含裂紋缺陷結(jié)構(gòu)J積分計算方法研究

含裂紋缺陷結(jié)構(gòu)J積分計算方法研究*

黃裕龍，蔣 瑋，蔣險峰

(大連理工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧大連116024)

摘要：裂紋參量J積分一直是斷裂力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點，它是定量描述裂紋尖端區(qū)域應(yīng)力應(yīng)變場強度的重要斷裂參量。J積分的獲取有多種方法，歸納總結(jié)了幾種常用的含裂紋缺陷結(jié)構(gòu)的J積分計算方法并對其進行分析，最后列舉一實例進行計算，分析了各類方法的特點，為斷裂參量J積分的研究以及計算提供參考。

關(guān)鍵詞:斷裂J積分EPRICOD有限元

中圖分類號：O346.1文獻標識碼：A

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目51075050。

作者簡介：黃裕龍(1988-)，男，碩士研究生，主要研究方向為鋼結(jié)構(gòu)裂紋特性。

收稿日期：2015-03-04

Research of cracked defect structure’s J-integral computing methods

HUANG Yulong,JIANG Wei,JIANG Xianfeng

Abstract:Crack parameter J-integral has been a hot issue of fracture mechanics. It is an important fracture parameter which quantitatively describes the stress and strain fields near crack tip. There are varieties of methods to obtain J-integral. This paper summarizes several methods of calculating the J-integral of cracked defect structure and analyzes the result. The paper cites an example at the end, and analyzes the characteristics of various methods, provides a reference for the future study and computing of J-integral.

Keywords:fracture; J-integral; EPRI; COD; finite element method

0引言

J積分是研究裂紋問題的一個重要參量，用以表征裂紋尖端附近的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可用來研究裂紋性質(zhì)并能判斷裂紋是否失穩(wěn)擴展，對預(yù)防和控制斷裂行為具有重要意義。自從1968年Rice[1]提出J積分以來，它就成為了一個重要的斷裂力學(xué)參數(shù)，一度成為國內(nèi)外學(xué)者的研究重點。J積分代表作用于裂紋尖端的一個廣義力，也稱為裂紋擴展力或能量釋放率。研究J積分的計算和測量方法，獲取J積分值，將有助于判斷裂紋的擴展和含裂紋結(jié)構(gòu)的可靠性。

目前，對于J積分的計算一般有兩大類：一類是按照簡化模型或者工程估算方法進行計算，另一類是通過有限元分析或者實驗方法獲取J積分值。本文將從這兩類方法入手，對J積分的計算方法進行研究，并在最后給出具體實例進行對比研究，比較各類計算方法的特點。

1J積分的計算方法

設(shè)有一均質(zhì)板，板上有一穿透裂紋，裂紋表面為自由表面，外力使裂紋周圍產(chǎn)生二維的應(yīng)力、應(yīng)變場。定義J積分[1]如下：

(1)

圖1　J積分路徑

式中，Γ為始于裂紋下表面任一點，止于裂紋上表面的圍繞裂紋尖端的閉合路徑，如圖1；W為應(yīng)變能密度：

W=∫σijdεij

(2)

其中σij、εij為Γ路徑上任一點的應(yīng)力應(yīng)變值；T是積分路徑Γ邊界上的應(yīng)力矢量，U是路徑Γ上的位移矢量，dy為y方向的增量，ds為對應(yīng)于Γ的積分曲線增量。

在線彈性斷裂力學(xué)中，J積分與應(yīng)力強度因子KI有如下關(guān)系式：

(3)

1.1EPRI工程估算法

為了達到在工程實際中不借助有限元即可完成J積分計算的目的，美國通用電器(GE)和美國電力研究院(EPRI)在其研究報告NP-1931《彈-塑性斷裂分析的工程方法》中提出了EPRI的J積分工程估算法及其延性斷裂手冊[2-4]。運用該方法，在面對工程實際計算J積分的問題時，無需進行有限元分析就能將J積分計算出來，簡化了J積分的計算，推動了J積分在工程實際中的應(yīng)用[5]。EPRI的J積分工程估算法的關(guān)鍵是將彈-塑性J積分分解成彈性J積分與塑性J積分兩部分相加[6-8]。

對于在單項拉伸的情況下，該方法認為材料為Ramberg - Osgood冪硬化材料，其應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系符合以下關(guān)系式：

(4)

其中，σ、ε材料在某一時刻的應(yīng)力和應(yīng)變；σ0、ε0為材料的屈服應(yīng)力和屈服應(yīng)變；α為材料的硬化系數(shù)；n為材料的硬化指數(shù)。

對其進行彈塑性分析，根據(jù)EPRI的J積分計算方法，可以將J積分換算為彈性階段的J積分Je和塑性階段的J積分Jp兩者之和，即：

J=Je(ae)+Jp(α，n)

(5)

其中，彈性階段的J積分Je是關(guān)于修正以后的有效裂紋長度ae的函數(shù)：

(6)

式中，m為形狀系數(shù)，它與試件裂紋大小、位置等因素有關(guān)；σ為名義應(yīng)力，即裂紋位置上按照無裂紋計算的應(yīng)力；ae可以由下式方程求得：

ae=a+φγy

(7)

(8)

對于平面應(yīng)力，β=2；對于平面應(yīng)變β=6。

(9)

(10)

式中，Lr為外載荷P與結(jié)構(gòu)屈服載荷P0(即塑性極限載荷)之比。

對于平面應(yīng)力，P0=1.071 ηcσ0；對于平面應(yīng)變P0=1.455ηcσ0。

(11)

c為試件的未開裂韌帶。

對于塑性階段的J積分Jp，可由下式計算而得：

(12)

h1為J積分全塑性解的函數(shù)，與材料、結(jié)構(gòu)、載荷以及裂紋尺寸有關(guān)。通過有限元分析，可以得到h1值，編制成全塑性解系數(shù)h1手冊。當需要計算J-積分時，只要查表確定h1的值就可完成計算工作，不再需要有限元計算，因此在工程實際應(yīng)用中利用全塑性解h1是非常簡單的[9]。

1.2COD準則法

J積分是一個回路積分，COD是裂紋尖端張開位移，它們是彈塑性斷裂力學(xué)的兩個重要參量，以這兩個參量為基礎(chǔ)建立了彈塑性斷裂力學(xué)的重要斷裂準則[10]。在D-M模型的基礎(chǔ)上，J積分和COD有一定關(guān)系，如下：

J=σsδ

(13)

式中的σs為屈服強度。

由于D-M模型過于簡單，將塑性區(qū)考慮為理想塑性，塑性區(qū)受到σs的作用；實際上許多材料都存在硬化現(xiàn)象，不能簡單的認為J積分和COD的關(guān)系僅僅如(13)式。人們做了許多的實驗，發(fā)現(xiàn)應(yīng)該在(13)式的基礎(chǔ)上加一個系數(shù)k，稱之為COD的降低系數(shù)，其值大約在1～3左右。新關(guān)系式如下：

J=kσsδ

(14)

Robinson[11]指出，k隨著塑性區(qū)的增加而增加，在塑性區(qū)較小時，k=1，k最大可以達到2.6。Shih[12]的計算結(jié)果表明，用HRR理論和有限元計算結(jié)果相差不大，k隨著硬化指數(shù)的增加而減小。Xian-KuiZhu[13]等人通過認真總結(jié)與歸納，給出了不同標準試件的COD降低系數(shù)k的算法，其中就有CT試件的k的算法，如下：

(15)

其中，σts為材料的極限抗拉強度。

對于三點彎曲式樣，有：

對于緊湊拉伸式樣，有

A0=3.62A1=4.21A2=4.33A3=2.00

1.3有限元法

有限元法(Finite Element Method, FEM)是固體力學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的數(shù)值模擬方法，它的基本思想是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解。應(yīng)用有限元方法求斷裂力學(xué)參數(shù)J積分早在80年代Owen就已經(jīng)開始了[14]，在他的著作中先后就彈性與塑性材料在二維情況下作了較詳盡的論述并編制了計算機程序。目前的有限元軟件如ANSYS、ABAQUS等已經(jīng)得到了很好的發(fā)展，對于各種問題均能夠很好的解決。林國裕[15]利用有限元方法對具有中心裂紋的矩形板作了線彈性和彈塑性分析，得到了積分基本守恒和隨時間的變化規(guī)律。李繼紅[16]等人利用彈塑性損傷-應(yīng)變耦合的有限元方法,研究了在不同強度匹配焊接接頭中，母材區(qū)斷裂應(yīng)變的變化對焊縫區(qū)裂紋斷裂力學(xué)參量J積分的影響規(guī)律。

運用有限元法計算J積分，需要建立對應(yīng)的模型，下文實例中將用到該方法計算，設(shè)置材料屬性為：彈性模量E=195.1 GPa，泊松比μ=0.267，密度ρ=7.93×103kg/m3。劃分網(wǎng)格并施加約束及載荷，提交運算即可算出J積分值。

1.4實驗法

用實驗法求解J積分，多數(shù)情況下是用以對理論方法的驗證。實驗法的中心思想是想方設(shè)法獲取裂紋尖端附近區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變值，通常是先獲取應(yīng)變值，再通過彈塑性斷裂力學(xué)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求解應(yīng)力值，進而計算J積分。傳統(tǒng)的實驗方法有應(yīng)變片法[17]、柔度法[18]、光彈法[19]。傳統(tǒng)的實驗法存在著一定的不足：貼片法繁瑣且該方法測量點有限，柔度法無法用于動態(tài)測量，光彈法的實驗設(shè)備復(fù)雜，而且無法用于非透明材料的測量[20]。因此，迫切需要一種先進的技術(shù)來克服傳統(tǒng)實驗方法存在的缺陷，人們對于尋求更有效實驗方法的努力從未停止過。

隨著科技的進步和發(fā)展，近些年出現(xiàn)了運用數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)的方法來獲取裂紋J積分值的方法，并一度成為研究的熱點。數(shù)字圖像相關(guān)由M.A. Sutton等人提出[21-22]，通過跟蹤匹配變形前后所采集圖像的灰度信息來測量物體在各種載荷作用下表面整體的瞬時位移場和應(yīng)變場。該方法具有非接觸、精度高、光路簡單、受環(huán)境影響小、自動化程度高等優(yōu)點，已經(jīng)逐漸成為實驗力學(xué)領(lǐng)域一種非常重要的光測手段[23]。運用數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)，能夠輕松的獲取裂紋尖端附近區(qū)域的實時應(yīng)變值，再通過應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求出應(yīng)力值，即可獲取J積分值。

2實例計算及分析

圖2　CT式樣尺寸

以緊湊拉伸(CT)式樣為例進行說明，材料選用304不銹鋼，厚度為5 mm，對其進行單項拉伸，CT式樣尺寸如圖2所示。為了效驗計算結(jié)果的準確性，將各方法的計算結(jié)果與(3)式用應(yīng)力強度因子法計算的理論值做比較。根據(jù)上述計算J積分的方法，對該實例進行計算，結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，各種J積分計算方法的結(jié)果具有相同的增長趨勢且相差不大，通過與理論值的對比，驗證了各種常用J積分計算方法的準確性與可行性。

圖3　J積分計算結(jié)果圖

3結(jié)語

本文歸納總結(jié)了斷裂力學(xué)領(lǐng)域中斷裂參量J積分計算的若干常用方法，并通過具體實例計算分析，驗證了各種方法的可行性和準確性。估算法雖是對工程實際問題的簡化計算，但能夠?qū)α鸭y構(gòu)件斷裂的全過程給予定量描述，在工程實際當中運用該方法尤為方便且準確可行；COD準則法簡單有效，但對于COD值的精度要求比較高；有限元方法和實驗法均通過獲取應(yīng)力應(yīng)變值計算J積分，不同點是有限元方法通過軟件的內(nèi)部算法直接獲取J積分值而無需單獨獲取應(yīng)力應(yīng)變，實驗法則需要先獲取應(yīng)力應(yīng)變才能獲得J積分值。

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