連續(xù)和與離散和的差的階的估計(jì)

彭建華，杜 燕，范崇秀

（重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶400054）

連續(xù)和與離散和的差的階的估計(jì)

彭建華，杜 燕，范崇秀

（重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶400054）

研究了連續(xù)和x與離散和之間的關(guān)系，利用階的估計(jì)的方法對(duì)連續(xù)和與離散和的差給出了較為準(zhǔn)確的階的估計(jì)。

連續(xù)和；離散和；階的估計(jì)

設(shè)是［a，b］上的可積函數(shù)，則

定義1［1］設(shè)f（x）是［a，b］上的有限函數(shù)，在［a，b］上任取一組分點(diǎn)

作和式

稱它為f（x）對(duì)應(yīng)分點(diǎn)組x0，x1，…，xn的變差。如果對(duì)一切可能的分點(diǎn)組，變差所形成的數(shù)集有界，即

就稱f（x）是［a，b］上的有界變差函數(shù)，記

稱V（f）是f（x）在［a，b］上的全變差。

定理1［2－3］設(shè)f（x）是［0，1］上的有界變差函數(shù)，則

證明 以V表示f（x）在［0，1］上的全變差，即

則

定理2 設(shè)f′（x）在［0，1］上有界且可積，則當(dāng)n→∞時(shí)，有

證明 由微分中值定理，可得

以Mk與mk分別表示f′（x）在中的上確界與下確界，則：

定理3 設(shè)f″（x）存在，且在［0，1］上可積，則當(dāng)n→∞時(shí)，有

證明 由泰勒公式［4－6］，對(duì)于有

所以，有

定理4 設(shè)f″（x）存在，且在［0，1］上可積，則當(dāng)n→∞時(shí)，有

上述的定理均在［0，1］區(qū)間上得以證明，可以將區(qū)間改成一般的情形［a，b］區(qū)間，從而得到類似的結(jié)論。

［1］ 夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗，等.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］ 潘承洞，于秀源.階的估計(jì)［M］.濟(jì)南：山東科技出版社，1983.

［3］ 彭建華，田堅(jiān)，范崇秀.階的估計(jì)在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2015，29（7）：113－115.

［4］ 年於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析：下冊(cè)［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［5］ 徐利治，王興華.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講［J］.1983.

［6］ 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程［M］.北京：人民教育出版社，1959.

（責(zé)任編輯陳 艷）

The Estimation of the Order of Difference Between Continuous Sum and Its Discrete Sum

PENG Jian-hua，DU Yan，F(xiàn)AN Chong-xiu

（College of Science，Chongqing University of Technology，Chongqing 400050，China）

This paper investigates the relationship between the continuous sud x and its discrete sumfor some given function.By using the method of estimation of the orders，it accurately estimates the order difference between the continuous sum and discrete sum.

continuous sum；discrete sum；estimation of the orders difference

O174.1

A

1674－8425（2016）12－0162－03

10.3969／j.issn.1674－8425（z）.2016.12.025

2015－10－25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171363）；高等數(shù)學(xué)課程專項(xiàng)建設(shè)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目；重慶理工大學(xué)重大教學(xué)成果培育項(xiàng)目

彭建華（1963—），男，重慶人，副教授，主要從事偏微分方程研究，E-mail：pjh＠cqut.edu.cn。

彭建華，杜燕，范崇秀.連續(xù)和與離散和的差的階的估計(jì)［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2016（12）：162－164.

format：PENG Jian-hua，DU Yan，F(xiàn)AN Chong-xiu.The Estimation of the Order of Difference Between Continuous Sum and Its Discrete Sum［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2016（12）：162－164.