“銳角三角函數”中考新題型

□劉頓

“銳角三角函數”中考新題型

□劉頓

提到“銳角三角函數”，你就會想到中考，想到中考就自然會去看看又有哪些創新型試題，為方便你的尋求，現歸納幾類，供參考！

一、滲透型

例1（2016·臨沂）當α、β為任意角時，sin（α＋β）與sin（α－β）的值可以用下面的公式求得：sin（α＋β）＝sinα·cosβ+cosα·sinβ；sin（α－β）＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin（60°＋30°）＝sin60°· cos30°＋cos60°·sin30°＝類似的，可以求得sin15°的值是.

分析：把15°化為60°－45°，則可利用sin（α－β）＝sinα·cosβcosα·sinβ和特殊角的三角函數值計算出sin15°的值.

解：sin15°＝sin（60°－45°）

＝sin60°·cos45°－cos60°·sin45°

點評：求解時要熟記特殊角的三角函數值，一是按值的變化規律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規律去記.

二、閱讀型

例2（2016·咸寧）閱讀理解：我們知道，四邊形具有不穩定性，容易變形，如圖1，一個矩形發生變形后成為一個平行四邊形，設這個平行四邊形相鄰兩個內角中較小的一個內角為α，我們把的值叫做這個平行四邊形的變形度.

圖1

（1）若矩形發生變形后的平行四邊形有一個內角是120度，則這個平行四邊形的變形度是.

（2）猜想證明：設矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為S2，試猜想S1、S2、之間的數量關系，并說明理由.

拓展探究：（3）如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，且AB2＝AE·AD，這個矩形發生變形后為平行四邊形A1B1C1D1，E1為E的對應點，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為，平行四邊形A1B1C1D1的面積為試求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度數.

圖2

分析：（1）根據平行四邊形的性質得到α＝60°，根據三角函數的定義即可得到結論.

（2）若設如圖1中矩形的長和寬分別為a、b，變形后的平行四邊形的高為h，根據平行四邊形和矩形的面積公式即可得到結論.

（3）由已知條件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性質得到∠A1B1E1＝∠A1D1B1，根據平行線的性質得到∠A1E1B1＝∠C1B1E1，求得∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝∠C1B1E1＋∠A1B1E1＝∠A1B1C1，證得∠A1B1C1＝30°，于是得到結論.

解：（1）∵平行四邊形有一個內角是120度，∴α＝60°，

理由：如圖1，設矩形的長和寬分別為a、b，變形后的平行四邊形的高為h，

∴S1＝ab，S2＝ah

（3）∵AB2＝AE·AD，

而A1B1＝AB，A1E1＝AE，

A1D1＝AD，

∴A1B12＝A1E1·A1D1，

∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，

∴△B1A1E1∽△D1A1B1，

∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，

∵A1D1∥B1C1，

∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，

∴∠A1E1B1+∠A1D1B1

＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1.由（2）中的結論

∴sin∠A1B1C1

∴∠A1B1C1＝30°，

因此∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝30°.

點評：本題通過閱讀探究，考查了平行四邊形的性質、矩形的性質、三角函數的定義，相似三角形的判定和性質，正確理解題意是解題的關鍵.

三、應用型

例3（2016·揚州）如圖3，△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D.

圖3

（2）由（1）中的結論可知，等腰三角形ABC中，當頂角∠A的大小確定時，它的對邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定，我們把這個比值記作T（A），即T（A）＝

①理解鞏固：T（90°）＝，T（120°）＝，若α是等腰三角形的頂角，則T（α）的取值范圍是；

②學以致用：如圖4，圓錐的母線長為9，底面直徑PQ＝8，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長（精確到0.1）.

圖4

（參考數據：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）

分析：（1）證明△ABC∽△DEF，根據相似三角形的性質解答即可.

（2）①根據等腰直角三角形的性質和等腰三角形的性質進行計算即可；②根據圓錐的側面展開圖的知識和扇形的弧長公式計算，得到扇形的圓心角，根據T（A）的定義解答即可.

解：（1）∵AB＝AC，DE＝DF，

又∵∠A＝∠D，

∴△ABC∽△DEF，

圖5

圖6

如圖6，∠A＝120°，AB＝AC，

作AD⊥BC于D，則∠B＝30°，

∵AB－AC＜BC＜AB＋AC，

∴0＜T（α）＜2.

②圓錐的側面展開圖如圖7所示.

圖7

∵圓錐的底面直徑PQ＝8，

∴圓錐的底面周長為8π，即側面展開圖扇形的弧長為8π.

設扇形的圓心角為n°，

∵T（80°）≈1.29，

∴螞蟻爬行的最短路徑長為PQ＝1.29×9≈11.6.

點評：本題通過模仿銳角三角函數的定義，考查的是相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質以及T（A）的定義，正確理解T（A）的定義、掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.