指向數學核心素養的合作學習設計：基于數學問題解決

裴昌根

(西南大學 數學與統計學院，重慶 400715)

指向數學核心素養的合作學習設計：基于數學問題解決

裴昌根

(西南大學 數學與統計學院，重慶 400715)

數學問題解決是培養學生數學核心素養的著力點。在數學教學中，應用合作學習培養學生的數學問題解決能力，可以從以下五個方面進行設計：合作學習基本要素、問題解決能力培養、課堂教學設計、小組評價和小組題目設計。此研究可以為聚焦數學核心素養的課堂教學創新提供參考。

數學核心素養；合作學習；設計研究

一、研究背景

2014年教育部頒布的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》明確了“培養學生核心素養”將成為新一階段基礎教育課程改革的中心任務。圍繞這一中心任務，需要構建以學生發展為本的教學方式，使課堂教學真正發揮培養學生核心素養的主渠道作用。合作學習是新課程改革所提倡的三大新教學方式之一。[1]對數學教學而言，合作交流已經成為被普遍認同的數學學習方式之一。[2]就當前數學合作學習的研究來看, 合作學習主要面臨以下三個方面的問題：一是實踐問題突出，如：“小組活動流于形式”“個體責任擴散”“學生社交技能欠缺”“大班額分組困難且課堂過于喧嘩混亂”和“評價體系沒有跟上”。[3][4]二是小組活動缺乏與數學學習的深度融合。目前很少有研究將數學學習的方法融入合作學習，而大多數研究僅僅將合作學習看作課堂教學組織的一種方式，例如簡單地加入小組討論。三是合作學習的設計缺乏整體通盤考慮。即沒有從系統的角度在較長的學習周期中去看待、思考和設計合作學習。以上三大問題的解決既需要深入的理論分析，也需要扎實的實踐探索。

目前普通高中數學課程標準修訂組提出，數學核心素養是指“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的、與數學有關的關鍵能力和思維品質”，其涵蓋六個要素：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。數學問題解決是指人們在解決沒有現成解法的數學問題時的認知活動。[5]數學問題大致可以分為兩類：一類是求證，另一類是求值。在求證類的問題中，往往會涉及數學抽象、邏輯推理和直觀想象等；而在求值類的問題中，更多地會涉及數學建模、數學運算和數據分析等。在進行數學問題解決活動時，因解決的問題沒有現成的證法或解法，因此解決這類問題將更能調動學生進行思考，從而可以極大地促進學生數學核心素養的生成與發展。所以，培養學生的數學問題解決能力為發展學生的數學核心素養找到了著力點。

本文從合作學習的角度，探討了如何培養學生的數學問題解決能力，以促進學生數學核心素養的發展。在合作學習中，合作小組可以解決較難的數學問題，通過知識共享、認知沖突、協商交流促進學生對數學知識和解題策略的深入理解和掌握。合作學習雖然強調學生間的相互依賴、相互幫助，是一種團體性的活動，但是其落腳點還在于促進每位學生的學習。本研究中設計的合作學習，將培養學生的數學問題解決能力和合作學習結合了起來，力求通過合作學習使每位學生了解數學問題解決的基本過程，掌握數學問題解決的一般策略，養成數學問題解決的反思習慣，提高數學問題解決的能力，從而提升數學核心素養。

二、研究方法

設計研究(Design-Based Research, 簡稱DBR)是21世紀初才逐步發展和新興起來的一種研究范式。在教育領域，這一研究范式致力于將理論建構和實踐應用相結合，通過研究學習發生的過程和設計相關的支撐手段，建構基于實證的理論。[6]設計研究具有以下五個特點[7]：在真實的教育環境中進行；關注干預的設計和檢驗；運用混合的研究方法；設計需要反復修正檢驗；在研究者和實踐者之間建立起協作伙伴關系；設計原則不斷發展。

根據設計研究的特點，開展設計研究需要研究者進入真實的教育環境之中，要在干預的過程中收集詳實的數據，并與教師形成良好的伙伴關系。本研究選取了廣東省深圳市的一所普通初級中學，涉及一名數學教師及其所任教的兩個八年級班級的學生(每班47人)。學生按照異質原則，主要以四人編成小組，組內包括一名學優生、兩名中等生和一名后進生。按照設計研究的流程[8]，首先，研究者根據合作學習理論、數學問題解決理論以及參與教師的教學情況制訂最初的教學設計原則。然后，教師按照教學設計原則進行教案設計和教學實踐。同時，研究者通過課堂觀察和學生訪談的方式收集相關數據。在研究中以單個教學周為觀察周期，在教學實施一周后，研究者和該教師根據在本周教學中發現的問題，對教學設計原則進行修改。而后，在下一周的教學中按照修改過的教學原則設計教案并實施教學，對其再觀察、再檢驗。如此，經過多輪的修改檢驗后，會總結形成最終的合作學習設計方略。以下將對其進行詳述。

三、合作學習設計

本文提出了基于數學問題解決的合作學習模式，其是指在合作學習的教學理論指導下，圍繞數學問題解決這一主題，以培養學生數學問題解決能力、數學核心素養為教學目標，而形成的相對穩定的規范化的教學程序和操作體系。在這一模式中，合作學習可以從以下五個方面進行設計：合作學習基本要素、問題解決能力培養、課堂教學設計、小組評價和題目設計。這五個方面既相對獨立，又互相作用形成合力，能夠促進教學目標的達成。以下將對這五個方面逐一闡述：

1.合作學習基本要素

要發揮合作學習的效果必須落實以下五個基本要素[9]，本研究在教學設計和實施時考慮如下：

(1)積極的互賴關系

小組成員要意識到個人的成功是和其他小組成員緊密聯系在一起的，只有依靠小組成員的共同努力才能完成小組的任務。在本研究中，為了讓小組成員之間形成積極的互相依賴關系，我們采取了兩項舉措：一是，教師明確了小組成員的互補性，特別強調了后進生在小組中的作用，如要把后進生所犯的錯誤看作學習的機會；學優生可以通過幫助后進生來發現解題關鍵點。二是，小組獲得的獎勵是以小組的平均成績而非個人成績為參考標準。

(2)個人的責任

小組的成功需要每個成員的積極參與，并且每個成員都應承擔起自己應有的責任。如果這方面不加以注意，學生中很容易出現“搭順風車現象”：即自己不參與小組活動，完全依靠他人完成任務。為使小組成員都能承擔起自己應有的責任，本研究采取了如下舉措：一是，教師在小組學習活動后將檢查每一位學生的解題掌握情況；二是，教師一般會選擇中等生或后進生匯報小組結果；三是，在每個單元學習完結后，教師將實施由學生獨立完成的測試。

(3)促進性的互動

在小組活動時，小組成員間應相互鼓勵、相互幫助，積極發表自己的意見并接納他人的合理意見。在本研究中，教師提出了交流互動的規范以幫助學生進行有益的互動，如提問要具體明確；盡量給予同伴解釋過程而不是最后結果；尊重不同的觀點；以事實和理由說服他人；整合不同觀點形成一致意見。

(4)社交技能

小組成員應該掌握基本的社交技能，如如何與他人溝通，如何解決分歧，如何協調小組活動，如何建立起相互的信任關系等。本研究中，教師制訂了合作行為準則，并采取了相關措施以引導學生學會與他人交流合作。例如，等待別人發言結束后再加以評論；設置了小組長，由小組長協調本組的活動。

(5)小組自評

小組成員應定期評估自己或組員在小組合作時的言行以及本小組合作的效率和效果。這樣，既可以繼續保持有利于小組合作的言行，又能夠改進不利于小組合作的言行。本研究中，小組自評在教師的指導下進行，每次小組活動結束后，每個小組都會得到教師的評分，教師以此讓學生反思自己的合作言行，集體討論如何將小組活動做得更好。

以上五個基本要素是合作學習幫助學生形成良好學習氛圍的基石。合作學習的有效開展需要改變以往學生之間競爭性或只關注自我的學習方式，在交流、協商、爭辯中充分把同伴作為一種學習資源，實現自我及他人學習的共同提高。

2.問題解決能力培養

問題解決與一般意義上的練習有著本質的區別。一般練習是指學生在已經掌握了解決某類問題的方法和策略的基礎上，再做與此類問題相似的題目，以鞏固對這些方法和策略的掌握，從而提高其運用的熟練度。而問題解決對學生提出了更高的要求，需要學生將新問題轉化為已知問題，并利用已獲得的知識和技能進行解決。要提高學生的數學問題解決能力，一個有效途徑就是分析解題的過程。[10]另外，研究也發現，學生學習數學解題提示語有利于提高學生的解題能力，并且學生以小組的方式學習解題提示語比個人學習效果更佳。[11]因此，為培養學生的數學問題解決能力，學生將在進行小組活動時練習運用解題提示語并分析解題過程。具體措施如下：

該培訓旨在讓學生了解數學問題解決的基本過程和一般策略。培訓內容主要以波利亞的數學問題解決的四個階段和相關提示語[12]展開(見表1)：①弄清問題；②擬定計劃：根據問題，思考問題的解決方案; ③實施計劃：根據解決方案，寫出完整的解題步驟；④回顧反思：回顧核查解題過程。這里，在擬定計劃階段的提示語時主要參考胡炳生教授提出的解題思考三步驟[13]：觀察—聯想—轉化。這三個步驟也可以看作數學問題解題的一般策略，因為它能夠指示學生解題的思考方向。每個步驟都有更加詳細的提示語，這里不一一贅述。在回顧反思階段，我們要求學生梳理驗證解題步驟，思考不同解法和選擇最優解法。此外，還增添了讓學生思考解題關鍵點和分析錯誤的要求。思考關鍵點可以讓學生抓住解題的思考要點，以便再遇到類似題目可以較快地找到解題的突破口。數學錯誤可以大致分為以下四類[14]：概念不清、推理無據、忽視條件、考慮不周。分析錯誤可以幫助學生發現自己的認知偏差或知識漏洞，提高解題的監控能力。

表1 數學問題解決的基本過程和提示語

(2)制作專門的學習資料

將數學問題解決的基本過程、相關提示語以及錯誤類型的知識編輯成冊，給每位學生發一份，督促其在小組討論時使用，幫助學生逐漸熟悉并內化這些知識。

(3)設計小組活動總結表

小組活動總結表既是學生小組活動結果的載體，也是小組活動的認知路線圖。在小組活動總結表中，每個小組需要填寫以下內容：解法、關鍵點、錯誤及其改正方法、錯誤類型、不同解法和其他發現。在每次小組活動前，教師要將小組活動總結表發給每個小組。小組活動結束后，教師要收回每個小組的活動總結表并評改計分。

3.課堂教學設計

課堂是學生學習的主要場所，也是教學開展的主陣地。在本研究中，課堂教學的設計主要基于兩方面考慮：一方面，為建立起學生之間穩定的積極互賴關系，學生應該有較多的機會進行小組活動。因此，這種課堂教學設計應能夠在教師的常規課中經常使用。另一方面，這種課堂教學設計可以為發揚我國數學教學的優良傳統創造條件，如變式教學、啟發式教學、精講精練。由于上述優良傳統都是在教師講授的情況下實施開展的，所以全班講授式教學需要在教學設計時進行保留。最終，在本研究中，課堂教學設計分成全班講授和小組學習兩個部分。以一堂45分鐘的數學課為例，全班講授的時間在25～30分鐘，而小組學習時間在15～20分鐘。在全班講授時，教師要力求精講精練，剔除不必要的重復性練習，把本堂課的主要內容放在全班講授環節，為學生的小組學習做好鋪墊和知識技能準備。在小組學習環節中，教師要明確小組活動要求，督促學生積極參與小組討論。小組學習環節可以進一步劃分為以下五個步驟：

(1)展示題目

二零一零年，小虎隊重回春晚，《愛》的旋律乍起，迅速將我拉回至一九八八年秋天的場景，眼前一熱，流下淚來。

教師展示小組活動的題目，并要求學生認真審題。

(2)獨立做題

教師給予學生一定時間讓其獨立思考解題方法。同時，引導學生利用解題提示語思考解題方法，準備好交流的問題和觀點。

(3)小組討論

小組討論包含以下環節：①形成小組：前后兩排，前排學生轉身與后排學生形成小組。②交流互助(組員陳述、判斷正誤、組員互助)：由已有解題思路的組員先陳述自己的思路，其他成員如有不同想法再補充。當小組成員陳述完畢后，其他成員要對其發言做出判斷，如有錯誤需指出并加以糾正。如果有成員無法獨立解決問題，其他成員應給予幫助直至其解決為止。③集體反思：全體成員共同討論關鍵點、錯誤、不同解法和其他發現。④歸納總結：討論完以后，小組成員一起填寫小組活動總結表；也可邊討論邊填寫此表。

(4)小組分享

小組討論結束后，教師要檢查每位學生是否已經掌握了該題目的解法。這時可通過舉手示意的方式，了解每位學生、每個小組的討論效果。然后，選取若干個小組匯報討論的結果。

(5)教師點評

教師點評關注兩個方面：一是學生的匯報內容。針對學生的匯報內容，教師要指出其解題思路的優缺點。二是學生的合作表現。教師要對學生在小組討論時的言行進行點評，肯定好的言行，并指出需要改進的地方。

4.小組評價

學習評價一般可分為終結性評價和形成性評價。終結性評價在于對學生一段時間的學習效果進行鑒定；而形成性評價旨在通過評價發現學生學習的優點與不足，并為下一步的教學提供參考。[15]在本研究中，對小組的評價除了具有終結性評價和形成性評價的特點外，還有提高個人責任、形成互賴關系的作用。小組評價有以下四種形式:

(1)小組活動后的及時評價

小組活動后，教師將評價學生對小組題目的掌握情況，以了解是否每位學生都理解了該題的解法。評價以學生舉手的形式進行。每當小組活動結束后，教師會要求學生舉手示意其是否掌握了題目的解法。若某一小組中有成員沒有理解該解法，該小組在活動總結表上的得分將會減去相應的分數。小組活動后的及時評價在于使學生承擔起個人責任，督促所有組員在小組活動時要積極思考，沒有明白的學生要主動尋求幫助，同時已經明白的學生要積極幫助有困難的學生。這個評價本質上是終結性評價。

(2)基于小組匯報的教師點評

教師點評主要是評價學生的匯報內容和合作表現。一方面，要根據匯報內容了解學生對題目的掌握情況，幫助其理順解題思路，對發現的問題及時給予糾正，所以這方面體現了形成性評價的思想。另一方面，要評價學生的合作表現，以幫助學生養成良好的合作習慣。

(3)基于小組活動總結表的評價

因為不是每個小組都有機會發言，所以只能依靠小組匯報的方式對小組討論結果進行評價，那么就有一些小組討論的結果不能得到教師的評價反饋。為解決這一問題，本研究使用了小組活動總結表，此表記錄了學生討論的結果。根據小組活動總結表，教師便可以對每個小組的活動結果進行評價反饋。在評價時，教師會給小組的活動總結表打分，并在批改后發還給各個小組。對在小組活動總結表中發現的學生解題方面的問題，教師可以在下次上課時進行補救。有時，教師也會將得分較高的小組活動總結表展示出來，以供其他小組觀摩學習。另外，教師會把每次小組活動總結表的得分進行統計，以周為單位匯總，并以此為依據評選每周的優秀小組。對得分靠后的小組，教師應幫助其分析原因以促使其進步。 因此，該評價兼具終結性評價和形成性評價的特點。

(4)基于階段性測試的評價

階段性測試在于檢驗學生階段性的學習效果，如單元測試，期中、期末測試。每次測試要求學生獨立完成，根據小組成員的測試平均分給予小組得分。這樣既可以檢驗每位學生的學習效果，也可以增強小組成員間的合作關系。階段性測試主要體現了終結性評價的思想。

如此，將每次小組活動的評價和階段性測試結合起來，能夠使評價成為檢驗小組合作效果、改進教學、提高個人責任，以及形成合作關系的有效手段。

5.小組題目設計

解決問題是學生學習數學的主要活動形式。在小組學習中，題目的設計關系到學生的討論質量。合適的題目可以激發學生積極的思考，創造鍛煉學生高階認知思維的更多機會。在本研究中，經過課堂實踐的檢驗，形成了以下的題目設計原則：一是，題目數量不宜過多。在干預的最初階段，小組活動中布置了多個題目，結果發現不同學生常常關注不同的題目，學生的注意力容易分散。由此，小組活動便異化為各自的解題活動。為避免這一問題，經過調整后發現，題目設置為一至兩個較為妥當。二是，題目內容需緊扣每堂課最重要的教學目標。一堂課的教學目標可能有若干個，為了利用小組活動，促進最重要教學目標的達成，小組題目應該圍繞最重要的教學目標來選擇和設計。三是，題目難度需適宜。題目有一定的難度才容易引發學生合作的認知需求。過難的題目容易造成即使合作也不能解決問題的情況，使學生對合作的效力產生懷疑，從而降低參與小組討論的積極性。當然，這里難度的概念是相對的。對于不同學生、不同的教學內容，難度需要具體設定。四是，題目最好能夠暴露學生比較容易犯的錯誤。錯誤說明了學生學習存在認知偏差，改正分析錯誤有利于幫助學生形成正確的知識體系和良好的認知習慣。學生要樹立對待錯誤的正確態度：錯誤是學習的機會，而不是失敗的象征。最后，題目最好可以一題多解。研究中發現，具有多解的題目往往能夠引起學生激烈的討論，能夠幫助學生從多個角度思考和解決問題。

合作學習是以合作與交流為主要特征的學習方式，是數學學習的重要方式。合作學習創建了寬松安全的學習環境，可以充分激發學生的學習興趣，調動學生學習的主動性，為培養學生數學核心素養創造良好的條件。數學問題解決是數學學習活動的重要方式，具有較高的挑戰性、較強的綜合性和較高的開放性，對培養學生的數學核心素養具有重要的作用。本研究提出的合作學習設計方略，分析了合作學習的特點和數學問題解決的要點，著眼于通過學生的合作與交流，幫助每位學生掌握數學問題解決的基本過程和一般策略，養成回顧反思的解題習慣，從而提高數學問題解決能力，最終促進學生數學核心素養的發展。

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Designing Cooperative Learning for Mathematical Key Competences: Based on Mathematical Problem Solving

PEI Changgen

(College of Mathematics and Statistics, Southwest University，Chongqing 400715)

Mathematical problem solving offers a springboard to cultivate students’ mathematical key competences. The strategies for designing cooperative learning for cultivating students’ ability of mathematical problem solving involve the following five aspects: the basic elements of cooperative learning, problem-solving ability cultivation, classroom instruction design, group evaluation, and task design. This study provides an important exemplar to classroom instruction innovation about cultivating students’ mathematical key competences.

mathematical key competences, cooperative learning, design-based research

裴昌根，四川成都人，西南大學數學與統計學院博士后，主要從事數學教育與教育統計研究。