Gauss白噪聲參激下懸掛輪對系統的隨機穩定性研究

Gauss白噪聲參激下懸掛輪對系統的隨機穩定性研究

張波,曾京,劉偉渭

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，成都610031)

摘要：在非線性懸掛輪對系統中加入了Gauss白噪聲參激，通過Hamilton系統理論和隨機微分方程理論，將系統轉化為擬不可積Hamilton系統伊藤隨機微分方程組，根據擬不可積Hamilton系統的隨機平均法，把該方程組降維為一維擴散的平均伊藤隨機微分方程，使原系統的解依概率收斂到一維伊藤擴散過程。通過分析一維擴散奇異邊界的性態得到了隨機全局穩定性的條件。最后對系統的D分叉和P分叉行為進行了研究，并畫出了隨機P分叉圖和隨機極限環圖。結果表明，隨機項的作用使系統的臨界速度發生漂移，隨著噪聲項強度增大，臨界速度顯著降低。P分叉后系統表現為最大可能意義上的隨機極限環振蕩，而D分叉后統表現為概率1意義下不穩定的非極限環隨機振蕩。

關鍵詞：隨機平均法；奇異邊界；隨機P分叉圖；隨機極限環圖

中圖分類號:U271.91

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.008

Abstract:Here, Gauss-White-noise parametric random excitation was input in a nonlinear suspended wheelset system. According to Hamilton system and the stochastic differential equation theory, the system could be expressed as a quasi-non-integrable Hamiltonian system in form of Ito stochastic differential equation. The equation was reduced to one dimensional diffusion Ito average stochastic differential equations with the stochastic averaging method. So, the solution to the original system converged in probability an one-dimensional Ito diffusion process. The global stochastic stability conditions were obtained by analyzing the modality of the singular boundary of the one-dimensional diffusion. At last, the stochastic P-bifurcation and D-bifurcation behaviors of the system were studied. The stochastic P-bifurcation diagram and the stochastic limit cycle one were plotted. The results showed that the random excitation can drift forward the system critical speed and the system critical speed significantly decreases when the intensity of random excitation increases; the P-bifurcation leads to the most possible limit cycle of the system, while the D-bifurcation leads to an unstable non-limit cycle of the system in the sense of probability 1.

基金項目：總裝備部武器裝備預研基金(9140A27020212JB14311)

收稿日期：2014-08-20修改稿收到日期：2014-09-30

Stochastic stability of a suspended wheelset system under gauss white noise

ZHANGBo,ZENGJing,LIUWei-wei(State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Key words:stochastic averaging method; singular boundary; stochastic P-bifurcation diagram; stochastic limit cycle diagram

鐵道車輛系統的蛇行運動穩定性是輪軌系統本身的固有屬性。鐵路車輛運行速度的提高使車輛動力學研究變得十分重要。

在以往的研究中，許多學者對車輛系統的穩定性進行了大量深入的研究，并形成了較為完整的軌道車輛系統力學[1-2]，對蛇行運動的研究歷史也可追憶到1個多世紀以前的Stephenson,車輛系統橫向運動穩定性的研究經歷了一個由線性到非線性的過程。不同的研究人員建立了許多線性的、非線性的系統模型，并針對這些模型提出了具體的定量或定性的方法，同時建立了較為完整和豐富的軌道車輛穩定性和分岔理論，這些理論對提高和保障車輛的運行性能起到了巨大作用。這些研究都是在確定性系統框架內進行的，但隨著鐵道車輛的快速發展，運營速度的不斷提高，對車輛系統穩定性提出了更高的要求，這就需要研究車輛系統在受外界隨機激勵和結構自身參數隨機因素影響下的隨機穩定性問題。

軌道車輛系統中隨機噪聲擾動和結構自身參數隨機影響是不可避免的，這些因素經常使得系統呈現出隨機性、不確定性，確定性系統模型只是實際系統的理想化，因此隨機系統對自然規律的描述更本質和真實。在這種情況下，確定的系統模型已經無法反映現實系統運動的真實行為，也不能滿足理論發展的需要。許多研究表明，由于噪聲與非線性的相互作用，往往使噪聲對系統的演化起著決定性的作用，這種作用有時可能導致系統結構的完全損壞，使系統行為從有序變為無序，有時可能起積極作用，使系統的行為從無序變為有序。深入認識非線性隨機現象的內在機理、運動形態，掌握其內在規律，并在此基礎上加以控制，使其朝有利的方向發展，無疑是一項具有重要科學意義和實際指導價值的研究。

劉偉渭等[3]對彈性輪對隨機穩定性進行了研究，其通過李亞普諾夫指數和奇異邊界理論分析了全局隨機穩定性和局部隨機穩定性，但研究過程中只是簡單涉及隨機分叉，并未對隨機分叉問題進行深入分析。同時考慮到車輛高速運行時，輪動陀螺效應不可忽視[4]，本文將輪對陀螺力引入懸掛輪對系統，考慮懸掛剛度參數隨機激擾，分析隨機項對系統的影響，并對系統隨機分叉行為進行較深入研究。

1輪對系統隨機模型的建立

車輛系統為復雜多體系統，其非線性問題比較復雜，而隨機非線性問題的復雜度相較一般非線性系統的復雜度大大提升，如果直接研究整車系統的隨機動力學問題將會非常困難，因此本文不考慮轉向架和車體蛇形，采用簡化的輪對模型來進行理論分析。

為此，本文建立了懸掛輪對系統搖頭和橫移耦合的隨機幾何模型(圖1)，模型中考慮了懸掛元件的制造公差、材料老化以及材料不均質等問題對懸掛剛度的隨機影響，將懸掛剛度的隨機影響簡化為高斯白噪聲隨機過程ζ(t)。車輛系統中基本包含三類非線性環節：非線性輪軌接觸關系、非線性蠕滑特性和非線性車輛懸掛特性，非線性蠕滑特性一般可近似認為是線性的，非線性懸掛特性一般主要體現在二系懸掛(比如抗蛇行減振器、二系空簧等)，但在一系懸掛中非線性因素相對影響較小，本文懸掛輪對系統中主要考慮一系懸掛，故非線性懸掛特性也可不做考慮，因此非線性項主要體現輪軌非線性接觸關系，系數α1和α2的選取參考文獻[5]。考慮輪對陀螺力，輪對的隨機運動方程[5]為

(1)

式中，y為輪對橫移量，φ為輪對搖頭角，m為輪對質量，I3為輪對搖頭轉動慣量，r0為滾動圓半徑，a為兩滾動圓間的距離之半，L為左右懸掛跨距之半，λe為踏面等效錐度，kx和ky為輪對橫向和縱向定位剛度，fij為Kalker蠕滑系數，W為軸重，β1,β2為隨機項控制參數，ζ(t)為均值為0強度為2D的高斯白噪聲隨機過程，相關函數為：

E[ζ(t)ζ(t+τ)]=2Dδ(τ)

(2)

圖1　懸掛輪對的隨機幾何模型 Fig.1 Dynamic model of suspended wheelset system

(3)

式中，

(4)

設系統的Hamilton函數為：

(5)

(6)

(7)

2輪對系統的隨機平均和全局穩定性

2.1輪對系統的隨機平均

隨機平均法實際上是KBM漸近法在隨機系統中的一個推廣。它的理論依據是滿足所謂“強混合條件”和弱緊性條件的隨機系統的一個極限定理[6]。朱位秋[7]在此基礎上建立了擬Hamilton系統的隨機平均法理論，形成了非線性隨機動力學與控制的Hmailton理論體系框架，為解決隨機激勵下多自由度非線性系統的響應、穩定性、分岔、可靠性、與控制等問題提供了一個十分有效的新途徑。

在隨機分岔研究過程中，隨機平均法有著很重要的作用。使用隨機平均法能使原系統降維、簡化，而同時保持有原系統的主要非線性特性，特別是所得慢變過程為擴散過程，其擴散矩陣是非退化的，從而更適宜于研究非線性系統的隨機穩定性、隨機分岔、首次穿越、以及隨機最優控制等問題。

dH=m(H)dt+σ(H)dB(t)

(8)

式中，B(t)為Weiner增量過程，m(H)和σ(H)為別為一為擴散過程H(t)的漂移系數和擴散系數，經積分計算可得：

(9)

式中：

(10)

式中，R是區域Ω′的邊界方程之解，即R滿足：

(11)

2.2輪對隨機系統的全局穩定性

經過隨機平均，系統(3)依概率收斂到一維擴散過程H(t)。對于擴散過程H(t)，其概率漸近穩定性與其平穩概率密度的存在性可以完全由該過程在邊界上的性態確定。因此下面主要分析擴散過程H(t)的兩個邊界性態：左邊界H→0和右邊界H→∞。

對于右邊界，當H→∞時，H應對應R的高次項，對(11)式關于θ求期望，得：

(12)

αR=4/3,βR=1

(13)

對于左邊界，當H→0時，可得σ2(H)→0,m(H)→0,屬于第一類奇異邊界且H→0為套點，漂移系數和擴散系數漸近的收斂于下面的兩式:

(14)

相應的，判斷邊界類別的擴散指數αL(下標L表示左邊界)、漂移指數βL以及特征標值cL分別為：

αL=2,βL=1

(15)

下面討論參數對系統全局穩定性的影響，當cL<1時，左邊界H→0是吸引自然邊界，右邊界H→∞排斥，系統的解曲線會在整個能量域上趨向左邊界，也就是能量趨向0附近，所以此時系統平凡解是全局穩定的。

相反，當cL>1時，左邊界是排斥自然邊界，左右邊界都是排斥自然邊界，系統的解曲線會在能量域上往返，最終會穩定在(0,∞)區間上的某個穩態能量處(圖5)。所以此時系統平凡解是不穩定的。其具體的穩態位置需要求解系統的FPK方程，可知其能量穩態概率密度函數。

圖2　輪對隨機系統全局穩定性示意圖 Fig.2 The global stochastic stability of wheelset

當cL=1時，為系統臨界狀態，由式(15)可得：

(16)

若取噪聲強度D=0.05將附錄參數表1代入方程 (16)，可知當速度小于58.6m/s時，系統在概率意義上全局穩定；當速度超過58.6m/s時，系統在概率意義上失穩，輪對可能出現蛇形失穩。

一旦系統失穩，系統的拓撲結構將隨著系統參數的改變而發生定性改變，即發生分岔。下面將具體分析系統在隨機激勵下的隨機分叉。

3隨機分叉

所謂隨機分叉，則是指由參數的隨機擾動引起的動態系統的定性性質(穩定性、拓撲結構)的變化[10]。描述隨機系統的動態性質的量有很多，例如最大Lyapunov指數、穩態概率密度、響應的矩等，不妨將這些量稱為特征量，故根據不同特征量得出的隨機分叉點可能是不同的。

目前隨機分叉主要有兩種形式[10-11]：動態分叉(D分叉)與唯象分叉(P分叉)。D分岔是研究從一族參考測度中分岔出新的不變測度，可用 Lyapunov 指數的正負來判別；P-分岔則是研究隨機動力系統不變測度的密度及其形狀隨參數的變化，可從峰的個數、位置及形狀來辨別。D -分岔是一種動態概念，它與確定性分岔相對應，當噪聲強度趨于零時，D 分岔退化為確定性分岔。 P 分岔則是一種靜態概念。 D 分岔與P 分岔之間一般無關系，即D 分岔并不意味著P 分岔，反之亦然。

3.1隨機D分叉

dH=m′(0)dt+σ′(0)dB(t)

(17)

解得：

(18)

[m′(0)-(σ′(0))2/2]/2

(19)

當H→0時，H應對應R的低次項，由于R滿足式(11)，對(11)式R的低次項部分關于θ求期望，可知

(20)

即R2=2H，則有：

(21)

則最大Lyapunov指數為：

(22)

當λ<0，說明系統總能量會隨著運行時間的增加逐漸減小，也就是說，此時系統的能量增加能力小于能量消耗能力，系統會逐漸收斂于平衡位置而穩定，λ越小能量減小得越快，系統也越穩定。

當λ>0，說明此時系統能量增加能力大于能量消耗能力，隨著運行時間延長，系統總能量會逐漸積蓄，該部分能量逐漸轉換為系統動能和勢能，并發生失穩行為。λ越大能量積蓄越快，失穩也越嚴重，當增加能量達到系統儲存極限時，系統將失效并發生脫軌行為。

當λ=0，系統處于失穩與穩定臨界狀態，系統發生D分叉。

根據附錄參數表1可得最大Lyapunov指數的三維圖和等勢圖,見圖3和圖4。

圖3　最大Lyapounov指數三維圖 Fig.3 The 3D map of the Lyapounov exponent

圖4　最大Lyapounov指數等勢圖 Fig.4 The isopotential map of the Lyapounov exponent

從圖3和圖4看出，Lyapunov最大指數隨著運行速度V和噪聲強度D的增加而增加，隨著速度和噪聲強度的增大，最大Lyapunov指數逐漸增大，當兩者達到一定值后，最大Lyapunov指數會由負變正，即系統由穩定變為不穩定，系統發生D分叉。

圖5為不同噪聲強度下，最大Lyapunov最大指數隨速度變化圖，當λmax=0時，出現D分叉臨界點，對應的速度為D分叉臨界速度，當噪聲強度D=0.05時，可得VD=58.6m/s。

圖5　最大Lyapounov指數隨速度變化圖 Fig.5 The Lyapounov exponent vary with the speed

隨著噪聲強度D增大，D分叉臨界速度顯著變小。當D→0時，D分叉臨界速度逼近對應的確定性系統非線性臨界速度Vcr=132.7m/s[5]，D 分岔退化為確定性分岔。

綜上所述，考慮結構自身隨機因素后，系統臨界速度發生了較大變化，噪聲項的作用使系統的臨界速度發生漂移，隨著噪聲項強度增大，臨界速度顯著降低。隨機激勵使系統發生D 分岔，分叉前系統表現為概率1意義下的穩定運動；分叉后系統表現為概率1意義下不穩定的非極限環隨機振蕩，其具體體現形式有待進一步深入研究。

3.2隨機P分叉

在隨機動力系統中,所謂的P分叉[11]就是隨機動力系統概率密度函數的形狀隨系統參數發生實質變化，P分叉點是非概率1意義的，是對應于某一概率值的隨機分叉。導致這一現象的主要原因是由于隨機系統的多樣本的復雜特性,其隨機分叉現象的發生也會因此對應有多個概率值。

由擬不可積Hamilton系統的隨機平均[9]可知，一位擴散過程H(t)的FPK方程滿足如下形式：

(23)

對于系統的FPK方程(25)而言，我們感興趣的是響應的穩態解，即轉移概率密度的定常解。FPK 方程(25)一般需數值求解，但它的平穩解極易求出：

(24)

式中，C為歸一化系數。

當H→0時，省略方程(19)中的高階項，代入方程(26)，可得：

p(H)=CHηexp(-aH-bH2)

(25)

其中，

(26)

在平衡點附近，漂移系數m(H)和擴散系數σ2(H)可以表示為：

m(H)=O(HβL),βL≥0

σ2(H)=O(HαL),αL≥0

(27)

則穩態概率密度可改寫為：

(28)

當βL-αL=-1且H→0時，

p(H)=O{H-αLexp[cLlnH]}=

O{HcL-αL}=O{Hη}

(29)

當η<1時，p(H)是一個δ函數；當1<η< 0時，p(H)是一個減函數且在原點處取得最大值，發生第一次分岔；當η> 0時，p(H)仍會取得最大值，但最大值位置遠離原點，此時發生第二次分岔。于是，在η=1時發生隨機D-分岔，(意義類似與確定性系統分岔)在η= 0時發生隨機P-分岔(概率密度函數的形狀變化)，這兩次分岔構成了隨機Hopf分岔。

根據附錄參數表1，由η=0可得，隨機P-分岔臨界速度為VP=117.2m/s。當η=1時，隨機D-分岔臨界速度為VD=58.6m/s，與3.1節計算結果吻合。

當速度增大時，系統的穩態能量概率密度函數的圖形形狀發生了變化。穩態概率密度函數的峰值的位置表示發生分岔的對應系統廣義能量值，峰值的高度代表概率的大小。見圖6，當速度為50m/s時，穩態能量概率密度函數圖是一個δ函數，在能量0處概率趨近無窮，其他位置幾乎處處為零；當速度為110m/s時，p(H)是在H=0處有最大值的減函數；當速度為170m/s時，p(H)在H>0處有最大值，最大值處對應的能量值H表示發生分岔的對應系統廣義能量值。且隨著速度進一步增加，系統發生分岔的概率最大對應的能量值H也變大，對應的峰值降低。

由圖7知，當速度逐漸增大后，系統的聯合概率密度圖會從單峰漸漸變成“火山口”，且隨著速度進一步增加，“火山口”形狀將越來越明顯，對應的峰值降低。

由圖8知，當速度逐漸增大后，系統的邊緣概率密度ps(y)會從單峰漸漸變成雙峰，且隨著速度進一步增加，雙峰會越來越分離，對應的峰值也逐漸降低。

系統廣義位移與系統廣義動量的聯合平穩概率密度表達式為：

(30)

圖6　穩態能量概率密度圖(D=0.05) Fig.6 Stationary energy probability density (D=0.05)

圖7　橫移和搖頭穩態聯合概率密度圖(D=0.05) Fig.7 Joint stationary probability density of displacement and velocity (D=0.05)

圖8　橫移穩態邊緣概率密度圖(D=0.05) Fig.8 Marginal probability density with respect to the lateral displacement (D=0.05)

下面研究邊緣概率密度函數ps(y)的極值情況.概率密度函數的極值具有重要的意義[10]，這是由于：

①極值點的個數與位置是最顯著的特征之一，Namachchivaya認為它含有非線性隨機系統穩態行為的“最根本”的信息。②作為確定系統穩態行為的推廣，當噪聲的強度趨近于零時，極值趨近于表現確定系統的穩態行為。③極大值表示樣本軌線在此點停留較多時間，因而定常解是穩定的；而極小值則標志軌線在此點停留較少時間，是不穩定的。這個原理與離出問題對穩定性的判別相似。

對于懸掛輪對隨機系統，輪對橫移量最大概率出現的振幅y*由ps(y)的極大值問題決定：

(31)

利用方程(31)可得系統的輪對橫移最大可能振幅隨機P分叉圖,見圖9。

圖9　輪對橫移最大可能振幅隨機P分叉圖(D=0.05) Fig.9 P-bifurcation diagram of the most probable lateral displacement amplitude(D=0.05)

由圖9可見，隨機噪聲項的介入使系統的分叉點發生漂移，臨界速度變低。當速度V=130m/s時，可得系統對應的相空間中的極限環圖，見圖10。

圖10　輪對橫移隨機極限環圖(D=0.05, V=130) Fig.10 The stochastic limit cycleof the lateral displacement (D=0.05, V=130)

由圖10可知，當分叉參數跨過P分叉點后，由于噪聲的介入，對應的確定Hopf分叉系統中的極限環變成一個邊界模糊的“隨機極限圈”，包括一系列不同的可能極限環，各個可能的極限環出現的概率不同。在其中存在一個概率最大的極限環，其對應到圖中為顏色最深的極限環，說明當輪對運行速度V=130m/s時，系統最可能最終在橫移量為8mm的極限環上發生蛇形晃動，與輪對橫移最大可能振幅隨機P分叉圖結果吻合。

隨機系統產生的分岔行為與確定系統產生的分岔行為是不同的，隨機系統由于受到隨機因素的作用，當滿足一定的條件時，系統發生的分岔是以一定的概率形式來反映的，一方面，這說明即使滿足一定的分岔條件，分岔也并不是一定會產生，發生分岔的概率反映了發生分岔的可能性的大小，可見隨機系統的復雜性，無法作出確定性的預測；另一方面，系統參數發生變化時，發生分岔的概率也發生相應的變化，可通過調節系統參數，改變分岔產生的概率。

通過具體分析，我們分析了輪對運行速度對隨機分岔的影響，當穩態概率密度出現火山口時即可判定發生隨機P分岔，隨機 P分岔的產生會導致輪對系統發生蛇形晃動，蛇形晃動的極限環幅值服從一定的概率分布，此時存在最大可能意義上的隨機極限環振蕩，可能導致系統失穩甚至脫軌。由于車輛在運行過程中，不可避免受到各種隨機因素的影響，且一旦激擾強度較大，系統穩定性顯著變差，出現較大安全問題，因此為避免隨機P分岔的產生，系統運行速度應遠離分叉點，留下一定的安全余量，以降低發生隨機P分岔的危險。

4結論

白噪聲參激下懸掛輪對系統的隨機動力學行為將會比確定性Hopf分叉更為復雜。通過最大Lyapunov指數、一維擴散邊界和FPK方程的考察獲得了以下主要結論:

隨機因素對系統平衡點的穩定性影響很大，甚至決定系統的分岔值。考慮結構自身隨機因素后，系統臨界速度發生了較大變化，噪聲項的作用使系統的臨界速度發生漂移，隨著噪聲項強度增大，臨界速度顯著降低。

受白噪聲激勵的影響，系統產生了2個分叉點，第1個是概率1意義上的D-分叉點,系統概率1意義下失穩；第2個是P-分叉點，產生最大可能意義上的隨機極限環振蕩。從而導致系統出現3種不同隨機動力學行為：概率1意義下的穩定運動、概率1意義下不穩定的非極限環隨機振蕩和最大可能意義上的隨機極限環振蕩。對于受白噪聲激勵的輪對系統，其概率1意義的隨機振動和最大可能意義上的隨機極限環振蕩這兩種動力學行為和確定性蛇形運動基本類似。但是概率1意義下不穩定的非極限環隨機振蕩這種動力學行為只存在于受隨機激勵的系統中，在確定性非線性分析中不存在這種動力學行為，這種動力學行為主要是由系統的非線性和隨機因素共同作用而產生的。

不同隨機強度下的輪對系統有著不同的失穩臨界速度，這和不能考慮隨機因素作用下的確定性輪對系統只有一個確定的失穩臨界速度有著本質區別。這也為確定性系統框架下無法解釋的軌道車輛在不同線路等級條件下擁有不同的失穩臨界速度提供了理論解釋。

車輛在實際運行中總會受到結構自身隨機因素的作用，考慮隨機因素后的輪對失穩臨界速度更能反映系統的真實運動行為，這些隨機因素都是弱隨機因素，一般情況下噪聲強度D較小，系統的臨界速度會發生漂移但不會漂移過大，這與實際車輛運行情況是一致的。

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附錄

表1　輪對系統參數表

第一作者戴豪民男，博士生，1982年5月生

通信作者許愛強男，博士，教授，博士生導師，1963年9月生