例談增根的產生與作用

蘇凡文

(山東省寧陽縣第一中學 271400)

中學階段，增根是學生普遍感覺比較棘手的問題．增根是指方程求解后得到的不滿足題設條件的根．了解增根產生的原因，對根進行合理取舍，是中學生必備的數學素養．本文以高考題目為例談一下增根問題．

一、增根產生的原因

增根的產生源于題目條件轉化為結論的過程中，使得條件成為結論的充分不必要條件．如果在題目的解答過程中將條件等價轉換為結論，增根自然會被舍去．

(1)求C1的離心率；

(2)設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程．

我們常常說，二元二次曲線方程聯立在實數范圍內容易產生增根，但兩圓聯立不產生增根，這是為什么呢？

二、探索兩圓聯立不產生增根的原因

①當兩圓相交時，顯然根軸為公共弦所在的直線，根軸與兩圓的兩個公共點即是兩圓的兩個公共點；

②當兩圓外切時，兩圓的1個公共點在根軸上，且d=r1+r2．

下面證明根軸與兩圓只有一個公共點．

所以，兩圓外切時，兩圓的1個公共點即根軸與兩圓的1個公共點；

③當兩圓內切時，兩圓的1個公共點在根軸上，設r2

所以，兩圓內切時，兩圓的1個公共點即根軸與兩圓的1個公共點；

所以，兩圓內含時，兩圓無公共點，根軸與兩圓也沒有公共點．

所以，兩圓外切時，兩圓無公共點，根軸與兩圓也沒有公共點．

綜上所知，“圓與圓的公共點的個數”和“根軸與圓的公共點個數”是相同的．

所以，兩圓的位置關系本質是根軸與圓的位置關系，因為直線與二次曲線聯立不會出現增根，故兩圓聯立不會出現增根．

三、增根在部分題目中存在的意義

很多人認為增根本身沒有存在的必要性和價值性，是嚴謹數學的一個瑕疵，這其實是不對的，細細研磨會發現，增根在部分題目中對解題有些積極的提示性作用．

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

分析本題絕大部分學生得6分或者7分，主要原因是計算到4k2+8km+3m2-2m-1=0不會因式分解，若利用變換主元法，可得4k2+8mk+(m-1)(3m+1)=(2k+m-1)(2k+3m+1)．但是這種二元二次方程因式分解絕大部分學生不會做．下面提供一種利用增根進行因式分解的方法．