淺談學生在分類討論中的幾種錯解現象

李麗君

摘 要：分類討論思想涉及全部初中數學的知識點，是每年中考必考的數學思想之一，它是提高學生邏輯思維能力和培養正確解決問題能力的一種重要途徑，但在具體問題中由于多種原因，導致學生不能正確運用這一思想，而常常會在解題時出錯。

關鍵詞：分類討論思想；常見錯解；思維定式

新課程對數學教師提出了更高的要求，在數學教學過程中，教

師不僅要組織學生探索知識，更應該引導學生在探索的過程中積累基本的數學活動經驗，感悟基本的數學思想?！读x務教育數學課程標準》明確指出：“數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括?！?/p>

分類討論是人們常用的一種重要思想方法，無論是在生產生活中、還是在科學實驗中，都得以體現。在初中數學學習中，分類討論思想也是解決數學問題一種重要的邏輯方法，這種數學思想在發展學生思維方面起著不可替代的作用，它能訓練學生的思維條理性和嚴密性。

分類討論數學思想，也稱為分情況討論，當一個數學問題在一定的題設下，其結論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類。將一個數學問題根據題設分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合。在數學學習過程中學生運用這一思想又是必不可少的，對提高學生的邏輯思維能力和培養正確解決問題能力是一種重要途徑，它體現了化整為零，積零為整的思想與歸類整理的方法。但在具體問題中由于多種原因，學生不能正確運用這一思想，而常常會在解題時出錯，現列舉幾種典型錯誤與大家共同討論：

一、對定義、概念、定理的理解不透徹

例1.若函數y=（a+3）x2a+1+4x-5（x≠0）是一次函數，求a的值？

錯解：很多學生由一次函數定義得2a+1=1且a+3≠0得y=

7x-5。

雖然定義明確規定一次函數中x的最高次數為1且k≠0，但定義所考慮的對象的范圍作為限制條件，針對的是一次函數在一般形式下成立，而本題不是一次函數的一般形式，即應該對所給形式進行分類討論。所以在對2a+1=1討論之外，在討論a+3=0時a=-3，y=4x-5是一次函數。

例2.半徑為3cm、5cm的兩圓相切，則它們的圓心距為 。

錯解：雖然問題很簡單，但還有很多學生只有8cm一個答案，而忘了相切有內切和外切兩種情況。

初中課本中有不少定理、法則、公式都需要分類討論，如實數的絕對值概念等是分類定義的，在教授這些內容時，可以通過不斷的變式練習，不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤。在解題教學中通過分類討論還有利于幫助學生概括、總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性、縝密性，這些都要求教師給予重視和注意，及時地進行強調。

二、易受思維定式影響

例3.已知直角三角形兩邊長分別為3、4，求第三邊長。

錯解：由勾股數3、4、5，很多學生馬上得第三邊長為5.

本題因為沒有明確4到底是直角邊還是斜邊，就應該分開討論，所以也是本題答案。

例4.已知方程（a-1）y2+6y+■=0有實根，求a。

錯解：由Δ≥0得62-4×■（a-1）≥0得a≤5且a≠1。這也是受教師平時強調方程有實數解時得Δ≥0，而忽略了本題中的方程不一定是二次方程，也可能是一次方程，當a=1時，y=-■一元一次方程也滿足。

這些題目看起來很容易，但學生往往答不全，很多學生存在漏解，所以雖然內容的相似方便于學生進行類比，用已有的數學經驗去快速解決問題，但也容易帶來思維的定式，造成一些不必要的失分，從而要求教師在平時講解時多給予變式訓練教學。

三、因圖形位置的不確定

例5.在△ABC中，AB=2■，AC=2，BC邊上的高AD為■，求BC的長。

錯解：很多學生把∠C看成銳角，由兩次勾股定理求得BC=4。

但∠C除了銳角之外，還可能是鈍角，即BC=2也是本題的解。

例6.在⊙O中，半徑為5，兩條弦為AB，CD，且AB=6，CD=8，且AB∥CD，求AB，CD之間的距離。

錯解：很多學生只考慮圓心的兩側，由垂徑定理得距離為7，但忽略了兩條弦還可能在同側，所以距離為1也是本題的解。

例7.已知⊙O1與⊙O2相內切，圓心距d=1，⊙O1的半徑為3，⊙O2的半徑。

錯解：設⊙O2的半徑為r，即3-r=1得r=2，但本題并沒明確兩圓的大小關系，所以4也是本題的答案。出現這一錯誤的根源是沒有給定明確的圖形，而平面幾何考試中不給圖形也是常有的事，

那并不是出卷教師的疏忽，而是有意為之，其目的就是針對學生審題不仔細，對題意的理解不透徹，從而不能正確畫出圖形，導致失分。因此就要求教師課上要盡可能多地加強這方面的思維訓練，幫助學生在解題時形成正確、合理、嚴謹的分類思想，進而將一個復雜的問題大大地簡化，達到化繁就簡，化難為易，分而治之的目的。

總之，以上現象皆因分類討論思想掌握不牢固所致，分類討論思想又是數學中一種比較重要的數學思想，通過加強這一思想的訓練，有利于提高學生對數學學習的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性。教師在制訂教學目標、采用教學方法時，都應有意識地突出分類討論思想，并通過具體教學過程努力加以體現。根據初中生的特點，教學中要遵照循序漸進、逐步深化的原則，并采用靈活多變和有效的教學手段來實施分類討論方法的教學。自覺地重視和加強分類討論思想的教學，這也是實施素質教育的具體表現，數學中的分類討論教學與素質教育中提出的培養學生的創新精神與探索精神是一致的。所以要求教師多對學生進行培養，進而不斷提高邏輯思維能力和分析解決問題能力。

參考文獻：

[1]方志平.例談避免分類討論的解題策略[J].福建中學數學，2013（01）：3.

[2]張雄.數學方法論與解題研究[M].高等教育出版社，2006-05.

編輯 薛直艷