指數(shù)型產(chǎn)品多階段可靠性增長(zhǎng)的Bayes模型

于春雨　蘇子美　孫永全　苑加和　牛　濱

哈爾濱理工大學(xué),哈爾濱,150080

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指數(shù)型產(chǎn)品多階段可靠性增長(zhǎng)的Bayes模型

于春雨蘇子美孫永全苑加和牛濱

哈爾濱理工大學(xué),哈爾濱,150080

摘要：基于D-S證據(jù)理論融合驗(yàn)前信息,建立了一種適用于小子樣復(fù)雜系統(tǒng)多階段可靠性增長(zhǎng)分析的Bayes模型。選擇Gamma分布作為失效率的先驗(yàn)分布,通過(guò)多源可靠性信息融合,將專家經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)換成概率分布,利用D-S證據(jù)理論融合多個(gè)專家信息,確定了先驗(yàn)分布參數(shù),結(jié)合產(chǎn)品研制階段試驗(yàn)數(shù)據(jù),根據(jù)Bayes統(tǒng)計(jì)推斷理論,給出了失效率、平均故障間隔時(shí)間(MTBF)和可靠度的Bayes點(diǎn)估計(jì)和置信下限。以兆瓦級(jí)直驅(qū)式風(fēng)力發(fā)電機(jī)研制試驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的有效性。

關(guān)鍵詞：D-S證據(jù)理論;可靠性增長(zhǎng)；Bayes模型;直驅(qū)式風(fēng)力發(fā)電機(jī)

0引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，大型復(fù)雜裝備逐漸趨向于多功能化、集成化和復(fù)雜化，可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)受時(shí)間和經(jīng)費(fèi)的限制，每一階段試驗(yàn)量較少,這給可靠性增長(zhǎng)定量分析帶來(lái)困難。兆瓦級(jí)直驅(qū)式風(fēng)力發(fā)電機(jī)屬于繼承性較強(qiáng)的產(chǎn)品，新型產(chǎn)品的研制往往是對(duì)已有產(chǎn)品或技術(shù)的改進(jìn)，存在大量歷史信息,同時(shí),產(chǎn)品研制部門擁有許多經(jīng)驗(yàn)豐富的專家，他們對(duì)新品研制具有一定認(rèn)識(shí),因此,要盡可能地利用這些資源和信息，高效、科學(xué)、合理地評(píng)估和預(yù)測(cè)產(chǎn)品可靠性水平。

對(duì)于小子樣異總體統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的處理常采用Bayes可靠性增長(zhǎng)模型[1]。在可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)中,每一階段試驗(yàn)結(jié)束后,排除產(chǎn)品故障,然后再進(jìn)入下一階段試驗(yàn)，總體的分布參數(shù)發(fā)生變化,上一階段的驗(yàn)后分布不能直接作為下一階段的驗(yàn)前分布。根據(jù)Barlow 等[2]提出的順序約束模型,Smith[3]首先提出Bayes可靠性增長(zhǎng)模型,假設(shè)先驗(yàn)信息是均勻分布,但應(yīng)用Bayes 方法處理二項(xiàng)式可靠性增長(zhǎng)的問(wèn)題，評(píng)估產(chǎn)品在研制時(shí)期的可靠性時(shí)會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。文獻(xiàn)[4]采用折合因子法將上一階段試驗(yàn)信息折合為下一階段的驗(yàn)前信息，但折合因子的選擇缺乏客觀。Mazzuchi等[5]提出了先驗(yàn)分布為Dirichlet分布的可靠性增長(zhǎng)Bayes模型,該模型利用了Dirichlet分布的邊緣分布和聯(lián)合分布特性,結(jié)合了專家的意見(jiàn)、經(jīng)驗(yàn)和同類產(chǎn)品的試驗(yàn)信息,但該模型不僅先驗(yàn)分布參數(shù)的選取缺乏客觀性,而且后驗(yàn)分布參數(shù)的計(jì)算困難，不方便工程應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]將D-S證據(jù)理論用于可靠性分析,解決了可靠性分析中處理不確定信息的難題。文獻(xiàn)[7]針對(duì)實(shí)際現(xiàn)實(shí)中信息的多源性和不確定性,給出了一種基于D-S證據(jù)理論的Babyes統(tǒng)計(jì)推斷多源總體驗(yàn)前分布的融合方法。

本文利用D-S證據(jù)理論處理主管判斷問(wèn)題的優(yōu)勢(shì),融合多個(gè)專家意見(jiàn)，確定驗(yàn)前分布參數(shù)，以研制過(guò)程中的兆瓦級(jí)直驅(qū)式風(fēng)力發(fā)電機(jī)為研究對(duì)象，結(jié)合研制試驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)Bayes統(tǒng)計(jì)推斷計(jì)算驗(yàn)后分布，客觀評(píng)價(jià)產(chǎn)品當(dāng)前可靠性指標(biāo)。

1可靠性增長(zhǎng)模型

1.1假設(shè)條件

(1)產(chǎn)品可靠性增長(zhǎng)分為n個(gè)階段,第k(k=1,2,…,n)個(gè)階段內(nèi)對(duì)故障采取延緩糾正措施，階段內(nèi)產(chǎn)品可靠性水平不發(fā)生變化,且假設(shè)壽命服從參數(shù)為λk的指數(shù)分布:

f(t|λk)=λke-λkt

(1)

(2)第k個(gè)階段內(nèi)的試驗(yàn)結(jié)果為(zk,τk),zk表示第k個(gè)階段內(nèi)的累積故障次數(shù),τk表示第k個(gè)階段內(nèi)的累積試驗(yàn)時(shí)間。

(3)各階段試驗(yàn)相互獨(dú)立,且糾正措施有效，新試驗(yàn)階段產(chǎn)品可靠性比前一階段產(chǎn)品可靠性有提高,即

λ1>λ2>…>λn

(4)指數(shù)分布參數(shù)λk的先驗(yàn)分布取Gamma分布：

(2)

式中,αk、βk為Gamma分布的分布參數(shù)。

1.2驗(yàn)后分布

第k個(gè)階段內(nèi)的似然函數(shù)為

(3)

由式(2)、式(3),根據(jù)Bayse定理得λk的驗(yàn)后分布為

(4)

后驗(yàn)分布是參數(shù)為(αk+zk,βk+τk)的Gamma分布,具有均值和方差，表達(dá)式分別為

(5)

(6)

平方損失下最后階段的失效率λn的點(diǎn)估計(jì)為

(7)

λn的置信度為γ的置信上限λn,U為

(8)

因?yàn)槠骄收祥g隔時(shí)間(MTBF)為失效率的倒數(shù),即

Mn=1/λn

(9)

由式(4)得最后階段MTBF的后驗(yàn)分布為

f(Mn|(zn,τn))=

(10)

后驗(yàn)分布是參數(shù)為(αn+zn,βn+τn)的逆Gamma分布,即Mn~Γl(Mn|(αn+zn,βn+τn))，具有均值和方差,表達(dá)式分別為

(11)

(12)

Mn的置信度為γ的置信下限Mn,L可由下式確定：

I(βn+τn)/Mn,L(αn+zn)=

(13)

式中,L(βn+τn)/Mn,L(αn+zn)為不完全Gamma函數(shù)。

近似為

(14)

因?yàn)榭煽慷葹?/p>

Rn=e-λnt

(15)

由式(4)得最后階段可靠度Rn的后驗(yàn)分布為

f(Rn|(zn,τn))=

LΓ(Rn|αn+zn,(βn+τn)/t)

(16)

式中，LΓ()為對(duì)數(shù)Gamma分布。

則可靠度的的均值和方差分別為

(17)

(18)

Rn的置信度為γ的置信下限Rn,L可由下式確定:

(19)

近似為

(20)

如果知道第k個(gè)階段的先驗(yàn)分布參數(shù)(αk，βk,那么可以方便地得到上述一系列結(jié)果，問(wèn)題在于如何確定先驗(yàn)分布參數(shù)。

1.3先驗(yàn)分布參數(shù)的選取方法

在第1階段以前,產(chǎn)品通常未進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)試驗(yàn),此時(shí)失效率λ取無(wú)信息先驗(yàn)較為合適,按照J(rèn)effreys法則有[8]:

定時(shí)截尾表達(dá)式為

(α0,β0)=(0,0)

(21)

定數(shù)截尾表達(dá)式為

(α0,β0)=(1/2,0)

(22)

從第2階段開(kāi)始,利用增長(zhǎng)因子ηk描述階段間的延緩糾正措施的有效性,結(jié)合以前階段的試驗(yàn)信息確定先驗(yàn)分布參數(shù)。

λk+1先驗(yàn)均值是λk后驗(yàn)均值的(1-ηk)倍，即

(23)

經(jīng)過(guò)延緩糾正后，會(huì)消弱或消除某些故障源，不僅后驗(yàn)均值會(huì)變小，其后驗(yàn)方差也會(huì)有所變小。設(shè)λk+1先驗(yàn)方差是λk后驗(yàn)方差的(1-ηk)倍[4],即

(24)

式(23)除以式(24)得

βk+1=βk+τk

(25)

我們通常關(guān)注最后階段的可靠性評(píng)估，因此，在β0=0時(shí)，由歸納法得

(26)

即

(27)

式(27)工程意義明顯，最后階段的綜合總試驗(yàn)時(shí)間是所有階段試驗(yàn)時(shí)間之和。

將式(25)代入式(23)得

αk+1=(1-ηk)(αk+zk)

(28)

由歸納法得最后階段先驗(yàn)分布參數(shù)αn:

(29)

式(29)工程意義也十分明顯,若確定了增長(zhǎng)因子ηk,就可以得到最后階段產(chǎn)品的可靠性測(cè)度,增長(zhǎng)因子成為求解的關(guān)鍵。

2利用D-S證據(jù)理論確定增長(zhǎng)因子

文獻(xiàn)[9]中應(yīng)用作圖法求解增長(zhǎng)因子,該方法比較實(shí)用,但是結(jié)果不夠精確,并且缺乏客觀性。文獻(xiàn)[4]直接利用專家經(jīng)驗(yàn)給出增長(zhǎng)因子的估值,認(rèn)為在多階段(n≥3)可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)中,增長(zhǎng)因子ηk不宜大于0.6,該方法人為主觀性較強(qiáng)。

(30)

進(jìn)而求得增長(zhǎng)因子：

(31)

上述方法沒(méi)有充分利用專家經(jīng)驗(yàn)。而在可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)的各階段,可靠性工程師、系統(tǒng)設(shè)計(jì)人員及領(lǐng)域?qū)＜以诠ぷ髦蟹e累大量知識(shí)，他們的專家經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蜉^好地反映產(chǎn)品的實(shí)際情況，因此專家經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該得到重視。為了充分利用試驗(yàn)信息和專家經(jīng)驗(yàn)，本文利用證據(jù)理論融合多位專家的經(jīng)驗(yàn)判斷,以便得到可信性更高的結(jié)果。

2.1專家經(jīng)驗(yàn)向概率分布的轉(zhuǎn)化

增長(zhǎng)因子η為隨機(jī)變量,設(shè)其服從正態(tài)分布。m個(gè)專家給出增長(zhǎng)因子的區(qū)間估計(jì),P(ηL<η<ηU)=γ(ηL、ηU分別為η的下限和上限)，如圖1所示。

圖1　轉(zhuǎn)化的概率密度分布

根據(jù)圖1，專家給出區(qū)間估計(jì)等價(jià)于認(rèn)為增長(zhǎng)因子服從N(μ,δ2)分布,概率密度函數(shù)為f(η),且η落在(ηL,ηU)之間的可能性為γ。通過(guò)此方法,將專家經(jīng)驗(yàn)的區(qū)間估計(jì)轉(zhuǎn)化為概率密度分布。

分布中有兩個(gè)未知參數(shù)μ、δ2。正態(tài)分布是對(duì)稱的,均值μ取估值區(qū)間的中點(diǎn):

(32)

方差δ2可以根據(jù)區(qū)間估計(jì)通過(guò)積分計(jì)算得到:

(33)

2.2基于D-S理論的信息融合

圖2　專家一致度

專家信息的一致度為兩概率分布與橫軸圍成面積的交集與并集的比值:

(34)

M(fi(η),fj(η))簡(jiǎn)記Mi j,可以表示一個(gè)專家對(duì)另一個(gè)專家的支持程度,值越大,兩個(gè)專家意見(jiàn)的一致程度越高,則對(duì)兩個(gè)專家信息的一致部分信任度也越高。

m個(gè)專家對(duì)增長(zhǎng)因子進(jìn)行評(píng)估，每個(gè)專家評(píng)估結(jié)果為Ei(i=1,2，…，m),Ei轉(zhuǎn)化成概率密度分布fi(η)。根據(jù)一致度定義,任意兩個(gè)專家信息Ei,Ej具有一致度,則所有專家信息兩兩組合,得到m×m的一致度矩陣:

(35)

將矩陣中每一行元素進(jìn)行歸一化,得到一個(gè)新矩陣M′：

(36)

(37)

利用證據(jù)理論合成規(guī)則,經(jīng)過(guò)m-1次合成可得

(38)

令wj=m(fj(η))(j=1,2, …,m),為融合后的各概率密度分布權(quán)重。

2.3融合后的增長(zhǎng)因子

各概率密度分布是由專家經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)因子區(qū)間估計(jì)轉(zhuǎn)化而來(lái)的,即概率密度分布的權(quán)重就是專家經(jīng)驗(yàn)的權(quán)重。則增長(zhǎng)因子為

η=w1μ1+w2μ2+…+wmμm

(39)

3數(shù)值算例

對(duì)某型兆瓦級(jí)直驅(qū)式風(fēng)力發(fā)電機(jī)進(jìn)行三階段研制試驗(yàn)，前兩階段得到的指數(shù)分布定數(shù)截尾信息為：(z1，τ1)=(6,636 h),(z2,τ2)=(3,572 h),第3階段得到的指數(shù)分布定時(shí)截尾信息為(z3,τ3)=(1,500 h)。

3名領(lǐng)域?qū)＜医o出第1階段末增長(zhǎng)因子的區(qū)間估計(jì)：

P1(0.2<η1<0.5)=0.9,P2(0.4<η1<0.6)=0.85

P3(0.4<η1<0.55)=0.8

第2階段末的增長(zhǎng)因子的區(qū)間估計(jì)為

P1(0.3<η2<0.7)=0.9

P2(0.45<η2<0.75)=0.85

P3(0.5<η2<0.8)=0.8

若任務(wù)時(shí)間t=240h,求第3階段末發(fā)電機(jī)的失效率、MTBF和可靠度的Bayes估計(jì)和置信度為0.8時(shí)的置信下限。

由D-S證據(jù)理論，根據(jù)專家對(duì)增長(zhǎng)因子的評(píng)估,得到融合后的增長(zhǎng)因子估值:η1=0.4680,η2=0.5982。先驗(yàn)分布參數(shù)為:(α3，β3)=(2.4879，1208)。

所以第3階段末發(fā)電機(jī)的失效率、MTBF和可靠度的Bayes估計(jì)為

失效率、MTBF和可靠度的置信下限為

R3,L=exp(-tλ3,U)=

4結(jié)論

(1)提出了基于D-S證據(jù)理論的驗(yàn)前信息融合方法,結(jié)合Bayes統(tǒng)計(jì)推斷,有效解決了專家經(jīng)驗(yàn)、不同階段試驗(yàn)數(shù)據(jù)的信息融合問(wèn)題,給出了失效率、MTBF和可靠度的Bayes點(diǎn)估計(jì)、方差和置信下限。

(2)選取先驗(yàn)Gamma分布作為失效率的先驗(yàn)分布,使得計(jì)算結(jié)果簡(jiǎn)單,方便工程應(yīng)用。

(3)利用D-S證據(jù)理論融合多個(gè)專家的主觀判斷,使評(píng)價(jià)的客觀性有所改善,進(jìn)一步將專家意見(jiàn)和客觀試驗(yàn)數(shù)據(jù)融合,更有利于客觀地確定先驗(yàn)分布參數(shù)。

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(編輯袁興玲)

Bayes Model of Exponential Product Multi-stage Reliability Growth

Yu ChunyuSu ZimeiSun YongquanYuan JiaheNiu Bin

Harbin University of Science and Technology,Harbin,150080

Abstract:A multi-stage reliability growth Bayes model was built based on D-S evidence theory and prior information, that was adaptive to small-sample complicated systems.Gamma distribution was used as prior distribution of failure rate.Through integrated usage of multiple-source reliability informations,the expertise was converted into probability distribution.Using D-S evidence theory and multiple experts’ informations,the prior distribution parameters were known.With test data at product development and Bayes statistical inference theory,the failure rate,MTBF,point estimation and lower confidence were obtained.The validity of this approach was illustrated by the development and test of MW direct-drive wind turbine.

Key words:D-S evidence theory;reliability growth;Bayes model;direct-drive wind generator

基金項(xiàng)目：黑龍江省教育廳面上項(xiàng)目(12511093)

收稿日期：2014-10-29

中圖分類號(hào)：TB114.3DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.23.005

作者簡(jiǎn)介：于春雨,女,1979年生。哈爾濱理工大學(xué)測(cè)控技術(shù)與通信工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)閺?fù)雜機(jī)電系統(tǒng)可靠性與維修性。蘇子美,男,1961年生。哈爾濱理工大學(xué)測(cè)控技術(shù)與通信工程學(xué)院副教授。孫永全,男,1982年生。哈爾濱理工大學(xué)測(cè)控技術(shù)與通信工程學(xué)院副教授。苑加和,女,1991年生。哈爾濱理工大學(xué)測(cè)控技術(shù)與通信工程學(xué)院碩士研究生。牛濱,男,1955年生。哈爾濱理工大學(xué)測(cè)控技術(shù)與通信工程學(xué)院教授。