動靜轉換策略在高中數學解題中的應用

姜有東

（大連市第25中學，遼寧 大連 116113）

在以往的數學教學方式中，沒有將培養學生的思維能力作為教學的重點。但是課程改革之后，教學要求將提升學生的思維能力作為教學目標。在高中數學當中，使用動靜轉換的思想，可以對題目的本質有清晰的把握，能對題意進行較深層的挖掘。

一、動靜轉換策略的特點

其可以用在多種類型題目的解決之中，能直接將思路轉化成具體的解題方法，在一些具體問題的求解中發揮重要作用，和其他解題方式相比，其具備從整體性解決的優勢。動靜轉換策略是抽象和具象方式結合的階梯方式，可以被當成解題方法，也可以被用作尋找階梯思路的技巧。這些策略本身可以被當做一些策略的結合，可以很快地找出科學的階梯方法，而且解題的嘗試次數非常之少，有效地提升了解題效率。

二、動靜轉換策略在高中數學解題中具體應用

1.以靜制動

運動與靜止都有一定的相對性，一個運動的物體M相對于靜止的N而言，也可以當做N靜止M運動，比如臺風的中心處于平靜狀態，處于運動的事物其中一部分也會處于相對平穩的狀態，可以尋找這些變化中不變的規律，以此入手作為解題的切入點，常常會找意料之外的解題方法。比如，小明在湖里游水，身上攜帶的玩具在C處掉落，逆流游了30分鐘之后才發現玩具已經掉落，隨后回頭尋找，最終在C處下游的3千米的D處找到玩具，求湖水流速。經過分析之后，可以將湖水的流速設定為x千米/小時，小明的游泳速度是y千米/小時，小明向上游游動了30分鐘，則游動的距離是（y?x）千米，游泳回去的距離是[（y?x）+3]千米，往回游動到找到玩具所花費的時間是小時，將水壺飄動的時間當做等量關系，可以得到等式，對方程進行求解，最終求得方程的結果x=3千米每小時。但是，在使用這種方式進行求解的過程中，會出現比較繁復的求解過程，并沒有體現出動和靜之間的轉換。經過總結之后，認為可以利用動靜轉換的策略解答此題。首先先通過想象架設湖水是靜止的，小明游了30分鐘之后才發現玩具丟失，于是轉身沿著原來的軌跡向回游去，由于水是靜止的，因此玩具還應該停留在被丟失的原處，小明回到玩具丟失的地方依舊需要30分鐘的時間，這樣來往總共花費了60分鐘的時間，也就是正好1個小時的時間。然后再以運動的方式思考問題，由于玩具處于運動狀態，隨著湖水的流動已經移動了3千米的距離，這3千米的距離一共花費了60分鐘，因此可以求出玩具移動的速度是3÷1=3千米/小時。得到的結果和上述傳統方法得到的結果一樣，說明計算方式無誤。實際上，使用動靜轉換策略主要將分析重點集中在動和靜的轉換上，并不局限于某個場景，也可以想象這件事發生在一列快速行駛的列車上，在其中一節車廂丟了東西，然后走了一段時間之后發現東西丟失，然后轉回頭去尋找。

2.靜中尋動

如果一個物體已經靜止，那么其在靜止之前的運動情況和運動到某個非常特殊點的信息就非常重要，這種思考方式讓靜止狀態的物體具備的運動的意義。在高中數學題目之中，一些題目之中會出現很多參數，這樣按照傳統方式計算起來非常麻煩，也容易在計算中造成失誤。因此，在實際解題的過程中，可以利用思維想象幾個參數處于運動狀態，從而產生新的變量，尋找到解題的切入點。比如，已經知曉 e、f、g、E、F、G都是正數，并且E+e=F+f=G+g=m，證明Ee+Ff+Gg＜m2.使用以往的解題方式可以得出如下證明過程：不妨設 A＞B＞C＞0,c＞b＞a＞0,

于是由排序不等式及均值不等式得Ee+Ff+Gf≤Ee+Ff+Gg≤(E+e)2/4+(F+f)2/4+ (G+g)2/4=(3/4)m2＜m2，(注 : 以 上 最 后 一 步 不 能 取 等 號)∴Ee+Ff+Gg＜m2。這種方式明顯過于繁復，步驟過多，可以考慮使用動靜轉換的方式的進行解答，根據已知條件進行轉換，可以得出e-m+E=0，也就是ex2-mx+E=0，得到的根為1，=m2-4eE≥0，能得出4eE≤m2，同理可以推出 4fF≤m2，4gG≤m2，也就相應地得到 Ee+Ff+Gg≤3/4m2＜m2，這樣的推理明顯節省了計算步驟，而且讓人的思維更加地靈活。

3.動中求靜

事物的運動和靜止都有相對性，特殊情況下靜止會朝著運動轉化，一些數學問題在靜止的情況也可以按照計算方式計算出結果，但是整個過程過于繁瑣，這個時候轉換一下思路，以動態的方式思考問題，就可在運動狀態中的特殊情況考慮求解，很多問題就可以在這種情況下得到解決。比如，在正方體ABCD-A1B1C1D1當中，O是底面ABCD的中心，M則是A1B1上的一個點，N則是DD1的中點，求出OM和AN之間的夾角。

如果使用常規方式結題思路如下：

∵A1B1⊥面 ADD1A1，AN 面 ADD1A1，

∴A1B1⊥AN.

設面A1B1O和面ADD1A1相交于A1S，面A1B1O與面BCC1B1的交線為B1H，則S、H就是AD和BC的中點，

∴AN⊥A1S.

∵A1S∩A1B1=A1，∴AN⊥面 A1SHB1，

∵OM 面A1SHB1，∴AN⊥OM.

∴線OM與直線AN所成的角是直角，也就是90°

因此答案是：90°

但是對以上是結題方法進行分析可知，整個解題過程不僅需要依靠已知條件，還需要通過思考補充一些引申條件，使得整個解題過程較為繁復，花費較長的解答時間，影響答題效率，因此可以考慮動靜轉換的方式進行解答。具體如下：由于OM線段處于運動狀態，其長度一直處于變化之中，解答三角形問題經常用到的余弦定理在這里也就失效了，可以考慮將動態的線段轉化為靜態，可以直接將OM看成AA1D1D上面的一條固定的斜線，A1S就是面AA1D1D的射影，由于AN和A1S呈現出直角的關系，這個時候參照三垂線定理的內容，即可以判定OM和AN之前是垂直關系，兩者之間的夾角也就是90°。這種將動態線段轉換成靜態固定線段的結題方式，讓原本復雜的問題簡單化，而且求解過程并不影響結果的準確性，整個求解過程依然符合數學原理，是遇到復雜運動類數學問題的有效解題手段。

總結

動靜轉換策略具有很強的目的性，并沒有細致地遵循邏輯規則，很多情況下都會出現跳躍性，在實際使用過程中常常會將學生的學習經驗和主觀判斷作為解題的參考，通過方式的選用對習題從整體上進行思考。教師要注重培養學生的動靜轉換能力增強學生的思維能力。

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