利用導數研究含參數函數的單調性

李喜才

摘 要：函數的單調性是函數的一個最重要的性質，沒有之一，也是高考重點考察內容，對于熟悉的基本初等函數單調性，我們是容易確定的，但對一些超越函數，特別是含參數函數的單調性，就不那么容易確定了，這時就需要借助導數這個工具來研究含參數函數的單調性，本文介紹利用導數研究含參數函數單調性分三種類型。

關鍵詞：導數;參數函數;單調性

利用導數研究函數單調性的步驟：（1）先確定定義域;（2）求導，找出所需函數;（3）確定參數分類討論的臨界值;（4）分析導函數零點，畫出導函數圖像。

類型一;導函數為含參的“一次函數”類型

例1.（2015年新課標全國Ⅱ卷）已知函數（1）討論函數的單調性.

分析：函數定義域為，，令

決定導函數符號的部分是，是一次函數類型，所以分類討論情況分為以下三類;

解：函數定義域為，，令

當時，由，得，

即，則在上單調遞增

當時，①當時，，即，所以在上單調遞增，

②當時，，即，所以在上單調遞減。

綜上，當，在上單調遞增;當時，在上單調遞增，在上單調遞減

例2（2012年新課標全國卷）已知函數，（1）求的單詞區間。

分析：，觀察函數的圖像，共同點：定義域內單調性明確，函數最多有一個零點，令，所以可以看成是“一次函數”類型

解：函數的定義域為R，，令，則，又因為，所以分類討論的臨界值為0，分類討論情況為以下三類：

當時，所以的單調增區間為，無單調遞減區間;

當時，若，則.當時，，當，

所以的單調減區間為，單調增區間為

綜上，當，的單調增區間為，無單調遞減區間;

當時，的單調減區間為，單調增區間為

類型二：導函數為含參的“二次函數”類型

例3（2018年新課標全國Ⅰ卷）已知函數（1）討論函數的單調性。

分析：函數的定義域為，，決定導函數符號的部分是，是二次型函數

解：函數的定義域為，，令

（觀察導函數表達式）

當時，即，所以在單調遞減

當時

①當，即時，有兩個不等實根，即

①當，所以在和單調遞減;②當時，，在單調遞增。

綜上，當時，在單調遞減;

當時，在和單調遞減，在單調遞增。

例4.求函數的單調區間

分析：，

是“一次函數”類型

故可看成“二次函數”類型。當時，，由，找到分類討論的臨界值為0.

解：函數的定義域為R，，

當時，，的單調遞減區間為，單調遞增區間為

當時，時，（比較導函數零點的大小）

①當，即時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為

②當，即時，的單調遞增區間為，無遞減區間。

③當，即時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為

綜上，當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為

當時，的單調遞增區間為，無遞減區間，

當時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為

類型三：導函數為含參的“其它函數”類型，需二次求導轉化到前兩種類型

例5.已知函數，若函數在區間上有最值，求實數的取值范圍。

分析：，不是“二次函數”類型，二次求導化為“一、二次函數”類型

解：函數的定義域為，，令

當時，，即在上遞減，此時，要函數在區間上有最值，則只需有零點即可，即，即

當時，，

①當時，，在時恒成立，即在上單調遞增，，

即，即在上單調遞減，不存在最值，舍去

②當時，，時，恒成立，即單調遞減，，

即，即在上單調遞減，不存在最值，舍去。

③當時，，即在單調遞減，在單調遞增，，即，即在上單調遞減，不存在最值，舍去。

綜上，實數的取值范圍是.

參考文獻：

[1]龔亮亮. 例談利用導數判斷帶參數函數的單調性[J]. 數理化解題研究，2019，（19）：14-15.

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[3]李揚. 例談如何利用導數來判斷含參數函數的單調性[J]. 數學大世界（教師適用），2011，（08）：57-58.