風險價值VaR及實證研究

李海燕，曹懷火，潘雪艷

(1. 池州學院 數學與計算機科學系,安徽 池州247000;2. 安徽師范大學 數學計算機科學學院,安徽 蕪湖 241003)

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風險價值VaR及實證研究

李海燕1，曹懷火1，潘雪艷2

(1. 池州學院 數學與計算機科學系,安徽 池州247000;2. 安徽師范大學 數學計算機科學學院,安徽 蕪湖 241003)

摘要：隨著經濟一體化的深入，風險管理受到各個國家和地區越來越多的重視。本文主要討論了風險管理中的市場風險度量的方法，具體介紹了基于投資組合的收益(或損失)函數的分布函數提出的風險值(VaR)和期望損失(ES)這兩種度量方法，它們是目前使用得最廣的市場風險度量方法。文中比較了這兩種方法的優缺點，給出了各種不同計算VaR和ES的方法，同時也對各種方法進行了對比討論，給出了一個基于中國上證滬深指數在1999—2013年的日收益率序列的一個實證研究。

關鍵詞：市場風險，VaR，ES，歷史模擬法，蒙特卡羅模擬法，方差—協方差法

1997年的亞洲金融風暴和2008年的全球金融危機使人們深刻地意識到金融風險管理的重要性，意識到一個國家或地區的金融危機對全球金融市場乃至全球經濟的危害，這引發了大批學者和投資者對如何度量風險從而對之加以監管的研究[1-3]。

廣義上講，金融風險主要可以分為幾大類，即市場風險、信用風險、流動性風險、操作風險和法律風險。

本文主要關注市場風險，主要系統研究風險值(Value at Risk)和期望損失(Expected Shortfall)以及這些度量方法的優缺點。

1市場風險的度量

1.1　VaR的定義及其優缺點

VaR也稱風險值或在險價值，它實際上是衡量了一個金融頭寸(或資產組合)，在給定的持有期和給定的置信度下由于市場變動可能發生的最大損失。用統計的語言說，VaR是在給定的持有期，預計盈虧(常特指損失函數)分布的分位數。下面給出VaR定義的數學表達式。

定義1VaRα=inf{l∈R∶P(L>l)≤1-α}=inf{l∈R∶FL(l)≥α}

VaR的優點有：對于金融風險管理，它可理解為進入一個風險頭寸的資本金要求，并且能通過基于網絡的系統直接進行VaR的計算，它已經成為一個標準的風險度量。但也有一些缺點，其中最主要的有：

(1)它忽略了在VaR水平之外的損失，這樣就會低估了實際損失；

(2)風險應該滿足一致性風險度量公理體系，但VaR不滿足其中的次可加性，不是一個相容性風險度量。次可加性就是兩個風險組合在一起的總風險應該小于它們單個風險之和，此性質滿足資產組合具有風險分散效應的性質。

1.2　ES的定義及其優缺點

為了彌補VaR方法作為風險度量函數不滿足次可加性的缺陷，Acebi和Tache(2002)[1]提出了一個新的風險度量方法ES(預期不足又名條件在險價值)，即考慮超過風險值部分的資產收益函數的期望值。

定義2若損失函數L有E(|L|)<∞,分布FL在α水平的預期虧損定義為

ES相比較VaR不僅是一個相容性風險度量，還有另一個優點是在價格出現的波動大時，ES比VaR更能準確地度量金融風險。楊嫻、陸鳳斌、汪壽陽等[4]對國際有色金屬期貨市場對VaR和ES風險度量功能進行了比較，另外也有一些其他學者針對其他市場進行了類似的比較。比較的結果也確與理論結果相統一，從而為我國金融機構在選擇合適的風險度量作為自己的風險監控工具提供了理論指導和實踐論證。

1.3　計算VaR和ES的方法

VaR計算方法的核心在于如何確定資產組合收益(或損失)函數的統計分布或概率密度函數。根據是否對收益(或損失)函數的分布函數給出假設，它的計算方法分為三種：參數估計法，非參數估計法和半參數估計法[5]。

具體的方法有：歷史模擬法、蒙特卡羅模擬法以及方差—協方差法等。用方差—協方差法進行討論應用的比較多，方差—協方差法也是隨著學者的研究不斷發展完善的。最初人們假定資產收益呈正態分布，實際上，金融數據往往是尖峰厚尾的，因此會低估風險。后來有利用以GARCH模型為核心的GARCH模型族對波動率進行估計從而計算VaR的值，另外又有學者因為考慮極端事件對風險值的影響而將極值理論引入VaR及ES的預測中，還有一些學者利用混合正態模型對最初的計算方法進行了改進。

下面給出VaR和ES的具體計算方法：

(1) 歷史模擬法(HS)

HS法是最簡單的非參數化的方法，不須對復雜的市場結構做出假設。它的主要思想是假定取樣周期中樣本收益(或損失)函數的分布函數不會改變，用收益函數的經驗分布函數代替收益的分布函數，計算出對應置信水平的VaR和ES值。歷史模擬法計算簡單，可是這其中隱含假設歷史可以重演，顯然是與實際情況不相符的。很多極端事件以及突發事件是很難重復的，也有很多以前對收益會有影響的風險因子現在未必會有影響，另外，也可能會有新的風險因子產生影響，這些都是歷史模擬法所不能考慮的，因此用此法計算出來的風險值不會超過歷史最大值。

歷史模擬法作為一種常用的VaR估值的方法，其優點是：簡單直觀，易于操作，是最簡單的非參數方法。但它也有很多缺陷：比如用歷史信息并不能預測未來的突發事件，不能提供比樣本中最壞損失還要壞的損失值，不能做極端情形下的敏感性測試，等等。

(2)蒙特卡羅模擬法(MC)

蒙特卡羅模擬法又稱為隨機模擬法，其基本思想是利用風險因子的歷史波動參數產生未來風險因子波動的大量可能路徑，通過模擬分布可以導出真實分布，預測出VaR值和ES值，這種方法可以很好地處理非線性、非正態問題。

學者們為了提高蒙特卡羅模擬法的計算速度，減少工作量，對該法進行了很多改進，如利用Copula、矩匹配技術、分層抽樣技術、重要性抽樣技術、條件蒙特卡羅模擬法等等。蒙特卡羅模擬法的基本思想來源于描述法，這種方法保留了描述法中能處理非線性問題及提供風險分布的特點，同時避免了在情形設定時容易出現的隨意性和不一致性，可以用來分析各種類型的風險。

(3)方差—協方差法

方差—協方差法在預測VaR和ES值時應用非常多，而且學者們也不斷的對此方法進行改進，以便更好的進行預測風險值，為人們的決策提供更準確的參考信息，以便更好地控制風險。

1)傳統的方差—協方差法。該方法的核心是：基于對收益(損失)函數分布的方差和協方差矩陣進行估計而得名，也稱為分析法或參數法，其假定收益(損失)函數服從正態分布。然后根據已有的樣本估計出分布的參數值，得出分布函數，再利用VaR(即分位數)和ES的定義進行計算。

2)基于ARCH、GARCH類方差—協方差法的改進。廣義自回歸條件異方差GARCH模型是在1982年Engel引入的自回歸條件異方差ARCH模型基礎上，由Bollerslev[6]于1986年提出的。它主要是針對波動率建模，解決了殘差異方差問題，并逐步形成了以GARCH模型為核心的GARCH模型族，大量實證研究表明對大部分金融數據用GARCH(1,1)模擬效果較好。于是很多學者通過利用GARCH類模型對資產收益率的波動率進行建模，從而預測出風險值，為投資者和金融監管機構控制風險提供參考。

3)基于極值理論的方差—協方差法的改進。極值理論主要是考慮極端事件對風險管理的影響，它被廣泛應用于水文、保險及風險管理等等。一些學者也將極值理論引入風險度量的應用中，主要考慮到收益(損失)函數的分布很多時候是重尾的，即極端事件對風險值的影響比較大。常用的模型[7]有BMM、POT模型、極值指數理論[8]等等，利用極值理論可以很好的地計極端情況下的風險值。另外，為了在考慮極端情況下更好地對資產收益率的波動率進行建模，也有很多學者將極值理論和GARCH類模型結合起來進行擬合數據[5]，從而計算風險值，如EVT-GARCH模型等等，這方面的文獻也非常多。

4)基于混合正態理論的方差—協方差法的改進。為了解決金融時間序列尖峰重尾現象而提出的，一般假設某個分布是由兩個正態分布混合構成。將標準正態分布和混合正態分布的密度函數進行對比發現，混合正態分布能很好的捕捉金融數據的重尾性，另外混合正態分布也能用于擬合雙峰分布。該方法的核心在于參數估計。

2實證研究

本節我們利用目前銀行和投資機構常用的方差—協方差方計算上證指數1999年1月—2012年12月的日對數收益率。首先，將數據分為危機前(1999年1月—2007年12月)和危機中(2008年1月—2012年12月)兩部分，分別計算了在不同階段的VaR和ES。

2.1　數據的描述

首先，根據前面所提及的將數據分為危機前和危機后兩部分，由于考慮的計算風險值從而為控制風險提供建議，借鑒通用的處理方法[7]，我們考慮的時間序列是負日對數收益率序列，即rt=100*log(pt/pt-1)，其中pt是第t個交易日的上證指數收盤值。表1給出了該時間序列的一些基本統計量的值

2.2　VaR和ES的估計

這里我們采用方差—協方差法對上證指數收益率序列進行風險估計，從表1可以看出，上證指數收益率存在尖峰厚尾現象，利用正態分布的模型去預測不合適，所以采用t-分布模型去預測它的VaR和ES。

表1　上證指數日對順收益率危機前和危機中的基本統計量值

由前文的討論可以知道，在這里VaR和ES的計算公式如下：

其中μ為均值，σ為標準差，α為置信水平，v為t-分布的自由度，g為t-分布的密度函數。本文中從實際數據出發選取t-分布的自由度為4。具體的預測結果如表2。

表2　上證指數日對數收益率危機前和危機中的VaR和ES

注：置信水平為95%。

2.3　回測檢驗

由于受模型中的各種假設、樣本的抽取、建模過程的計算和各種隨機因素的影響，在實際應用中，各種不同的建模方法所得出的VaR都會與實際風險值有一定的偏差，為了檢驗預測出的VaR是否是有效的，監管部門和金融機構需要進行回測檢驗。回測檢驗的方法有多種，本文采用的是一種基于二項分布的檢驗方法，這也是一種常用的檢驗方法。

該檢驗的具體思想是：實際風險值超過預測值的次數稱為試驗失敗的次數，這里記失敗的次數為N,若預測出的VaR是有效的,則N應服從期望為nα、方差為nα(1-α)的二項分布，其中n是樣本容量、1-α是置信水平(本文中是95%)。為此，構造檢驗統計量

則統計量的漸近分布應該是一個標準正態分布。基于統計量z對表2中的VaR值進行檢驗，結果見表3。

表3　回測檢驗結果

由表3可以看出，無論是危機前還是危機后，檢驗統計量的值都在接受域內，由此可以看出以上風險值是可接受的。

3結論

從實證的結果可以看出，在危機前和危機中ES都比VaR要大，這是因為ES是在損失超過VaR的情況下平均損失的值，在市場波動比較大的情況下，ES可能比VaR更可靠些。危機中的VaR(ES)明顯要比危機前的VaR(ES)要大，這說明在危機中所面臨的風險值要比危機前更大，從而在危機中投資機構應更加謹慎投資，準備足夠多的風險準備金，以便在風險發生時可以應對，以避免造成更大的損失。

鑒于以上的實證研究，若簡單的只使用VaR作為風險度量指標不是很合適，應該結合ES指標同時使用。尤其是在市場波動較大的時段，采用ES作為風險度量比VaR更可靠，VaR存在低估風險的可能。

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The Value at Risk and Empirical Analysis

LI Hai-yan1, CAO Huai-huo1, PAN Xue-yan2

(1.Department of Mathematics and Computer Science, Chizhou University，Chizhou 247000, China;

2.School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

Abstract:People are paying more and more attentions to the risk management of the financial market with the economic integration. This paper first introduces the methods of measure market risk, and then gives two important ways: the value at risk (VaR) and the expected shortfall (ES). The advantages and disadvantages of VaR and ES are discussed in this paper. Finally an empirical study of Shanghai Index is presented.

Key words:Market risk， VaR, expected shortfall, history data simulate, Monte Carlo simulate, variance-covariance method

中圖分類號：C812

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0023-04

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.007

作者簡介：李海燕，女，安徽桐城人，碩士，池州學院數學與計算機科學系講師。

收稿日期：2014-03-29