分類求解相似三角形

□于志洪

分類求解相似三角形

□于志洪

在解答相似三角形問題時，常常因為條件的不確定，而需要對問題進行分類討論，從而可以防止漏解.

一、因對應邊角不確定，需分類求解

例1△ABC與△ADE相似，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且AD＝4，AB＝8，AC＝12，求AE的長.

分析：當以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，兩個三角形的公共頂點A必為對應點，但夾角A的兩組對應邊的對應關系不確定，故需要分類討論.

解：（1）當∠ADE＝∠B時，如圖1，△ADE∽△ABC，所以

（2）當∠AED＝∠B時，

如圖2，△AED∽△ABC，

圖1

圖2

例2如圖3，∠ACB＝∠ABD＝90°，BC＝a，AC＝b，當Rt△ABD的斜邊上的高h＝時，圖中的兩個直角三角形相似.

圖3

分析：要使兩個直角三角形相似，只要∠D＝∠ABC或∠D＝∠BAC即可，又因為相似三角形對應高的比等于相似比，而Rt△ABD斜邊上的高可求出，所以列比例式可求h.

解：設Rt△ABC斜邊上的高為x，則AB·x＝ab.

所以，當Rt△ABD斜邊上的高h＝a或b時，圖中的兩個直角三角形相似.

二、因圖形位置不確定，需分類求解

例3在正方形ABCD中，P是CD上一動點（與C、D不重合），使三角尺的直角頂點與點P重合，并且一條直角邊始終經過點B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點E.探究：（1）觀察操作結果，哪一個三角形與△BPC相似？并證明你的結論；（2）當點P位于CD中點時，你找到的三角形與△BPC的周長比是多少？

分析：解決本題的關鍵是要經過動手操作，畫出圖形，再加以分析，由于圖形位置的不確定，故需要分情況求解.

解：（1）①如圖4所示，另一條直角邊與AD交于點E，

則△PDE∽△BCP.

證明：在△PDE和△BCP中，

因為∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2.

又因為∠PDE＝∠BCP＝90°，所以△PDE∽△BCP.

②如圖5，同理可證明△PCE∽△BCP及證明△BPE∽△BCP.（過程略）

圖4

圖5

圖6

圖7

（2）①如圖6所示，當點P位于CD中點時，若另一條直角邊與AD交于點E，則

又因為△PED∽△BCP，所以△PDE與△BCP的周長比是1∶2.

②如圖7所示，同樣可計算出△PCE與△BCP的周長比為1∶2；及△BPE與△BCP的周長比為

總之，在今后解相似三角形問題時，我們只要細心去思考，認真去分析，就不會出現漏解.只要我們養成全方位進行思考的好習慣，我們就能不斷走向成功.