平衡單因素模型下兩過程能力指數的比較

羅　明, 尹雪艷2

(1.山東理工大學理學院， 山東淄博 255049; 2.青島大學 圖書館， 山東 青島 266071)

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平衡單因素模型下兩過程能力指數的比較

羅明1, 尹雪艷2

(1.山東理工大學理學院， 山東淄博 255049; 2.青島大學 圖書館， 山東 青島 266071)

摘要：在工業生產中，過程能力指數是衡量一個過程能夠滿足產品質量要求的程度.在平衡單因素模型下，利用廣義置信區間的方法獲得了兩個過程能力指數差的置信區間.研究了Cpk這類過程能力指數，并用數值模擬評估了文章中提出的方法.模擬結果表明廣義置信區間方法在該模型下是有效的.

關鍵詞：過程能力指數； 廣義置信區間； 平衡單因素模型

過程能力指數(processcapabilityindeices,PCI)是衡量一個過程能夠滿足產品質量要求的程度.在實際生產過程中，過程能力指數的研究對于現在的工業生產過程具有十分重要的意義.現在國內外運用的過程能力指數主要是 Cpk.對于簡單情形正態分布下的過程能力指數的研究，國內外已經有很多統計學者進行了大量的論述，并給出了指數的點估計、區間估計及相關的假設檢驗；如Kane[1]等、Kotz[2]等詳細地討論了過程能力指數的研究進展及應用情況；陳育蕾與陳意華[3]對過程能力指數進行了綜述，介紹了指數的發展及研究現狀，并對幾種主要的過程能力分析方法進行了介紹；Thomas[4]等人給出了過程能力指數的廣義置信區間.

兩個過程能力指數的比較問題在實際應用中越來越廣泛.如果 Cpk1- Cpk2的置信上下限都為正的，則說明工廠一的過程能力要優于工廠二；若 Cpk1- Cpk2的置信上下限都是負的，則工廠二的過程能力要優于工廠一；若Cpk1-Cpk2的置信上下限有正有負，則說明兩個工廠的過程能力沒有顯著的差異.Jose[5]利用廣義置信區間的方法[6]探討了在正態分布下兩個過程能力指數的比較問題.然而，在實際的生產過程中，許多穩定的過程并不簡單的服從正態分布.本文利用廣義置信區間的方法探究了單因素模型下的過程能力指數比較問題，數值結果表明廣義置信區間方法在該模型下是有效的.

1平衡單因素模型與過程能力指數

1.1平衡單因素模型

假設隨機變量X服從平衡單因素模型：

Xijk=μk+αik+eijk

i=1,2，…，bj=1,2,…，nk,k=1,2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 過程能力指數

PCI是衡量一個過程能夠滿足產品質量要求的程度. Kane提出了Cpk的概念

(6)

(7)

2廣義樞軸量

廣義推斷是由Weerahandi提出，在存在討厭參數，并且傳統的頻率方法無法進行統計推斷的情況下，廣義推斷的方法能夠很好的解決.

定義1記R=R(X;x,η)為X和x及η=(θ,δ)的函數，如果R滿足以下兩個性質：(1)R的分布與未知參數不相關；(2)robs=r(x;x,η)不依賴于討厭參數δ.則R稱為廣義樞軸量.

假設給定廣義樞軸量R=R(X;x,η),置信系數為γ，定義R的樣本空間的子空間為Cγ，即Pη(R∈Cγ)=γ,則稱參數空間的子空間ΘC(γ)={θ∈Θ∶r(x;x,η)∈Cγ}為θ的100γ%廣義置信區間.

(8)

(9)

(10)

如果T1,T2是Cpk,1,Cpk,2的廣義樞軸量，則Tdiff=T1-T2是Cpk1-Cpk2的廣義樞軸量.基于此，便可以得到兩個Cpk差異的廣義樞軸量：

(11)

3數值模擬

借助matlab軟件，可以對提出的方法進行評估，算法的實施步驟如下：

Step2:計算出Cpk1,Cpk2，記CpkDiff=Cpk1-Cpk2.

Step3：模擬(Z1,U1,V1)與(Z2,U2,V2)10 000次，得到10 000個Tdiff的值.

Step4：分別取10 000個Tdiff值的97.5%，2.5%分位數作為CpkDiff的置信上下限.

Step5：若Tdiff,0.025≤CpkDiff≤Tdiff,0.975，記為成功一次.

Step6：重復Step1～Step5 10 000次，計算出覆蓋率=成功次數/10 000.

表1　置信水平α=0.05下兩總體過程能力指數比較的覆蓋率

由表1可以看出，在給定顯著性水平下，對于不同的總體和樣本量，利用廣義置信區間的方法得到的兩個過程能力指數比較的區間覆蓋率都接近0.95，模型具有非常好的適應性.由表1還可以看出，若樣本存在組間方差時，廣義置信區間方法在單因素模型中的應用比較穩定.本文利用廣義置信區間的方法對存在組間方差的正態分布進行了研究.

S2=(SSB+SSE)/(bn-1)

(12)

(13)

(14)

(15)

式(15)就是兩個過程Cpk的廣義樞軸量．同理，如果T1,T2是Cpk,1,Cpk,2的廣義樞軸量，則Tdiff=T1-T2是 Cpk1-Cpk2的廣義樞軸量.基于此，便可以得到兩個Cpk差異的廣義樞軸量：

(16)

數值模擬步驟如同Step1～Step6．取不同均值方差，正態情形與單因素兩種情況下廣義置信區間方法的覆蓋率見表2.

表2 置信水平α=0.05，單因素與正態情形兩種情形下廣義置信區間方法的精確度

μ1σb1σe1μ2σb2σe2bn考慮組間方差覆蓋率未考慮組間方差覆蓋率310105305126550.95630.5962200.94520.66531050.94860.7235200.96140.832231073305102550.95560.5322200.96170.65711050.95660.6201200.94680.7360

由表2可以看出，在不同均值方差情形下，當考慮組間方差時，廣義置信區間方法的覆蓋率接近0.95.而對于未考慮組間方差的情形，廣義置信區間方法的覆蓋率與0.95的差異較大.由此可得，若數據存在組間方差時，單因素模型要優于正態情形.

4結束語

在正態分布情況下，Chen和Tong[7]利用Bootstrap方法得出了兩個過程能力指數比較的置信區間，但是在許多樣本情況下，模型得到的覆蓋率都遠低于1-α.Jose利用廣義置信區間的方法得到了此情況下過程能力指數差異的廣義置信區間，模型具有非常好的適用性.本文借用廣義置信區間的方法得到了單因素模型下兩個過程能力指數差異的樞軸量，對于不同的樣本量，模型精確度高，適用性強.用數據結論證明，當樣本存在組間方差時，單因素模型要優于正態分布模型.

參考文獻:

[1]KaneVE.Processcapabilityindices[J].JournalofQualityTechnology,1986,18: 41-51.

[2]KotzS,LovelaceCR.Processcapabilityindicesintheoryandpractice[M].London:HodderEducationPublishers,1998.

[3]陳育蕾，陳意華. 過程能力指數和性能指數的若干問題研究[J].中國計量學院學報,2005，16(4):305-310.

[4]ThomasM,SebastianG,KurianKM.Generalizedconfidenceintervalsfortheprocesscapabilityindices[J].QualityandReliabilityEngineeringInternational, 2007,23(4): 471-481.

[5]JoseK,KanichukattuC.Comparisonbetweentwoprocesscapabilityindicesusinggeneralizedconfidence[J].AdvancedManufacturingTechnology,2013,69:2 793-2 798.

[6]WeerahandiS.Generalizedconfidenceintervals[J].AmericanStatisticalAssociation, 1993,88: 899-905.

[7]ChenJP,TongLI.Bootstrapconfidenceintervalofthedifferencebetweentwoprocesscapabilityindies[J].AdvancedManufacturingTechnology,2003, 21:249-256.

(編輯：劉寶江)

Comparisonbetweentwoprocesscapability

indicesinabalancedone-wayrandommodel

LUOMing1， YIN Xue-yan2

(1.SchoolofScience,ShangdongUniversityofTechnology,Zibo255049,China;

2.Library,QindaoUniversity,Qingdao266071,China)

Abstract:Processcapabilityindices(PCIs)areextensivelyusedstatisticalmeasurestoassessprocessperformanceinmanufacturingindustry.Inthispaper,confidenceintervalsforthedifferencebetweenPCIsfortwoprocessesarederivedbythegeneralizedpivotalquantitymethodinthebalancedone-wayrandom.TheindicesCpkisconsideredinthisstudy.Theperformanceoftheproposedmethodisassessedusingsimulationstudy.Thecomputationalresultsshowthatconfidenceintervalsmethodisefficientforthismodel.

Keywords:PCI;generalizedconfidenceinterval;balancedone-wayrandom

中圖分類號：O212

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2015)03-0076-03

作者簡介：羅明,男，326036922@qq.com

收稿日期：2014-09-24