胸中有圖大有裨益

□郭倩王鋒

胸中有圖大有裨益

□郭倩王鋒

課本中的許多例習(xí)題中，常常隱含著解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，在平時(shí)解題過(guò)程中，我們?nèi)绻朴谌グl(fā)現(xiàn)挖掘、歸納提煉出這些模型，并加以應(yīng)用，可以大大縮短我們的思維過(guò)程，快速找到解決問(wèn)題的突破口.

課本習(xí)題：（人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)36頁(yè)）

如圖甲，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，求證：

（1）△ACD∽△ABC；

（2）△CBD∽△ABC.

圖甲

圖乙

證明：略.

探索與思考：根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，由△ACD∽△ABC可得，即AC2＝AD·BA；同理由△CBD∽△ABC可得即BC2＝BD·BA.

由此我們可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形是相似的.

現(xiàn)在我們思考這樣的一個(gè)問(wèn)題：能否把上述問(wèn)題進(jìn)行拓廣，若將“直角三角形”拓廣到“一般的三角形”，線段CD滿(mǎn)足什么條件時(shí)分割出的其中一個(gè)三角形才能與原三角形相似呢？

受課本習(xí)題探究過(guò)程的啟發(fā)，根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，顯然如果我們過(guò)頂點(diǎn)C作∠ACD＝∠B，此時(shí)一定有△ACD∽△ABC，并且AC2＝AD·BA.

概括與提煉：觀察△ACD與△ABC在圖乙中的位置與形成的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們可以看到它們具有如下的特征：①有一個(gè)公共角（∠A），②有一條公共邊（AC）.我們不妨稱(chēng)這對(duì)三角形為共邊共角的相似三角形.

例1（2016·襄陽(yáng)）如圖1①，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG.

（1）求證：四邊形EFDG是菱形；

（2）探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1①

證明：（1）略.

圖1②

（2）如圖1②，連接ED交AF于點(diǎn)H.

∵四邊形EFDG是菱形，

∴GE＝EF，DE⊥AF，

∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，

∠EFH＝∠AFE，

∴△EFH∽△AFE，

即EF2＝FH·AF，

∴EG2＝

點(diǎn)評(píng)：（1）略.

（2）連接DE，從圖形中發(fā)現(xiàn)△EFH與△AFE是一對(duì)共邊EF、共角∠AFE的相似三角形，得到EF2＝FG·FA，然后借助等量代換得到EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系.

例2（2016·武漢）在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn).

（1）如圖2①，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；

（2）如圖2②，AB＝3，AC＝2，若M為CP的中點(diǎn)，且∠PBM＝∠ACP，求BP的長(zhǎng).

圖2①

圖2②

證明：（1）略.

（2）取線段AP的中點(diǎn)N，連接MN，如圖2③.

∵M(jìn)為CP的中點(diǎn)，

∴MN∥AC，

∴∠NMP＝∠ACP.

又∠PBM＝∠ACP，

∴∠NMP＝∠NBM.

（顯然△NMP與△NBM是一對(duì)共邊NM和共角∠PNM的相似三角形）

∴△NMP∽△NBM，

∴NM2＝NP·NB.

設(shè)NP＝x，

則AN＝x，NB＝AB－AN＝3－x，

∴12＝x（3－x），

即x2－3x＋1＝0，

∴BP＝AB－AP

圖2③

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)然本題（2）也可以通過(guò)證明△ACP∽△NBM來(lái)間接計(jì)算BP的長(zhǎng).

例3（2016·大慶）如圖3，在菱形ABCD中，G是BD上的一點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、交AD于E.

求證：（1）AG=CG；

（2）CG2＝EG·FG.

圖3

證明：（1）略.

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠AFG＝∠DCG.

由（1）易證△ADG≌△CDG知

∠DAG＝∠DCG，

∴∠DAG＝∠AFG.

又∠AGE＝∠FGA，

∴△AGE∽△FGA，

即AG2＝EG·FG.

由（1）知AG＝CG，

∴CG2＝EG·FG.

點(diǎn)評(píng)：證明等積式，我們先把其化成比例式，然后尋找四條線段所在的兩個(gè)三角形相似便可解決問(wèn)題，但若給出的等積式中線段在一條直線上時(shí)，常常需要用某一相等的線段來(lái)代換其中的一條（或兩條），從而發(fā)現(xiàn)相似的兩個(gè)三角形（如本題就是將CG換成AG達(dá)到目的）.為方便記憶給出如下的口訣：遇等積，改等比，橫找豎找定相似，不相似別生氣，等線等比來(lái)代替.