圓中線段計算的兩個解題策略

文／朱國華

計算圓中線段的長度是中考常考題型，是對圓的性質、三角函數、相似三角形、勾股定理等知識的綜合運用。此類題目屢考屢新，但我們只需掌握兩個解題策略，便能以不變應萬變。

策略一：借助解直角三角形

1.利用勾股定理求解

例1如圖1，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，點O是AC上一點，以O為圓心，OC為半徑作⊙O，⊙O與AB相切于點D。求AO的長。

圖1

【解析】如圖2，連接OD。在Rt△ABC中，AB==10。因為OC⊥BC，所以BC是⊙O的切線。又因為BD也是⊙O的切線，所以BD=BC=6，所以AD=10-6=4，且∠ADO=90°。設AO=x，則有OD=OC=8-x。在Rt△ADO中,有AD2+OD2=AO2，所以42+（8-x）2=x2，解得x=5，所以AO=5。

圖2

【點評】將已知量和未知量集中到直角三角形中求解，是求線段長度常用的方法。本題由切線產生直角，形成直角三角形，建立線段關系，為用勾股定理求線段長度提供了可能性。

2.利用三角函數求解

例2如圖3，四邊形ABCD內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，連接AC，sin∠BAC=AD=6，求BC的長。

圖3

圖4

【點評】本題通過“直徑所對的圓周角是直角”構造直角三角形，建立邊角關系，再利用三角函數求解。例1 由切線產生直角，例2 由直徑產生直角。其實，“垂徑定理”“切線長定理”中也有直角，希望同學們注意。

策略二：借助相似三角形

例3如圖5，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作DP∥BC，與AC的延長線交于點P。當AB=5，AC=12 時，求線段PC的長。

圖5

【點評】把已知線段和未知線段集中到兩個相似三角形中，利用對應邊成比例列方程求解，是求線段長度常用的方法。和圓有關的圖形中，經常隱藏很多等角，存在著相似三角形，這就需要同學們用敏銳的眼光去發現、構造相似三角形，建立線段之間的關系，尋求問題的解決方法。

對于較復雜的圓中線段求解問題，常需對求解線段進行轉化，靈活運用這兩種策略，分而破之。希望同學們手持這兩把利劍，讓圓中線段求解問題迎刃而解。