計算精度和效率。本文所選用的方法可用于水力學教學、水利工程設計計算中，同時這些原理還可以推廣至更高維計算以及其他類似工程領域當中，以解決更多工程計算相關問題，具有較強的實用性和可行性。

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Applications of Value Inequality and Secant&Tangent Methods in HydraulicsAnalysis

CHENG Tie-jie1,2,ZHOU Ting1*
1.School of Engineering/Anhui Agricultural University,Hefei 230036,China
2.School of Civil Engineering/Hefei University of Technology,Hefei 230009,China

The application of two mathematical methods in hydraulics analysis and calculation is presented in this paper:1)Average Inequality method in the critical depth calculation of rectangular open;2)Secant method,Newton tangent method and their combination in solving hydrodynamic equations.The feasibility of applying two kinds of mathematical methods in hydraulics analysis is expounded theoretically and verified by practical example.The proposed methods provide not only new paths for hydraulics teaching and problem-solving,but also offer practical and simple ways for engineering calculation.

Average value inequality;secant method;Newton tangent method;hydraulics analysis

P333.9

A

1000-2324(2016)06-0835-06

2015-07-22

2016-01-05

程鐵杰(1992-),男,碩士研究生,主要從事工程水力學研究.E-mail:ahauchengtj@sina.com

*通訊作者:Author for correspondence.E-mail:zhouting@ahau.edu.cn