Chebyshev多項式及其插值法在函數求導中的應用

周 晶，張紅芹

(吉林農業大學 信息技術學院，長春 130118)

Chebyshev多項式及其插值法在函數求導中的應用

周 晶，張紅芹

(吉林農業大學 信息技術學院，長春 130118)

為了更精確地用插值函數的導數逼近復雜函數的導數，本文基于Chebyshev多項式和最小零偏差定理提出了一種應用Lagrange插值求復雜函數導數的新方法。我們首先以n+1次Chebyshev多項式的零點作為插值節點進行Lagrange插值，進而用插值函數的導數值逼近被插值函數的導數值。誤差分析和數值算例表明本文所提出的方法在復雜函數求導中取得了良好的效果。

Chebyshev多項式；插值；最小零偏差；函數求導

0 引言

函數逼近論是近代數學的重要研究方向，其主要思想是用簡單可計算函數對一般復雜函數進行近似逼近。一種非常重要的逼近方法就是插值逼近，如代數多項式插值、三角多項式插值、樣條函數插值等，而且計算數學的其他理論如數值微分、數值積分等都是以插值理論作為基礎展開研究的[1-2]。

目前關于對原函數的導數的逼近問題，通常采用樣條插值函數的導數進行逼近。但由于Lagrange插值或Newton插值可能出現Runge現象，因此應用一般的Lagrange或Newton插值函數的導數逼近原函數的導數時可能會出現收斂性的問題。而Chebyshev多項式零點插值方法可以克服Runge現象，并可對任意變化的函數得到更高精度的近似[1-2]。本文給出一種應用Chebyshev多項式的零點作為插值節點進行插值函數求導逼近原函數導數的方法，研究表明應用此方法可以得到原函數導數的最佳一致逼近多項式。

1 Lagrange插值與Chebyshev多項式[2-7]

1.1 Lagrange插值

插值多項式為

余項為

其中ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。

1.2 Chebyshev多項式

Chebyshev多項式是一類特殊的n次代數多項式，由于其零點(通常稱為Chebyshev節點)用于多項式插值時，相應的插值多項式能夠最大限度的降低龍格現象，因此切比雪夫多項式在函數逼近理論中有著非常重要的應用。

定義(Chebyshev多項式)設x是區間[-1,1]上的任意實數，n∈N，則稱多項式

Tn(x)=cos(narccosx)，為n階Chebyshev多項式。

由方程易得n+1階切比雪夫多項式的n+1個零點為：

引理[7](最小零偏差定理)設x0,x1,…,xn是Chebyshev多項式Tn+1(x)的n+1個根，記ωn+1(x)為

設f(x)∈Cn[-1,1]為被插值函數，則根據最小零偏差定理，其插值節點選為切比雪夫多項式的零點時所得插值函數最佳一致逼近函數f(x)。

2 誤差分析

我們應用Chebyshev多項式的零點作為插值節點，用Lagrange插值函數的導數逼近原函數的導數，并給出了誤差分析。

|Rn′(x)|

證明：當x=xi時，有：

當x≠xi時，有：

證明已知插值區間為[a,b]，為了應用Chebyshev多項式插值法，需通過簡單變換歸一化到區間[-1,1]。因此作變換如下，設：

x∈[a,b],z∈[-1,1]。則

ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)

因此，Chebyshev多項式Tn+1(z)的零點為：

則相應多項式Tn+1(x)的零點為：

將xj(j=0,1,…,n)作為插值節點,可得誤差為：

3 數值算例

P6(x)=-7.6389x6+8.6749x5+4.7438x4-5.681x3-0.7876x2-0.8364x+1.0666。

相應的導數為：

P6′(x)=-45.8334x5+43.3745x4+18.0752x3-17.043x2-1.5752x-0.8364。

綜上可知，Chebyshev多項式在插值函數的求導中是非常適用的，并且對于復雜函數的求導可以更加容易的得出結果。

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[2] 李慶揚,王能超,易大義.數值分析[M].北京:清華大學出版社,2008.

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責任編輯：程艷艷

Application of Chebyshev Polynomial and Its Interpolation Method in Function Derivative

ZHOU Jing, ZHANG Hongqin

(College of Information Technology, Jilin Agricultural University, Changchun 130118, China)

In order to accurately make the approximation of interpolation function derivative to complex function derivative, this paper presents a new solution to complex function derivation by Lagrange interpolation based on Chebyshev polynomial and minimum zero deviation. We take the zero point of Chebyshev polynomial with n+1 degree as the interpolation node to make Lagrange interpolation, and then use the derivative value of interpolation function to approximate the derivative value of primitive function. The error analysis and numerical example show that the method presented in this paper achieves a better effect in complex function derivation.

Chebyshev polynomial; interpolation; minimum zero deviation; function derivation

2016-07-16

吉林農業大學科研啟動基金資助項目(2015043)

周晶(1980-)，女，吉林德惠人，講師，碩士，主要從事從事應用數學方面研究；張紅芹(1971-)，女，河北定縣人，回族，講師，主要從事計算數學方面研究。

O241

A

1009-3907(2016)12-0056-03