合理分類攻克導(dǎo)數(shù)含參問題

顧衛(wèi)林

有關(guān)導(dǎo)數(shù)含參問題的分類討論是歷年高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)，甚至在填空題中都偶爾來設(shè)置分類討論問題.而對參數(shù)按什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論是我們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，下面我們就來梳理一下其中的常見問題.

一、方程f'（x）=0是否有根

例1 （2014年高考湖南卷理科第22題改編）已知常數(shù)a>0，函數(shù)f（x）=ln（1+討論f（x）在區(qū)間（o，+∞）上的單調(diào)性.

點(diǎn)評 此類題對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)'（x）的正負(fù)不能確定，可把方程f'（x）-o有沒有根作為切人點(diǎn)，尋找根存在的條件作為分類的標(biāo)準(zhǔn).如導(dǎo)函數(shù)f'（x）的分母恒大于O，分子為含參的二次函數(shù)，即分△O討論f（x）函數(shù)的單調(diào)性，若二次項(xiàng)系數(shù)含參，不要遺漏二次項(xiàng)系數(shù)能否為o.

二、若f'（x）=O有根，求出的根

是否在定義域或給定區(qū)間內(nèi)

例2 （2014年高考四川卷文科第21題改編）已知函數(shù)f（x）=ex- ax?2-bx-1，其中a，b∈R.設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值.

略解 g（x）=ex-2ax-b，g'（x）=ex-2a.

（1）當(dāng)a≤O時(shí)，g'（x）=ex-2a≥0，所以g（x）≥g（0）=l-b.

（2）當(dāng)a>0時(shí)，令g'（x）=O，x=ln（2a）.

①當(dāng)In（2a）≤o，即o

②當(dāng)O

③當(dāng)In（2a）≥1，即a≥e/2時(shí)，g'（x）≤o，g（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，所以g（x）min=g（l）=e-2a-b.

點(diǎn)評 此類題是方程f'（x）=0有根問題的延伸，根在不在定義域或給定區(qū)間內(nèi)不能確定，可把根與定義域或給定區(qū)間的端點(diǎn)大小關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)，逐類研究函數(shù)的單調(diào)性.

三、若根在定義域內(nèi)且有兩個，則

比較根的大小

例3 （2014年天津高考卷文科第19題改編）已知函數(shù)f（x）=x?-2/3ax?（a≠o），求f（x）的單調(diào)性和極值.

略解 f'（x）=2x-2ax?（a≠0），令f'（x）=o，得x=0或x=1/a

①當(dāng)1/ao；x∈（1/a，0 ），f'（x）0，

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1/a）和（o，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1/a，o）；當(dāng)x一1/a時(shí)，f（x）取極大值、f（1/a，當(dāng)x=o時(shí)，f（x）取極小值f（o）=o.

②當(dāng)l/a>o，即a>o時(shí)，x∈（ -∞，o），f'（x）o；x∈（1/a，+∞），f'（x）

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1/a），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，o）和（1/a，+∞）；當(dāng)x=o時(shí)，f（x）取極小值f（o）=o，當(dāng)x=1/a時(shí)，f（x）取極大值f（/a）=·

點(diǎn)評 本題中方程f'（x）=O有兩根，且兩根均在定義域或給定區(qū)間內(nèi)，其大小關(guān)系不確定，可把根與根的大小關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)來研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，需要注意的是求最值時(shí)極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，區(qū)間左端點(diǎn)與有端點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系不能忽視，大小不能確定時(shí)需要分類討論.如例2中把求最小值改為最大值就需要討論區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系.

綜上，確定有關(guān)導(dǎo)數(shù)的含參問題，可以按“方程f'（x）=0有沒有根”，“方程f'（x）-O的根在不在定義域或給定的區(qū)間內(nèi)”，“方程'（x）=o有多個根，比較根的大小關(guān)系”來確定分類標(biāo)準(zhǔn)（即“有沒有”、“在不在”、“大不大”），體現(xiàn)了分類討論思想的本質(zhì)：化整為零，積零為整.