基于改進(jìn)對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程的多目標(biāo)跟蹤

吳　瀟, 黃樹(shù)彩, 凌　強(qiáng), 鐘　宇

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

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基于改進(jìn)對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程的多目標(biāo)跟蹤

吳瀟, 黃樹(shù)彩, 凌強(qiáng), 鐘宇

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

摘要：采用傳統(tǒng)對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程對(duì)多維多目標(biāo)跟蹤會(huì)增加偽觀測(cè)量,在目標(biāo)航跡交叉點(diǎn)附近容易產(chǎn)生較大跟蹤誤差。針對(duì)這一問(wèn)題,提出一種基于多項(xiàng)式因式分解思想的改進(jìn)對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程,通過(guò)建立同一目標(biāo)在不同坐標(biāo)系中狀態(tài)之間的聯(lián)系,將新量測(cè)集與原始量測(cè)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系描述的更加準(zhǔn)確,利用泰勒展開(kāi)公式推導(dǎo)出新量測(cè)的觀測(cè)誤差,求出相應(yīng)的觀測(cè)誤差協(xié)方差陣。與現(xiàn)有對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程方法和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法仿真對(duì)比,驗(yàn)證所提方法不僅延續(xù)了對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程時(shí)效性?xún)?yōu)勢(shì),而且提高了目標(biāo)在航跡交叉時(shí)的跟蹤精度。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程; 多目標(biāo)跟蹤; 多項(xiàng)式因式分解

0引言

與單目標(biāo)跟蹤相比,多目標(biāo)跟蹤不僅面臨更加復(fù)雜的噪聲背景,而且還要處理好量測(cè)-航跡關(guān)聯(lián)。傳統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤算法[1]以數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)為核心,要先進(jìn)行關(guān)聯(lián)運(yùn)算,然后再對(duì)多個(gè)目標(biāo)獨(dú)立跟蹤,如聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(joint probability data association,JPDA)、多假設(shè)跟蹤算法(multiple hypothesis tracking,MHT)等,這些方法隨著目標(biāo)數(shù)目增多計(jì)算量會(huì)劇增,極大地制約了算法的時(shí)效性。

20世紀(jì)90年代,Kamen[2]首創(chuàng)了一種基于對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程(symmetric measurement equation,SME)的多目標(biāo)跟蹤方法,通過(guò)構(gòu)造原始觀測(cè)值的對(duì)稱(chēng)函數(shù)得到一組新量測(cè),可以同時(shí)估計(jì)多個(gè)目標(biāo)的狀態(tài),而不需要數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)運(yùn)算。起初,Kamen僅考慮了一維空間量測(cè)數(shù)目與目標(biāo)真實(shí)數(shù)目相等的情況,并且構(gòu)造的新量測(cè)也只有乘積和形式[2-3],隨著研究的深入,不僅將SME的適用范圍推廣到多維空間,以及存在虛警、漏警的情況[4],而且構(gòu)造了冪次和形式的SME[5]。

在處理多維多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題時(shí),Kamen做法[5]是各維獨(dú)立進(jìn)行SME跟蹤,Muder[6]指出該處理方法會(huì)增加偽觀測(cè)量,在航跡交叉時(shí)容易產(chǎn)生較大影響。Lee[4]在二維空間提出了一種基于復(fù)數(shù)運(yùn)算的SME方法,將原始測(cè)量值的橫縱坐標(biāo)值分別表示為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,通過(guò)復(fù)數(shù)運(yùn)算建立同一目標(biāo)在不同坐標(biāo)系中狀態(tài)之間的聯(lián)系,并且構(gòu)造出了基于復(fù)數(shù)運(yùn)算的乘積和形式SME。Leven和Lanterman[7]在Lee研究的基礎(chǔ)上建立了基于復(fù)數(shù)運(yùn)算的冪次和形式SME,并將擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filter,EKF)與無(wú)跡卡爾曼濾波(unscented kalman filter, UKF)對(duì)比,仿真發(fā)現(xiàn)UKF濾波可能會(huì)產(chǎn)生奇異矩陣,而選用EKF濾波效果更好。雖然基于復(fù)數(shù)運(yùn)算的SME有效抑制了偽觀測(cè)量的產(chǎn)生,跟蹤效果與Kamen經(jīng)典的SME相比有了很大改善,但在航跡交叉點(diǎn)附近的跟蹤效果還有提升空間。近幾年,Baum等[8]針對(duì)SME誤差期望值和協(xié)方差難以有效計(jì)算和非線(xiàn)性濾波問(wèn)題,提出了最優(yōu)高斯濾波器,由于考慮了新量測(cè)方程的高階項(xiàng),因而能給出更優(yōu)估計(jì)效果,但該方法在目標(biāo)數(shù)目增多時(shí)也存在計(jì)算復(fù)雜度較高的缺點(diǎn)。

本文利用多項(xiàng)式因式分解的思想構(gòu)造了一種改進(jìn)SME,在觀測(cè)誤差服從獨(dú)立同分布、零均值高斯白噪聲前提下,推導(dǎo)出相應(yīng)的觀測(cè)誤差協(xié)方差陣。與現(xiàn)有幾種典型SME和JPDA算法仿真對(duì)比,驗(yàn)證新算法不僅延續(xù)了SME時(shí)效性?xún)?yōu)勢(shì),而且跟蹤精度基本達(dá)到與JPDA相近的水平,有效抑制了航跡交叉時(shí)跟蹤誤差較大現(xiàn)象。

1對(duì)稱(chēng)量測(cè)方程

1.1基本概念

(1)

式中,T為采樣周期。

(2)

式中,IN為N×N的單位陣;0N為N×N的零矩陣;w(k)=[w1(k)w2(k)…wN(k)]T。

(3)

式中,xj(k)表示第j個(gè)目標(biāo)在x軸的坐標(biāo)值;uj(k)是第j個(gè)目標(biāo)的觀測(cè)誤差,為零均值高斯白噪聲;j=1,2,…,N。

(4)

式中,hi表示第i個(gè)對(duì)稱(chēng)變換函數(shù);vi(k)為第i個(gè)新量測(cè)的觀測(cè)誤差。

以一維空間N=2乘積和形式的SME為例,介紹具體構(gòu)造原理。假設(shè)獲得量測(cè)集為{z1(k),z2(k)},定義新量測(cè)

(5)

由式(4)可以得到

(6)

定義新量測(cè)矩陣Z(k)=[Z1(k),Z2(k)]T和觀測(cè)誤差矩陣V(k)=[v1(k),v2(k)]T,則觀測(cè)誤差協(xié)方差陣R(k)=E[V(k)V(k)T]。

1.2基于多項(xiàng)式思想的SME

以Kamen乘積和形式SME為例[3],在一維空間新量測(cè)可以表示為

(7)

式中,xi表示第i個(gè)目標(biāo)的在x軸上的坐標(biāo)值,i=1,…,N。

這種構(gòu)造新量測(cè)的方法有以下特點(diǎn):

(1) 新量測(cè)通常具有對(duì)稱(chēng)性,其對(duì)稱(chēng)性表現(xiàn)為新量測(cè)與原始測(cè)量數(shù)據(jù)的輸入順序無(wú)關(guān),不會(huì)隨著原始測(cè)量數(shù)據(jù)順序的變化而發(fā)生改變。

(2) 從原始量測(cè)變換到新量測(cè)過(guò)程中信息應(yīng)當(dāng)是完整而沒(méi)有丟失,即新量測(cè)集與原始量測(cè)集應(yīng)當(dāng)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。具體表現(xiàn)為:當(dāng)原始量測(cè)集已知時(shí),可以確定與其對(duì)應(yīng)的新量測(cè)集;而當(dāng)新量測(cè)集作為已知條件時(shí),原始量測(cè)集也應(yīng)當(dāng)可以求解得到。

由式(7)可以看出,一維空間Kamen乘積和SME顯然具有對(duì)稱(chēng)性,為驗(yàn)證其原始量測(cè)集與新量測(cè)集具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造關(guān)于s的因式:pi=s+xi,則有一元多項(xiàng)式

(8)

Kamen乘積和SME即為多項(xiàng)式系數(shù)ai所組成的集合,由于一元多項(xiàng)式與其分解因式之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系[6],因此從原始測(cè)量集變換到新量測(cè)集的信息是完整而沒(méi)有丟失的。

將SME方法推廣到二維空間時(shí),較為簡(jiǎn)單的處理思路是各維獨(dú)立作SME變換,與之對(duì)應(yīng)的Kamen乘積和SME可表示為

(9)

式中,xi、yi分別是第i個(gè)目標(biāo)的在x軸、y軸上的坐標(biāo)值,i=1,…,N。

(10)

當(dāng)新量測(cè)集已知時(shí),可以得到x軸和y軸的觀測(cè)集分別為{x1,x2}和{y1,y2},但無(wú)法確定同一目標(biāo)不同坐標(biāo)之間的關(guān)系,即兩個(gè)目標(biāo)的組合形式不僅有{(x1,y1), (x2,y2)},而且還有可能存在{(x1,y2), (x2,y1)}的形式。在跟蹤過(guò)程中顯然不希望后一種組合方式出現(xiàn),而這種被稱(chēng)之為“鬼點(diǎn)”的坐標(biāo)會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生不良影響,尤其是在航跡交叉時(shí)表現(xiàn)更為明顯。因此,需要改進(jìn)SME方法,使這種“鬼點(diǎn)”坐標(biāo)越少越好。

2改進(jìn)SME跟蹤算法

2.1改進(jìn)SME

在二維空間提出一種基于分解因式的改進(jìn)思路,以提高新量測(cè)集的信息完整性。構(gòu)造因式:qi=s+txi+yi,其中,xi、yi分別表示第i個(gè)目標(biāo)的在x軸、y軸上的坐標(biāo)值;i=1,…,N。于是有多項(xiàng)式

(11)

新量測(cè)集即為多項(xiàng)式系數(shù)bij所組成的集合,當(dāng)N=2時(shí),新量測(cè)可以表示為

(12)

由于觀測(cè)量中包含Kamen乘積和SME,因此,當(dāng)新量測(cè)集已知時(shí),容易得到x軸和y軸的觀測(cè)集分別為{x1,x2}和{y1,y2},并且新量測(cè)通過(guò)最后一項(xiàng)加強(qiáng)了不同坐標(biāo)之間的關(guān)系。假設(shè)不同坐標(biāo)之間的關(guān)系并不明確,{(x1,y2), (x2,y1)}的組合的形式仍然不能被消除,則有

(x1y1+x2y2)-(x1y2+x2y1)=0

(13)

式(13)表明,當(dāng)x1=x2或y1=y2時(shí),這種坐標(biāo)間關(guān)系不明確的情況才會(huì)發(fā)生。然而,一旦x1=x2或y1=y2,集合{(x1,y1), (x2,y2)}與{(x1,y2), (x2,y1)}并沒(méi)有區(qū)別。因此,改進(jìn)算法能夠有效抑制“鬼點(diǎn)”現(xiàn)象,提高新量測(cè)集的信息完整性。

2.2觀測(cè)誤差協(xié)方差陣

由于觀測(cè)方程發(fā)生改變,與之相應(yīng)的觀測(cè)誤差協(xié)方差陣也要做出調(diào)整。但是經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換的觀測(cè)方程其觀測(cè)誤差往往不再服從高斯分布,在計(jì)算時(shí)卻通常視作高斯分布近似處理[9],難點(diǎn)是新量測(cè)誤差協(xié)方差陣的求解十分困難。

假設(shè)在一維空間含誤差的原始量測(cè)值z(mì)i=xi+ui,其中,i=1,…,N;xi為真實(shí)值,ui為觀測(cè)誤差。則經(jīng)過(guò)hi對(duì)稱(chēng)變換后的新量測(cè)誤差vi由文獻(xiàn)[3]式(28)泰勒公式展開(kāi)

vi=

(14)

設(shè)新量測(cè)的觀測(cè)誤差向量V=[v1,…,vn]T,其中,n為新量測(cè)方程個(gè)數(shù),通過(guò)R=E[VVT]可求得新觀測(cè)誤差協(xié)方差陣。根據(jù)式(14)可知,V為多項(xiàng)式向量,則VVT為多項(xiàng)式矩陣,文獻(xiàn)[10]定理1給出了當(dāng)變量服從高斯分布時(shí),求解多項(xiàng)式期望的方法。

定理 1假設(shè)u=[u1,…,um]T~N(μ,Σ),Σ為m×m的半正定矩陣,對(duì)于非負(fù)整數(shù)s1,…,sm,有

(15)

對(duì)于如式(12)所示的新觀測(cè)方程,設(shè)初始觀測(cè)誤差向量u=[ux1, ux2, uy1, uy2]T為零均值高斯白噪聲,且滿(mǎn)足獨(dú)立同分布,即

(16)

式中,σ為初始觀測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。

則新的觀測(cè)誤差協(xié)方差陣有

R=E[VVT]=

(17)

式中,H(x1,x2,y1,y2)是h(x1,x2,y1,y2)的Jacobian陣。

3仿真分析

考慮二維空間上兩個(gè)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的目標(biāo),設(shè)定初始位置和速度以保證兩目標(biāo)能夠發(fā)生航跡交叉。另外,在真實(shí)位置的基礎(chǔ)上附加獨(dú)立同分布、零均值高斯白噪聲作為原始測(cè)量數(shù)據(jù)。目標(biāo)1初始狀態(tài)為:X1=[500,20,0,30]T,目標(biāo)2初始狀態(tài)為:X2=[0,40,500,10]T,當(dāng)采樣周期T=1s,觀測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ分別為50m、100m時(shí),原始觀測(cè)值和真實(shí)值如圖1所示。

圖1　目標(biāo)觀測(cè)值與真實(shí)值

假設(shè)跟蹤時(shí)無(wú)差別地獲取兩個(gè)目標(biāo)的量測(cè)值,且量測(cè)與目標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系未知,不考慮虛警和漏警的情況。經(jīng)過(guò)改進(jìn)SME算法濾波后的效果圖如圖2所示。

圖2　跟蹤效果圖

由圖2中可看出:改進(jìn)算法在不同觀測(cè)噪聲下都能基本實(shí)現(xiàn)對(duì)兩個(gè)目標(biāo)的跟蹤,當(dāng)觀測(cè)噪聲比較小時(shí),跟蹤的比較穩(wěn)定,但隨著噪聲的增大,跟蹤的精度也逐漸降低。

為了評(píng)估改進(jìn)算法的跟蹤效果,將改進(jìn)SME算法與Kamen乘積和SME[3]、復(fù)數(shù)乘積和SME[4]以及JPDA算法進(jìn)行比較。分別在觀測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=50m和σ=100m條件下,進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真,以目標(biāo)1為例,各算法的位置均方根誤差如圖3所示。

圖3　各算法對(duì)目標(biāo)1跟蹤誤差圖

由圖3中可看出:當(dāng)觀測(cè)誤差較小時(shí),幾種算法的跟蹤效果相差不大,僅在航跡交叉點(diǎn)附近有不同程度的差別;當(dāng)觀測(cè)誤差較大時(shí),改進(jìn)SME算法跟蹤精度明顯比Kamen乘積和SME、復(fù)數(shù)乘積和SME算法的跟蹤精度要高,基本達(dá)到與JPDA相近的水平。當(dāng)然,評(píng)判一個(gè)算法的優(yōu)劣不能僅僅考慮跟蹤精度,其時(shí)效性也是極為重要的指標(biāo)。分別取不同次數(shù)的蒙特卡羅仿真,統(tǒng)計(jì)各復(fù)數(shù)運(yùn)算SME和JPDA算法的總運(yùn)行時(shí)間如表1所示。

表1　各算法總運(yùn)行時(shí)間比較　s

由表1可以看出:隨著仿真次數(shù)的增加,各算法的運(yùn)行時(shí)間逐漸增大,同一仿真次數(shù)下SME算法運(yùn)行時(shí)間相差不多,改進(jìn)SME算法比基于復(fù)數(shù)運(yùn)算SME算法的時(shí)間性能還要好一點(diǎn),而JPDA算法的運(yùn)行時(shí)間要比其他3種算法的運(yùn)行時(shí)間大很多,這是由于JPDA涉及數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián),而其他3種算法不需要數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)運(yùn)算,因此基于SME算法在時(shí)效性方面比JPDA算法更有優(yōu)勢(shì)。

4結(jié)論

本文介紹了一種基于SME的多目標(biāo)跟蹤算法,該算法不需要復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)運(yùn)算就能同時(shí)對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。針對(duì)現(xiàn)有SME的不足之處,構(gòu)造了一種基于多項(xiàng)式因式分解思想的改進(jìn)SME,在觀測(cè)誤差服從獨(dú)立同分布、零均值高斯白噪聲前提下,推導(dǎo)出相應(yīng)的觀測(cè)誤差協(xié)方差陣。

在不同觀測(cè)噪聲下對(duì)存在航跡交叉的兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,取得了較好的跟蹤效果,驗(yàn)證了新算法的有效性;與現(xiàn)有SME算法和JPDA算法對(duì)比,新算法不僅延續(xù)了SME時(shí)效性?xún)?yōu)勢(shì),而且跟蹤精度基本達(dá)到與JPDA相近的水平,有效抑制了航跡交叉時(shí)跟蹤誤差較大現(xiàn)象。然而新算法也存在一些不足,比如:構(gòu)造的新觀測(cè)量數(shù)目比現(xiàn)有SME要多一些,而且利用改進(jìn)算法進(jìn)行多目標(biāo)跟蹤時(shí),目標(biāo)數(shù)目必須已知。

目前SME算法發(fā)展并不成熟,許多問(wèn)題還沒(méi)有很好的解決,比如:存在虛警漏警時(shí)計(jì)算較為復(fù)雜、目標(biāo)數(shù)目未知情況下應(yīng)用受限等。因此,需要投入更多的精力去了解、研究SME算法,使之成為一種成熟的理論,以便更好地解決多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題。

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吳瀟(1991-),男,碩士研究生,主要研究方向?yàn)槎嗄繕?biāo)跟蹤。

E-mail:february27th@163.com

黃樹(shù)彩(1967-),男,教授,博士,主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)辨識(shí)與模式識(shí)別、目標(biāo)檢測(cè)與跟蹤。

E-mail:hsc67118@126.com

凌強(qiáng)(1990-),男,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榧t外弱小目標(biāo)檢測(cè)與跟蹤。

E-mail:lq910131@gmail.com

鐘宇(1987-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)建模與仿真、天基紅外預(yù)警探測(cè)與跟蹤。

E-mail:zhongyu257678@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20150818.1519.012.html

Multiple targets tracking using modified symmetric measurement equations

WU Xiao, HUANG Shu-cai, LING Qiang, ZHONG Yu

(AirandMissileDefenseCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an710051,China)

Abstract:The classical symmetric measurement equation (SME) approach will produce pseudo-measurements while tracking multiple targets in multi-dimensions, which induces large tracking errors around the coordinate switching areas. To solve this problem, a modified SME is proposed by polynomial factoring to connect states of one target with different coordinates. As a result, the mapping relationships of original observations to new mesurements are described more precisely. The new measurement noise covariance matrix is deduced corresponding to the new SME measure noises which are derived by Taylor series expansions. Finally, simulations are constructed to validate the new SME’s characteristics by comparing with the existing SME approaches and joint probability data association algorithm respectively. Results show that the modified SME approach not only maintains the advantage of real-time performances, but also does well in improving tracking accuracy during the coordinate switching areas.

Keywords:symmetric measurement equation (SME); multiple targets tracking; polynomial factoring

作者簡(jiǎn)介：

中圖分類(lèi)號(hào)：V 249

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.01.04

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金(20130196004)資助課題

收稿日期：2015-01-13；修回日期：2015-06-29；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-08-18。