超彈性介電型EAP圓柱形驅動器變激勵電壓下動態響應分析

超彈性介電型EAP圓柱形驅動器變激勵電壓下動態響應分析

朱銀龍1,王化明2,羅華安2, 3,周宏平1

(1. 南京林業大學機械電子工程學院,南京210037;2.南京航空航天大學機電學院,南京210016； 3.南京信息職業技術學院機電學院,南京210023)

摘要：超彈性電活性聚合物(electroactive polymer, EAP)圓柱形驅動器的動態特性是進行合理設計、使用及優化驅動器的重要依據。結合介電型EAP機電耦合方程，構建了驅動器軸向線性運動的動力學方程。通過計算得到驅動器的電壓-軸向位移曲線，研究了驅動器在準靜態點附近的穩定性。最后，分析了驅動器在施加階躍和周期電壓激勵時的動態響應。結果表明，在有效工作范圍內驅動器是穩定的，階躍電壓激勵使驅動器在準靜態點附近產生軸向振動，周期電壓使驅動器產生包含自振的擬周期軸向振動。進一步分析表明，階躍電壓激勵更易導致驅動器的電擊穿失效。

關鍵詞：超彈性 介電型EAP;圓柱形驅動器;動態響應

中圖分類號:TP24

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.035

Abstract:The dynamic performance of a dielectric electroactive polymer (EAP) cylindrical actuator was a basis for its reasonable design, operation and optimization. Combined with the dielectric EAP electromechanical coupled equation, the dynamic equation for the axial linear movement of the actuator was deduced. The relation between the axial displacement of the cylindrical actuator and the applied voltage was obtained with the numerical solution to the dynamic equation, and the stability neigh bouring the quasi static point was analyzed. Finally, the dynamic responses of the actuator to applied step and periodic voltages were studied. The results showed that the actuator is stable in its effective working range, the sudden step voltage can cause the actuator’s axial vibration around the quasi-static position, and the periodic voltage generates its quasi-periodic axial vibration including its natural oscillation; furthermore, the sudden step voltage is easy to cause the actuator’s electric breakdown and damage.

Dynamic responses of a hyperelastic dielectric EAP cylindrial actuator under varying excitation voltage

ZHUYin-long1,WANGHua-ming2,LUOHua-an2,3,ZHOUHong-ping1(1. College of Mechanical and Electronic Engineering, Nanjing Forestry University, Nanjing 210037, China;2. College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China;3. College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing College of Information Technology, Nanjing 210023, China)

Key words:hyperelastic; dielectric electroactive polymer (EAP); cylindrical actuator; dynamic response

由于具有彈性變形大、能量密度高及重量輕等優點，EAP材料在驅動器應用方面的研究得到了廣泛重視，并出現部分商業產品[1]。圓柱形驅動器[2-3]由EAP膜預拉伸后卷繞而成，內部由壓縮彈簧支撐，通過對膜兩側表面的柔性電極施加電壓，產生的靜電壓力使膜軸向拉應力減小，驅動器軸向伸長。圓柱形驅動器結構簡單、能輸出較大的位移和力，在力反饋設備、機器人手臂、仿生昆蟲等方面具有應用前景[1-2, 4]。

靜態特性是驅動器的基本特性，但驅動器的工作過程本質上是動態的，研究其動態特性是優化結構、合理應用的重要依據。采用非線性動力學研究超彈性薄膜動態響應受到研究者的關注[5-13], 任等[5-9]對超彈性薄膜的非線性動力學問題進行了較深入的研究，研究發現球殼在周期載荷下，當施加的平均載荷超過臨界值時，在球殼中心會突然生成空穴并產生擬周期振動[5]；圓柱殼在動載荷作用下也存在易導致其破壞的臨界值，且不動點與動態響應及運動性質存在關系[6]；球形薄膜在某些情形下周期振動的振幅會出現“∞”型同宿軌道以及周期振動的振幅會出現不連續增長現象[7]；另外，考慮到溫度場下熱傳導因素，任等還對熱超彈性圓柱殼[8]、球殼[9]的振動、破壞及穩定性問題進行研究。Goncalves等[10]分析了預拉伸率對超彈性圓形膜的振動頻率、非線性幅頻曲線、分岔圖的影響。Zhu等[11-14]分析了介電型EAP單層圓形、筒形[12]、球形膜[13]在其兩側表面施加電壓作用后動態響應問題，Yong還進一步分析了膜厚度對球殼穩定性的影響[14]，在文獻[11]中Zhu還指出可通過改變周向固定的圓形薄膜的預拉伸率、內側表面的壓力、施加電壓的值改變其自然頻率。

上述文獻僅涉及具有典型幾何結構的單層薄膜在施加壓力載荷(或電壓)時的動態響應問題，但上述的圓柱形驅動器與這些典型結構是有區別的。為研究多層圓柱形驅動器施加電壓后的動態響應，本文首先提出圓柱形驅動器的簡化幾何結構，在此基礎上利用介電型EAP膜機電耦合方程建立了驅動器軸向位移的動力學方程，分析了超彈性介電型EAP驅動器在不動點處的穩定性。最后，對驅動器在施加階躍及周期激勵電壓時的動態響應問題進行研究。

1圓柱形驅動器的簡化結構

圓柱形驅動器[3]是由經過預拉伸的EAP膜在經過預壓縮的彈簧外圈卷繞而成，在驅動器兩端用端蓋及熱縮套管對EAP膜進行固定，膜的兩面涂覆有柔性電極。電極涂覆區域一般稱為活動(或主動)區域。當在EAP膜上施加電壓時，彈簧的壓縮力與EAP膜的預拉伸力平衡被破壞，驅動器產生軸向伸長變形。根據文獻[3]對圓柱形驅動器靜態特性分析結果，在卷繞層數不多、驅動器電壓激勵產生軸向變形不大的情況下，為簡化分析可作如下假設：

(1)驅動器軸向伸長過程中，由于周向被固定，EAP膜只發生沿其軸向及厚度方向變形，各層EAP膜變形均勻一致；

(2)忽略EAP膜卷繞后周向側邊收縮變形對軸向拉力的影響；

(3)忽略EAP膜層間壓力的影響。

于是，可將EAP圓柱形驅動器的活動區域簡化為圖1所示結構，該結構主要由經過預拉伸的矩形EAP膜和預壓縮彈簧組成，D0為彈簧外徑，EAP膜活動區域的初始幾何尺寸為L1×L2×H。設在未施加電壓，驅動器軸向力平衡時其周向及軸向預拉伸率分別為λp1和λp2。當驅動器EAP膜在電壓U刺激作用下軸向伸長到λ2L2(λ2為EAP膜的軸向延伸率)時，其周向長度根據上述假設仍為L1λp1，而厚度變薄為H/(λ2λp1)。根據變形關系，設EAP膜在電場作用下產生的軸向延伸率為λza，則有λ2=λp2λza。

圖1　圓柱形驅動器結構示意圖 Fig.1 Structure schematic of o cylindrical actuator

2驅動器動力學方程

假設驅動器EAP膜材料為理想的超彈性介電型EAP[15]，則可采用neo-Hookean模型來描述其非線性超彈性應變。在電場作用下，EAP膜的周向應力σ1、軸向應力σ2、徑向應力σ3有如下關系[12]

(1)

式中，ε=ε0εr，ε0為真空介電常數，εr為EAP材料的相對介電常數；λ1、λ2、λ3為圖1中驅動器EAP膜的周向、軸向和徑向延伸率，且λ1=λp1、λ3=1/λ1/λ2；E=λ1λ2U/H為電場強度；μ為材料的剪切模量。

當忽略驅動器卷繞層之間的壓力時，可得邊界條件σ3=0。根據式(1)可求得σ1和σ2，并可求得在電壓激勵作用下，EAP膜軸向彈性力Fela為

Fela=σ2L1H/(λp2λza)

(2)

圓柱形驅動器采用軸向預壓縮的壓縮彈簧提供預載荷。假設彈簧為線性恒剛度彈簧，則其軸向彈性回復力Fs為

Fs=Fp-kspringλp2L2(λza-1)

(3)

式中，kspring為彈簧剛度；Fp為彈簧預壓縮力。

驅動器未通電時，EAP膜的軸向彈性力Fela與Fp相等，即式(2)中當U=0，λza=1時Fela的值，故實際計算Fp時也可按下式確定

(4)

施加電壓后驅動器伸長實際上是壓縮彈簧克服EAP膜的彈性阻力而發生軸向位移的過程。根據牛頓第二定律，其軸向位移的動力學方程為

Fs-Fela=kmFm

(5)

式中，Fm為膜活動部分(即涂覆電極部分)質量慣性力；km為折算系數，主要考慮彈簧、固定端蓋及膜的非驅動部分等附加質量引起的慣性力。驅動器活動部分薄膜的慣性力

(6)

式中，me=2ρL1L2H為活動部分(雙層)膜的質量。于是，驅動器軸向運動方程可簡化

(7)

(8)

3驅動器空載時準靜態平衡位置分析

表1　圓柱形驅動器參數值

注：剪切模量μ由等軸拉伸試驗[16]數據擬合獲得

圖2　驅動器準靜態電壓-位移曲線 Fig.2 Quasi-static curve of voltage and displacement for actuator

(9)

表2　Jacobi矩陣的值

4驅動器的動態響應

圓柱形驅動器施加電壓后的軸向伸長是一個動態過程，本文仍以表1所列參數為例來分析超彈性EAP圓柱形驅動器在施加階躍及周期電壓激勵時的動態響應。

4.1施加階躍電壓時的動態響應

(10)

圖中計算得到的λza-υλ曲線為封閉“橢圓形”曲線，準靜態平衡點為其中心。于是，可認為基于上述理想的幾何模型，當在圓柱形驅動器EAP膜上施加階躍電壓時，驅動器會產生繞其準靜態平衡點的軸向周期振動；進一步分析可知，激勵電壓越高其軸向伸長率及伸長速率越大。對照圖3(a)及3(b)，附加質量會減小驅動器最大伸長速率，但對軸向伸長率幅度無影響。由于采用可變預載荷，驅動器雖沒有發生失穩現象，但振幅會使EAP膜的最大工作電場超過其電擊穿強度。因此，考慮到EAP膜的電擊穿，實際驅動器的最大工作電壓比準靜態計算得到的最大工作電壓要低。

圖3　驅動器軸向位移運動相圖 Fig.3 Phase diagram for axial displacement of actuator

4.2施加周期電壓時的動態響應

圖4　U 1=3 kV, U 2=1 kV時驅動器軸向位移時程曲線 Fig.4 Axial displacement time history curve of actuator (U 1=3 kV, U 2=1 kV)

研究當施加形如U(t)=U1+U2sin(ωt)的周期電壓時驅動器的軸向位移動態響應，可對上式采用Runge-Kutta法進行數值積分，U1、U2分別為周期電壓的直流電壓分量及正弦電壓分量的幅值。圖4、圖5分別列出了當周期激勵電壓的最大幅值相同(即U1、U2之和相同)情況下，ω=0.1π及ω=10π時，驅動器軸向位移的時程曲線。

圖5　U 1=2 kV, U 2=2 kV時驅動器軸向位移時程曲線 Fig.5 Axial displacement time history curve of actuator (U 1=2 kV, U 2=2 kV)

由圖可知，在施加周期電壓時，驅動器的軸向位移運動是擬周期振動，可認為是由自振和強迫振動疊加而成。附加質量影響自振頻率，強迫振動頻率取決于周期電壓的頻率ω。由于自振的存在，驅動器軸向振動時，膜的最大延伸率會超過其相應恒值直流電壓激勵產生的變形；同時，當周期激勵電壓的瞬時電壓為(或接近)0V時，EAP膜最小延伸率會小于1(λza<1)。

通過計算可知，驅動器軸向位移幅度主要受U1、U2值的影響。雖然U1、U2之和相同(4 kV),但直流分量U1越大則驅動器的軸向位移幅度越大，越易導致膜電擊穿。當U1= 3kV、U2=1 kV時，其最大軸向伸長λza可達1.76；而當U1=2 kV、U2=2 kV時，膜的最大軸向延伸率λza只有1.61，比上述小10%左右。另外，從圖5可知，當周期電壓波谷值接近0 V時，驅動器軸向擬周期振動呈現波谷平坦，而波峰尖銳的特征，這對避免EAP膜的電擊穿是有利的。

因此，從電擊穿角度來講，突加恒值激勵電壓易使驅動器發生電擊穿失效。一般來講，黏性會對振動有一定的抑制作用，為方便分析，上述論述中采用具有黏性的VHB4910膜作為超彈性EAP材料的參數進行理論計算，這在具有分析時需引起注意。

5結論

本文通過構建超彈性EAP圓柱形驅動器的動力學方程，分析了其在準靜態平衡點附近的穩定性問題，并對其動態響應進行研究，得到如下結論：

(1) 由于圓柱形驅動器采用變載荷的預加載形式，施加電壓后驅動器不會發生機電失穩，但EAP膜的電擊穿失效會限制其電壓許用范圍。

(2) 驅動器的附加質量主要影響其最大伸長速率及自振頻率，在一定伸長范圍內不影響驅動器的穩定性，對其軸向位移幅值影響也不明顯。

(3) 施加形如U(t)=U1+U2sinωt的周期激勵電壓，在U1、U2之和相同時，其直流分量(U1)越大，驅動器軸向振動最大幅值也越大；增加其交流分量幅值U2，會產生波谷平坦的非對稱擬周期振動，在瞬時電壓0 V附近出現λza<1。

(4)相對于周期電壓，階躍電壓激勵更易導致驅動器EAP膜的電擊穿失效。

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