一種擬合三維空間直線的新方法

許輝熙,薛萬蓉2,程　熙3

(1. 四川建筑職業技術學院測量工程研究所, 四川 德陽 618000; 2. 四川建筑職業技術學院

測繪工程系, 四川 德陽 618000; 3. 成都理工大學,四川 成都 610059)

XUHuixi,XUEWanrong,CHENGXi

一種擬合三維空間直線的新方法

許輝熙1,2,3,薛萬蓉2,程熙3

(1. 四川建筑職業技術學院測量工程研究所, 四川 德陽 618000; 2. 四川建筑職業技術學院

測繪工程系, 四川 德陽 618000; 3. 成都理工大學,四川 成都 610059)

ANewFittingMethodofThree-dimensionalSpatialStraightLines

XUHuixi,XUEWanrong,CHENGXi

摘要：提出了一種基于穩健總體最小二乘的三維空間直線擬合新方法。該方法以加權總體最小二乘為基礎，通過刪除點到擬合直線距離過大的觀測點來抵抗粗差的影響，獲得空間直線參數的穩健估計值。試驗表明，當觀測數據中不含有誤差時，加權最小二乘法、加權總體最小二乘法和本文方法的參數估計值高度一致；當觀測數據包含粗差時，本方法的參數估計值明顯更接近真實值。

引文格式： 許輝熙,薛萬蓉,程熙. 一種擬合三維空間直線的新方法[J].測繪通報，2015(9)：28-31.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0271

關鍵詞：穩健估計;加權總體最小二乘;三維空間直線擬合

中圖分類號：P258

文獻標識碼：B

文章編號：0494-0911(2015)09-0028-04

收稿日期：2015-03-30

基金項目：國家自然科學基金(41301488)；四川省教育廳自然科學項目(15ZB0448;15ZB0452)

作者簡介：許輝熙(1979—),男,博士,副教授,主要從事地理學、空間信息技術應用研究。E-mail：529382949@qq.com

一、引言

三維空間直線擬合是工程測量和工業測量等工程應用領域的常見問題。三維空間直線可以用點向式表達為

(1)

式中，(x0,y0,z0)為空間直線通過的已知點；(f,g,h)為空間直線的方向矢量。擬合平面直線是典型的線性問題，而擬合空間直線是一個明顯的非線性問題，不能簡單直接地借用擬合平面直線的加權最小二乘法(leastsquares，LS)和加權總體最小二乘法[1](weightedtotalleastsquares，WTLS)。

要運用LS法進行空間直線擬合，需要先將空間直線描繪成兩個空間平面的交線形式,或將其垂直投影到坐標平面上，然后擬合平面或平面直線，最后重建空間直線[2-3]。也可以先擬合通過該空間直線的任何一個平面，然后在該平面上擬合平面直線，最后將平面直線還原為空間直線[4]。很顯然，這些方法含有某一個坐標分量不含誤差的假設，不符合實際情況。文獻[1]為消除上述假設，采用總體最小二乘法(totalleastsquares，TLS)進行空間直線擬合，取得了良好效果，但未針對含有粗差的情況進行討論。三維空間直線擬合問題是一個非線性問題，因此可以采用非線性最小二乘法(nonlinearleastsquares,NLS)。文獻[5]提出采用高斯-牛頓迭代算法擬合空間直線，這些迭代算法對初值有一定的要求，并且可能出現發散，從而得不到正確的參數估計結果。文獻[6]討論了穩健總體最小二乘法(robusttotalleastsquares,RTLS)在三維相似坐標變換中的應用。

目前，關于用RTLS法進行空間直線擬合的討論并不多見。本文提出采用非線性拉格朗日函數法推導基于WTLS的一種擇優錄取RTLS算法。算法首先以含有粗差的觀測數據擬合直線，然后計算各觀測點到直線的距離，擇優錄取距離較小的點重新擬合空間直線。

二、總體最小二乘擬合三維空間直線

將式(1)進行簡單變形，表達成如下的兩個空間平面[1]

(2)

式中，ξ1=f/h;ξ2=x0-(fz0)/h；ξ3=g/h；ξ4=y0-(gz0)/h。因此，只要擬合出平面的4個參數就可以重建六參數形式的空間直線對稱方程。假設有t(t>2)個實測空間點數據，用這些觀測點擬合平面參數的矩陣形式為

(3)

根據式(3)可以得到WTLS擬合空間直線的函數模型，即

L-eL=(B-EB)ξ

(4)

式中，eL和EB分別為觀測值的隨機誤差矢量和矩陣，大小分別為m×1和m×4(m=2t)。從式(4)中可以明顯發現，此時系數矩陣具有很強的結構特性。如果采用SVD分解解算將會使得系數矩陣中的常數變量分配到不應有的誤差改正值，不同位置的同一變量得不到相同的改正值，這與理論不符，因此解算理論不嚴密。為了解決這種結構性問題，將式(4)進行改寫，使誤差矩陣只與z坐標分量誤差有關，即

L-eL=Bξ-(ξT?Im)Hez

(5)

式中，Hez=eB=vec(EB)。H為常數矩陣，vec()表示矩陣拉直計算，從左往右，將后一列加到前一列的后面。方程中的誤差滿足如下的隨機屬性

(6)

(7)

式中，Qx=Qy=Qz=Q，Q表示觀測點之間的協因數矩陣。根據式(3)—式(7)的描述，可以得到如下的非線性拉格朗日函數

Φ=eLPleL+ezPzez+

2λT(L-eL-Bξ+(ξT?Im)Hez)

(8)

要使上述非線性拉格朗日函數的極小值存在，則Φ關于eL、ez、λ和ξ的偏導數等于零，即

(9)

對式(9)進行推算整理，可以得到如下的參數估計公式

(10)

式中

并且可以得到誤差改正項的計算公式，即

(11)

(12)

根據式(3)和式(11)可以得到x和y坐標分量的誤差改正值，即

(13)

很顯然，誤差改正量等于觀測點到擬合直線各坐標分量上的距離值。因此，點到直線的距離即是各坐標分量改正值的平方和的根，即

(14)

如此則可以根據點的觀測精度確定極限距離，將式(14)確定的距離與極限距離相比，找出在極限距離范圍內的點。最后的加權單位權方差估計值計算公式為

(15)

式中，q表示擇優錄取點的總數量。WTLS問題是一個簡單的非線性問題，單位權方差估計值一般是有偏的。

三、穩健總體最小二乘擬合算法

隨著三維激光掃描儀、激光跟蹤儀及其他先進儀器在工程測量中的廣泛使用，空間直線點云數據的獲取成為可能。在點的采集過程中由于受到外界環境的影響，點云中可能包含有異常點。在利用WTLS法進行空間直線的參數擬合時沒有考慮這些異常點的影響，擬合的空間直線參數與目標空間直線參數間存在較大差異。而RTLS法可以消除這些異常點，使得擬合的空間直線更接近目標空間直線。其具體計算流程如下：

1) 根據給定的坐標觀測值和精度確定平差需要的觀測矢量、系數矩陣及協方差因子。

2) 假設EB=0，采用LS法計算參數的初始值。

3) 采用式(10)循環計算參數的估計值直至相鄰兩次估計值之差的2范數小于指定限差，本文的限差設置為1Ε-10。

4) 采用式(11)—式(12)計算殘差矢量，并將殘差矢量描述成各坐標分量的殘差矢量。

5) 采用式(14)計算觀測點到擬合直線的距離。

6) 采用式(15)計算加權單位權方差估計值。

8) 利用擇優錄取的點重復步驟1)—步驟7)；直至相鄰兩次錄取的點相同。

9) 輸出估計的4個參數，將參數代入式(2)中恢復出空間直線的對稱方程。

四、試驗分析

在一條已知的空間直線

(16)

上隨機產生200個空間點，如圖1所示。將該空間

圖1　原始模擬數據

直線投影到xoz和yoz坐標平面上，空間直線可以通過這兩個垂直投影面表達，即

(17)

為了驗證本文方法的可行性，設計如下兩個試驗方案。

1) 方案1：在不含有人為粗差的原始模擬數據中，對x、y、z坐標分量附加上期望為零、中誤差為0.03的隨機誤差，產生一組模擬觀測值；分別采用LS、WTLS和RTLS法估計式(2)的參數。

2) 方案2：在原始模擬數據中隨機抽出10個點，在這些點上加上人為粗差，同樣給這些粗差點和其余原始模擬點附加上期望為零、中誤差為0.03的隨機誤差，并采用上述3種方法估計模型參數。

對方案1和方案2計算1000次，表1和表2分別列出了方案1和方案2的參數估計平均值和方差估計平均值。圖2分別表達了方案1和方案2的參數估計值與真值的差值。方案1和方案2每次的方差估計值分別描繪如圖3所示。

表1　LS、WTLS和RTLS估計結果與真值的比較(方案1)

表2　LS、WTLS和RTLS估計結果與真值的比較(方案2)

從表1和圖2(a)中不難發現，在不含有粗差的情況下，3種方的參數估計值非常接近，并且與真值的差異幾乎相同。但是圖3(a)則說明RTLS法得到的方差估計值比LS和WTLS的小，在不含有人為粗差的情況下，一些隨機誤差較大的點被RTLS法剔除了。

表2和圖2(b)說明在含有粗差的情況下RTLS法估計的參數更接近真實值。從表2的最后一列和圖3(b)可以發現，此時3種方法得到的方差估計值存在較大的差異，同方案1一樣，RTLS計算的方差估計值最小，這說明RTLS法能夠有效的剔除粗差。

五、結束語

在將空間直線擬合問題轉換成擬合兩個相交平面問題后，LS估計沒有顧及z坐標軸的觀測誤差，估計理論不夠嚴密。雖然WTLS法能夠解決上述問題，也能夠處理系數矩陣中的結構性問題，但是對于含有粗差的情況卻無能為力。為了解決這些問題，本文提出了采用RTLS法估計空間直線參數，用非線性拉格朗日乘數法推導了RTLS的計算公式，設計了一種可行的RTLS算法。模擬試驗結果證明了本文算法能夠有效剔除粗差，提高了參數和驗后方差的估計精度。

圖2　LS、WTLS和RTLS估計參數與真值之差

圖3　LS、WTLS和RTLS的方差估計值

參考文獻：

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