從角谷猜想到親和數

劉燕楠

數學如此神奇，往往源于數字的神奇.

天文學上有黑洞，數字也有黑洞，你相信嗎？

1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一條數學新聞，文中記敘了這樣一個故事：20世紀70年代中期，美國各所名牌大學校園內，人們都像發瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數學游戲.什么樣的游戲會有如此大的力量和吸引力呢？說出來其實是很簡單的：任意寫出一個自然數n，并且按照以下的規律進行變換：如果是個奇數，則下一步變成3n+l；如果是個偶數，則下一步變成n/2.在兩條極其簡單的規則引導下，可以將任何一個自然數進行變換，你是否可以想象：幾乎所有的自然數都將會陷入一個死循環！

更為神奇的是，不單單是學生，連教師、教授與學者都紛紛加入.為什么這種游戲的魅力經久不衰？它甚至把古典的“哥德巴赫猜想”打入了“冷宮”.人們發現，無論n是怎樣一個數字，最終都無法逃脫回到谷底1，準確地說，是無法逃出落人底部的4→2→1循環，永遠也逃不出這樣的宿命.真是令人不可思議，不論你從什么樣的自然數開始，也許中間要經過漫長的歷程，變出來的數忽大忽小，很有點像冰雹穿過暴風雨云層時的軌道，忽而由氣流推著上升，忽而義由于自身的質量而下降，所以在美國這個猜想被稱為“冰雹猜想”，但最終會跌進上述死循環，結果多么令人難以置信.現在人們已經試驗到很大的自然數，仍沒有發現反例，但也無法加以證明，它仍然是一個猜想.冰雹猜想義稱為角谷猜想，因為是由日本學者角谷靜夫把它傳到亞洲，人們就順勢把它叫做“角谷猜想”.

冰雹的最大魅力在于不可預知性.英國劍橋大學教授John Conway找到了一個自然數27.雖然27是一個貌不驚人的自然數，但是如果按照上述方法進行運算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經過77步的變換到達頂峰值9 232，然后義經過32步到達谷底值1.全部的變換過程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9 232，達到了原有數字27的342倍多，如果以瀑布般的直線下落（2n）來比較，則具有同樣雹程的數字n要達到2的111次方.在1到100的范圍內，像27這樣的劇烈波動是沒有的（54等27的2的次方倍數的數除外）.

經過游戲的驗證規律，人們發現僅僅在兼具4k和3m+l（k，m為自然數）處的數字才能產生冰雹猜想中“樹”的分叉.所以在冰雹樹中，16處是第一處分叉，然后是64……以后每隔一節，產生出一支新的支流.

自從Conway發現了神奇的27之后，有專家指出，27這個數字必定只能由54變來，54義必然從108變來，所以，27之上，肯定可以出現不亞于2n的強大支流——3▲×2n（n=l，2，3，…），然而，27到4→2→1數列比本流2n到4→2→1數列要遙遠得多.按照機械唯物論的觀點，從27開始逆流而上的數列群才叫做本源，盡管如此，按照“直線下瀉”的觀點，一般依然把1→2→4→8→…→2n的這一支看作是“干流”.

圖論專家據此闡述了一種獨特的方法：把數列群比作是一棵樹，4→2→1數列是連理枝，至于上面的分支構成了一個奇妙的數列通路，包含了所有的自然數.但是非?？上У氖牵@個理論至今也沒有人可以證明.所以“角谷猜想”還是數學皇冠上一顆尚未鑒別的寶珠.

讓我們從數字黑洞中爬出來，談一點輕松的話題：親和數.

人和人之間講友情，有趣的是，數與數之間也有相類似的關系，數學家把一對存在特殊關系的數稱為“親和數”.這還得從大名鼎鼎的畢達哥拉斯談起，他是世界古代十大名人之一.一些歷史傳說里，把他描繪得像一尊神，說河水遇見了他，也會卷起浪花來問候：“您好啊，畢達哥拉斯！”

有一次，畢達哥拉斯對人說：“朋友是你靈魂的倩影，像220和284一樣親密，”

原來，畢達哥拉斯發現，自然數220與284有一種非常奇妙的關系. 220一共有12個不同的因數：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，220.如果不算220它自身這個因數，那么，220所有因數的和正好是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.而284呢，一共有6個不同的因數：1，2，4，71，142，284.如果不算284它白身這個因數，那么，284所有因數的和義正好是：1+2+4+71+142—220.你的因數之和等于我，我的因數之和義正好等于你，這對奇異的數真像一對親密無間的朋友.數學上，具有這樣特征的自然數叫做“親和數”，畢達哥拉斯發現的220與284，是人類認識的第一對親和數，也是最小的一對親和數，

古時候，人們常把這兩個數分別寫在兩個護身符上，認為佩帶這種護身符的朋友就能保持良好而持久的友誼.在很長一段時間里，人們都沒有發現新的親和數，直到1636年，才由法國數學家費馬發現了另一對親和數：17 296和18 416.兩年以后，法國數學家笛卡兒也發現了一對親和數：9 363 584和9 437 056.18世紀中葉，著名數學家歐拉系統地研究了親和數.1747年，他列出了一個有30對親和數的表，不久義將表中的親和數擴展到60對，其中包括2 620與2 924，5 020與5 564等等.

那么，在284到2 626之間有沒有親和數呢？這是一個被人們長期忽視了的問題.1866年，16歲的意大利少年帕加尼發現，正是在這段數中間，存在著第二對較小的親和數1 184和1 210.

近百年來，不斷有新的親和數被發現，現在，人們找到的親和數已經超過了1 200對.而10000以內的只有5對，在100000以內的有13對，它們是：220和284、1 184和1 210、2 620和2 924、5 020和5 564、6 232和6 368、10 744和10 856、12 285和14 595、17 296和18 416、63 020和76 084、66 928和66 992、67 095和71 145、69 615和87 633、79 750和88 730.

在13對親和數中，要么是偶數對，要么是奇數對，沒有一奇數一偶數的，而且偶數的居多，奇數只有3對.后來的兩千年內雖然對親和數仍然也進行過一些有意義的研究，但是一直沒有發現新的親和數.

親和數到底是有限對還是無限對呢？到底有沒有奇偶對呢？有沒有尋找親和數的一般公式呢？這些問題到現在依然是迷，等待著我們去研究和探索.