二維趨化-趨觸模型解的有界性

劉冬梅,陶有山

(東華大學 a. 信息科學與技術學院;b. 理學院,上海 201620)

二維趨化-趨觸模型解的有界性

劉冬梅a,陶有山b

(東華大學 a. 信息科學與技術學院;b. 理學院,上海 201620)

考慮一個刻畫癌細胞浸潤其周圍正常組織的趨化-趨觸模型，該模型由兩個反應-擴散方程和一個常微分方程構成. 運用單邊逐點估計和耦合估計技巧， 證明了該模型小數據整體古典解的有界性.

趨化性； 趨觸性； 耦合估計； 整體存在性； 有界性

癌細胞能產生一定的化學酶來降解其周圍的正常組織，從而實現其向組織外的浸潤或轉移.癌細胞傾向于向酶濃度高的地方遷移(趨化性機制),同時又傾向于朝組織密度大的地方運動(趨觸性機制).本文刻畫癌細胞浸潤其周圍正常組織的趨化-趨觸模型[1]如式(1)所示.

(1)

其中： Ω?R2為一個有界光滑區域；?υ為邊界?Ω的外法向量的導數；χ,ξ為給定的正參數； u=u(x,t)為癌細胞密度； v=v(x,t)為酶的質量濃度； w=w(x,t)為細胞外基質濃度. 模型(1)中第一個方程表明除隨機運動外， 癌細胞的運動還同時受到趨化性、趨觸性兩種偏向運動機制的影響. 第二個方程表示酶由癌細胞分泌， 并經歷擴散和衰減. 第三個方程表示細胞外基質通過接觸酶而被降解， 由于組織是硬的， 所以假設其沒有擴散.另外， 假設u,v,w滿足零流邊界條件， 即在邊界處癌細胞和酶的凈流量為零.

當w≡0時， 模型(1)轉化成如下的趨化子系統

該模型已被廣泛研究. 當空間維數n≥2時， 模型的解在有限時間爆破[2-4].

假設模型(1)中的初始數據滿足

(2)

其中： α∈(0,1).

為了陳述結論， 需要用到如下二維空間中的Gagliardo-Nirenberg不等式： 設Ω?R2是一個光滑有界區域， 則對任意的φ(x)∈W1,2(Ω)， 存在CGN=CGN(Ω)>0， 使得

(3)

成立.

本文的主要結果如下：

定理1假設Ω?R2是一個有界光滑區域， χ>0， ξ>0， 并設u0、v0和w0滿足式(2)且

則模型(1)在Ω×(0,∞)上存在唯一有界的古典解.

這里需要說明的是， 對于帶Logistic源的趨化趨觸模型， 當n=2時， 只要初始數據滿足一定的正則性假設， 就可以得到模型的古典解有界[5]； 而對趨化-趨觸模型(1)， 還需要假設初始細胞的質量小于某個特定值.

1 局部存在性和Δw的單邊估計

模型(1)的局部可解性結論已在文獻[6-7]中給出證明.

引理 1. 1假設χ>0， ξ>0， 則對任何初始數據(u0,v0,w0)滿足式(2)， 存在Tmax∈(0,∞]， 使得模型(1)存在唯一的古典解

滿足

u≥0,v≥0,0(x,t)∈Ω×[0,Tmax)

且有

(4)

下面引理關于-Δw的單邊逐點估計是后續分析的基石.

引理1.2假設χ>0， ξ>0， 并設(u,v,w)是模型(1)在Ω×(0,T)上的古典解且(u0,v0,w0)滿足式(2)， 則成立

-Δw(x,t)≤‖w0‖L∞(Ω)·v(x,t)+K,
x∈Ω,t∈(0,T),

(5)

其中

(6)

證明： 具體的證明過程見文獻 [5],這里只簡要給出說明，首先由模型(1)中第三個方程得

對x兩次求導得

(7)

接下來， 分別估計式(7)右邊的積分. 首先， 由v的非負性得

(8)

再次根據v≥0并利用w0>0得

利用模型(1)中的第二個方程估計式(7)的最后一項

逐點估計式(5)把Δw和v聯系在一起， 從而能夠建立下文的能量型不等式， 這個不等式將在后面的證明中用到.

引理1.3令T∈(0,Tmax)， χ>0， ξ>0， 并設式(2)成立，則對任意p>1，t∈(0,T))，模型(1)的解滿足

(11)

證明： 模型(1)中第一個方程兩邊同時乘以up-1后再在Ω上積分得

(12)

利用Young不等式得

(13)

與趨化積分項的處理方法不同， 利用引理1.2、分部積分及Young不等式估計式(12)右邊的趨觸積分項

(14)

下面引理的質量估計很容易驗證.

引理1.4模型(1)的解(u,v,w)滿足

(15)

證明： 系統(1)中第一個方程在Ω上求積分并利用分部積分和模型(1)中零流邊界條件得

由此推得

(16)

即式(15)成立.

2 解的有界性： 定理1的證明

(17)

證明： 該引理在文獻 [8] 中已證明， 故這里不再重復.

引理2.2令T∈(0,Tmax)， χ>0， ξ>0， 并設式(2)成立且

(18)

則存在C>0， 其中C獨立于T， 使得模型(1)的解滿足

和

(19)

再次利用分部積分， 并根據Young不等式得

(20)

類似地，

再由引理1.2知

(21)

進一步， 利用Young不等式和引理2.1估計式(21)右邊的第一項

因此

(22)

(23)

聯合式(20)、(22)、(23)及(19)得

(24)

其中c5:=c2+c4. 為了消去式(24)右邊的第二項， 將模型(1)中第二個方程兩邊同時乘以-Δv后再在Ω上積分， 并利用Young不等式得

(25)

(26)

接下來， 處理式(25)右邊的積分項， 利用Gagliardo-Nirenberg不等式(3)得

(27)

結合式(26)、(27)以及假設式(18)得

(28)

由式(25)和(28)得

y′(t)+y(t)≤c7.

最后， 由常微分比較原理得

y(t)≤max{c7,y(0)},t∈(0,T).

從而引理2.2得證.

引理2.3假設Ω?R2是一個有界光滑區域， 并設p∈(1,∞)且r∈(0,p)，則存在C>0， 使得任何η>0存在Cη>0滿足

(29)

引理2.4令T∈(0,Tmax)， χ>0， ξ>0， 并設式(2)成立且

則存在C1>0， 其中C1獨立于T， 使得模型(1)的解滿足

(30)

證明： 令式(11)中p=2

(31)

利用Young不等式和引理2.1得

(32)

引理2.5令T∈(0,Tmax)， χ>0， ξ>0， 并設式(2)成立且

則模型(1)的解滿足

(33)

證明： 由模型(1)的第二個方程直接計算可得式(33). 事實上， 在文獻 [10] 中已經給出具體的證明過程， 故在此不再重復.

推論2.6令T∈(0,Tmax)， χ>0， ξ>0， 并設式(2)成立且

則存在C2>0， 其中C2獨立于T， 使得模型(1)的解滿足

證明： 式(30)和(33)相加得

引理2.7令T∈(0,Tmax)， χ>0， ξ>0， 并設式(2)成立且

則存在C>0， 其中C獨立于T， 使得模型(1)的解滿足

(35)

且

(36)

(37)

(38)

進一步， 由Gagliardo-Nirenberg不等式和引理2.2得

(39)

結合引理2.3、2.2和1.4知

(40)

y′(t)+y(t)≤c9,

這里c9:=c1+c8+C2,其中C2是推論2.6中給出的常數. 再根據常微分比較原理得

y(t)≤max{y(0),c9},t∈(0,T)，

故引理2.7得證.

引理2.7可以推出以下的推論， 并將在引理2.9的證明中使用.

推論2.8令T∈(0,Tmax)， χ>0， ξ>0， 并設式(2)成立且

則存在C3>0， 其中C3獨立于T， 使得模型(1)的解滿足

‖v(·,t)‖L∞(Ω)≤C3,t∈(0,T).

(42)

另外， 對于任意的4≤q<∞， 存在M1(q)>0， 使模型(1)的解成立

(43)

證明： 根據式(36)和引理2.1推得

‖v(·,t)‖W1,4(Ω)≤c1,t∈(0,T)，

引理2.9令T∈(0,Tmax)， χ>0， ξ>0， 并設式(2)成立且

則存在獨立于T的C>0， 使得模型(1)的解滿足

‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤C,t∈(0,T).

(44)

其中p>2且c1:=1+pξ‖w0‖L∞(Ω)·C3+pξK. 進一步， 利用Young不等式和式(43)得

(46)

其中： 常數c2>0； M1(·)的定義見推論2.8.

類似地， 存在常數c3>0， 滿足

(47)

綜合式(45)～(47)得

再根據文獻 [13]， 即證得引理2.9.

最后， 可以完成定理1的證明.

定理1證明：根據引理2.9，并由引理1.1得到Tmax=+∞， 從而模型(1)的整體古典解存在且有界， 即定理1證畢.

3 結 語

[1] CHAPLAIN M A J,LOLAS G. Mathematical modelling of cancer invasion of tissue: Dynamic heterogeneity[J]. Networks and Heterogeneous Media,2006,1(3): 399-439.

[2] HERRERO M,VELAZQUEZ J J L. A blow-up mechanism for a chemotaxis model[J]. Ann Scuola Normale Superiore,1997,24(4): 633-683.

[3] NAGAI T. Blow up of nonradial solutions to parabolic-elliptic systems modeling chemotaxis in two-dimensional domains[J]. Journal of Inequalities and Applications,2001,6: 37-55.

[4] WINKLER M. Finite-time blow-up in the higher-dimensinal parabolic-parabolic Keller-Segel system[J]. Journal De Mathématiques Pures Et Appliqués,2013,100(5): 748-767.

[5] TAO Y. Boundedness in a two-dimensional chemotaxis-haptotaxis system[J].Mathematics,2014,70(70):165-174.

[6] TAO Y,WANG M. Global solution for a chemotactic-haptotactic model of cancer invasion[J]. Nonlinearity,2008,21(10): 2221-2238.

[7] TAO Y,WINKLER M. Boundedness and stabilization in a multi-dimensional chemotaxis-haptotaxis model[J]. Proceeding of the Royal Society of Edinburg,2014,144(05): 1067-1084.

[8] LIU D,TAO Y. Global boundedness in a fully parabolic attraction-repulsion chemotaxis model[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences,2014,38(12): 2537-2546.

[9] TAO Y,WINKLER M. Energy-type estimates and global solvability in a two-dimensional chemotaxis-haptotaxis model with remodeling of non-diffusible attractant[J]. Journal of Differential Equations,2014,257(3): 784-815.

[10] TAO Y,WINKLER M. Boundedness in a quasilinear parabolic-parabolic Keller-Segel system with subcritical sensitivity[J]. Journal of Differential Equations,2012,252(1): 692-715.

[11] ISHIDA S,SEKI K,YOKOTA T. Boundedness in quasilinear Keller-Segel systems of parabolic-parabolic type on non-convex bounded domains[J]. Journal of Differential Equations,2014,256(8): 2993-3010.

[12] HORSTMANN D,WINKLER M. Boundedness vs. blow-up in a chemotaxis system[J]. Journal of Differential Equations,2005,215(1): 52-107.

[13] 高斌. 趨化-趨觸模型的臨界質量現象[J]. 紡織高校基礎科學學報,2015,28(3): 276-286.

Boundedness in a Two-Dimensional Chemotaxis-Haptotaxis System

LIUDong-meia,TAOYou-shanb

(a. College of Information Science and Technology;b. College of Science,Donghua University,Shanghai 201620,China)

A chemotaxis-haptotaxis model for cancer cell invasion of neighboring tissue is considered. The model consists of two reaction-diffusion equations and an ordinary differential equation. By employing a one-sided pointwise estimate and coupled estimate techniques,it is shown that the model possesses a global and bounded classical solution whenever the initial data is appropriately small.

chemotaxis;haptotaxis;coupled estimate;global existence;boundedness

1671-0444 (2016)05-0768-07

2016-04-12

劉冬梅(1987—),女,安徽宿州人,博士研究生,研究方向為偏微分方程. E-mail: liudongmei121@sina.cn 陶有山(聯系人)，男，教授，E-mail:taoys@dhu.edu.cn

O 175.26

A