冪函數圖象性質研究兩步曲

郭家維

貴州省興義市第八中學

冪函數圖象性質研究兩步曲

郭家維

貴州省興義市第八中學

研究冪函數，由定義域可知，所有冪函數在(0,+∞)上都有意義，所以研究冪函數的第一個關鍵問題是研究冪函數第一象限的圖象及其性質。部分冪函數在(-∞，0)上無意義，研究它在第一象限的圖像及性質及可了解此類冪函數，部分冪函數在(-∞，0)有意義且此類冪函數具有較強的對稱性，結合第一象限的圖象及性質和奇偶性即可知此類冪函數在(-∞，0)上的函數圖象及性質，所以冪函數研究的第二關鍵為通過對冪函數的奇偶性的探究。本文通過對冪函數在第一象限的圖象及其性質和冪函數的奇偶性的分析從而了解冪函數，在教學中有助于學生理解冪函數。

冪函數；奇偶性；第一象限；圖象

冪函數，即是形如y=x?的函數，其中x為自變量，?為常數。研究函數首先考慮定義域優先，下面就對冪函數的定義域進行分類，令（p，q互質）。

一、第一曲——冪函數的第一象限的圖像及性質

由上面的分析可以看出，所有冪函數在x∈(0,+∞)上都是有意義的。要研究所有冪函數的性質，就先選取x∈(0,+∞)進行討論。

在對指數函數，對數函數的性質的研究當中，都是通過圖象來對性質進行總結，在冪函數的學習中，也通過觀察圖象來對性質進行總結。當所有冪函數的定義域為(0，+∞)時，值域也為(0，+∞)，可以看出，當x＞0時，冪函數的圖象均在第一象限，那就先討論冪函數在第一象限的性質。

第一，冪函數過定點（1,1），即是當x=1時，函數值y=1，與?的取值無關。

第二，當?＞0，冪函數在(0，+∞)上為增函數，當?＜0時，冪函數在上為減函數。證明如下：令那么由于x2＞x1，即是，又因為?＞0，則即f(x2)＞f（x1），所以當?＞0時，冪函數在(0，+∞)上為增函數，同理可以證明當?＜0時，冪函數在(0，+∞)上位減函數。

第三，當?＞1時，函數的圖象是類似于向上拋物線的右半支，即是圖象上凹，當0＜?＜1時，函數的圖象類似于向右拋物線的上半支，即是圖象上凸。可以用二階導數來對其進行證明。

第四，當?＜0時，有當x→+∞時，y→0，即是冪函數圖象向右趨近于x軸，當y→+∞時，x→0,即是冪函數的圖象向上趨近于y軸。

第五，當x∈(0,1)時，隨著?的值增大，冪函數f(x)的值越小，當x＞1時，隨著?的值增大，冪函數f(x)的值越大。

第六，f(x)在x∈(0,+∞)無最值，即無最大值，也無最小值。

二、第二曲——冪函數奇偶性探究

有了函數的奇偶性，再結合冪函數第一象限的圖象及其性質，我們可以得到x∈()-∞,0冪函數的圖象及其性質。

①冪函數還過一個定點（-1,1），冪函數的象限分布為第一、第二象限；

②當?＞0，冪函數在(-∞，0)上為減函數，當?＜0時，冪函數在(-∞，0)上為增函數；

③當?＞1時，函數的圖象在()-∞，0類似于向上拋物線的左半支，即是圖象下凹，當0＜?＜1時，函數的圖象類似于向左拋物線的上半支，即是圖象下凸。證明可以根據二次導數證明；

④當?＜0時，有當x→-∞時，y→0，即是冪函數圖象向左趨近于x軸，當y→+∞時，x→0,即是冪函數的圖象向上趨近于y軸；

⑤當x∈(-1,0)時，隨著?的值增大，冪函數f(x)的值越小，當x＜-1時，隨著?的值增大，冪函數f(x)的值越大；

⑥f(x)在x∈(-∞,0)無最值。

①冪函數還過一個定點（-1,-1），冪函數的象限分布為第一、第三象限；

②當?＞0，冪函數在(-∞，0)上為增函數，當?＜0時，冪函數在(-∞，0)上為減函數；

③當?＞1時，函數的圖象在(-∞，0)類似于向下拋物線的左半支，即是圖象上凸，當0＜?＜1時，函數的圖象類似于向左拋物線的下半支，即是圖象上凹；

④當?＜0時，有當x→-∞時，y→0，即是冪函數圖象向左趨近于x軸，當y→+∞時，x→0,即是冪函數的圖象向下趨近于y軸；

⑤當x∈(-1,0)時，隨著?的值增大，冪函數f(x)的值越大，當x＜-1時，隨著?的值增大，冪函數f(x)的值越小；

⑥f(x)在x∈(-∞,0)無最值。

結語

綜上，可以看出，只要有了冪函數在第一象限的圖象及性質，、就可以同過函數的奇偶性來研究冪函數在其他象限的圖象及其性質。所以這兩點是研究冪函數的關鍵。

[1]普通高中課程標準實驗教科書A版數學一（必修）p27-p79

[2]普通高中課程標準實驗教科書A版數學一（選修）p97-p107