一道排列問題的方法探究

李勁松

南京商業學校

一道排列問題的方法探究

李勁松

南京商業學校

數學中的排列、組合問題跟實際生活聯系緊密,致使學生對這一部分有更高的興趣,但是題型多樣，思路靈活，邏輯思維要求比較高,所以不易掌握。其中，排列問題是中學數學的重要內容之一,應用廣泛,涉及知識面廣,由于條件復雜多樣,其解題方法較為靈活多變,是培養學生教學思想方法和發展學生抽象思維能力的好題材。

排列；反思；元素；探究

學生平時在解排列組合問題時，多是碰到相同元素的分配問題或者不同元素的分配排列問題。對既有相同元素又有不同元素的排列問題，分析起來，就感覺繁瑣，不知從何下手。曾經一個學生來詢問我一道不同顏色旗幟排列的問題，引發我的思考，如何解決并總結這一類問題呢。旗幟有相同顏色也有不同顏色，把相同的元素和不同的元素混雜在一起，如何排列呢。

題目：有紅、黃、藍、白旗子各3面，每次任取4面排成一排，共有多少種不同的排法？

方法一：

解：按照每次選取的顏色不同來排列

2）三個顏色中選出一個作為取兩面同色的旗幟，比如紅、紅:

4）因為有兩個旗幟同色，故有重復，需除以2

2）這個兩個顏色的旗幟的可能排列情況如下：

撫順干餾工藝產生的氣態產物經冷凝回收系統凈化分離后，其中的油、水蒸汽生成了頁巖油和干餾污水，氣體部分則生成干餾瓦斯。干餾瓦斯按用途可分成三部分：一部分送蓄熱式加熱爐加熱至500～750 ℃，攜帶大量顯熱回到干餾爐，作為油頁巖干餾的循環熱載體；一部分作為蓄熱式加熱爐的燃料氣用于加熱循環熱載體；剩余部分則供燃氣鍋爐、電站等作燃料氣使用，最終得到蒸汽、電及熱能。

4、一種顏色:不存在

所以，排法一共有：24+144+84=252種。

方法二：

解：因為不是考慮多少種選法，而是多少種不同的顏色組合，即排法，故如下：

1、每次從四種顏色旗幟中選一個出來排，每次有四種選擇，即：4×4×4×4

2、因為每種顏色的旗幟數目有限，所以，全一色的排法不存在，要減去。一共要減去4種情況。

所以，排法一共有：4×4×4×4-4=252種

引申：此類排法，如果各色旗子足夠4面，或者都大于5面。都可以直接排列為4×4×4×4=256種。

但對于旗幟少于三面的，就不得不用逐一分析的方法了，所以解法一也是很有必要加以理解的。

對此題的不同解法分析，也促進了提問學生的進一步反思，在此基礎上，我也對他進一步引導。解題后反思是一種良好的學習習慣和學習方法，在學生的整個學習過程中，每個教師都應著力去培養。反思不同的解法，促進解題策略的逐步優化；反思解題結論，也加強了對問題本質的深化研究。學生與我進一步引申探討了下一題的做法。

例題二：有紅、黃各兩面，藍、白各三面，每次任取4面排成一排，共有多少種不同的排法？

解：按照每次選取的顏色不同來排列

3、二種顏色：因為不同顏色旗幟數量不均衡，所以不先確定兩個顏色，直接進入具體選排。

2）1+3型的：：×○○○，三色的只能從藍白里面選，故有種排法

4、一種顏色：不存在。

所以，排法一共有：24+144+36+24=228種。

這一題與例題1的差別在于二種顏色的“1+3型”，差額有24種。

[1]袁守義.題不在多，反思則行[J].數學通訊，2014年1月下半月，第679期:44-47.

[2]王瑞華.淺談排列組合教學中數學思維方法的培養.中國科教創新導刊，2010（4）.