兩自由度含間隙彈性碰撞系統的顫碰運動分析

兩自由度含間隙彈性碰撞系統的顫碰運動分析

朱喜鋒1,2， 羅冠煒2

(1. 蘭州交通大學 機電工程學院, 蘭州 730070； 2. 甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室, 蘭州 730070)

摘要：利用數值仿真方法，對一類兩自由度含間隙彈性碰撞系統的動力學特性做了深入研究，分析了系統周期運動及其參數存在區域，并揭示了系統的顫碰運動特性。首先，詳細分析了激振頻率和系統間隙等關鍵參數對系統周期運動及存在區域的影響。其次，在小間隙低頻工況下，數值計算了系統p/1周期運動序列及其存在區域。最后，得出隨著激振頻率的遞減，p/1運動的碰撞次數p因擦邊分岔而逐一增加，當p/1運動的碰撞次數p足夠大時，系統呈現出顫碰特性，總結了系統由1/1周期運動到顫碰運動的轉遷規律。

關鍵詞：振動；顫碰；周期運動；分岔；存在區域

中圖分類號:O322文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51205294,61271008)

收稿日期：2014-05-04修改稿收到日期：2014-07-23

Chattering-impact motion of a 2-DOF system with clearance and soft impacts

ZHUXi-feng1,2,LUOGuan-wei2(1. School of Mechatronic Engineering Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. Gansu Provincial Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment, Lanzhou 730070, China)

Abstract:A 2-DOF system with clearance and soft impacts was considered. Its existence region of periodic motion and chattering-impact characteristics were analyzed with the numerical simulation method. Firstly, the influences of key parameters of the system, such as, exciting frequency and clearance on its existence region of periodic-impact motion were studied in detail. Secondly, the sequence of p/1 motion and its existence region under a small clearance and a low exciting frequency were investigated using numerical simulation. Finally, a series of grazing bifurcations occurred with decrease in exciting frequency so that the impact number p of p/1 motions correspondingly increased one by one. When the impact number p of p/1 motions became big enough, the chattering-impact characteristics appeared. The transition law from 1/1 motion to chattering-impact motion via grazing bifurcation with decrease in exciting frequency was summarized explicitly.

Key words:vibration; chattering-impact; periodic motion; bifurcation; existence region

機械系統零部件之間的間隙和約束可導致沖擊振動的發生，從而使機械裝備成為一個非光滑的動力學系統，運動過程也呈現出倍周期分岔、Grazing分岔和混沌等復雜動力學特性。為了降低噪音和削弱顫振的影響，在實際機械系統零部件碰撞面間常設置具有緩沖作用的彈性碰撞面，如齒輪傳動系統、壓力安全閥和開關電路等。Shaw等[1]利用傳統理論研究了一類單自由度振動沖擊系統的周期碰撞運動、鞍結分岔、多吸引子共存及混沌等復雜動力學現象，發現了振動沖擊系統中存在Grazing分岔等特殊現象，并可以導致Poincaré碰撞映射奇異性。Nordmark[2]提出了研究分段線性系統和振動沖擊系統的Grazing動力學及其伴隨分岔的系統方法。李健等[3]研究了非光滑系統吸引子及其吸引域的計算方法。運用不連續映射方法，分析了振動沖擊系統在多維Grazing分岔臨界點的多種復雜動力學特征和余維二分岔[4-6]。研究結果可用于指導實用性機械裝置的設計，Wen等[7]設計了沿導軌運行的彈簧振子實驗裝置，模擬出周期碰撞運動及其分岔。呂小紅等[8]分析了小型振動沖擊式打樁機的吸引子共存現象及其吸引域，得出低頻下顫碰運動使樁體的漸進效果最好。俞翔等[9]通過實驗研究發現，將碰撞振動子系統引入到隔振系統可有效抑制被隔振設備的振動。隨著研究的不斷深入，國內外學者開始重點關注系統參數與動力學特性之間的關系，Peterka等[10]分析了單自由度彈性碰撞系統亞諧運動的穩定性及存在區域。Luo等[11-12]以含間隙和剛性約束的兩自由度周期激勵系統為研究對象，詳細分析了周期運動的多樣性及其演化規律，重點揭示了系統動力學特性與關鍵參數之間匹配規律。

近年來，國內外學者對振動沖擊系統的動力學研究大多是基于單參數分岔，對非線性系統顫碰及其轉遷規律的研究較少。本文通過建立一類兩自由度含間隙彈性碰撞系統的力學模型，構造了兩種Poincaré映射，采用數值仿真方法，在(ω,δ)關鍵參數平面上詳細分析了系統的周期運動及參數存在區域，得出了系統在小間隙低頻工況下，由1/1周期運動到顫碰運動的轉遷規律。

1力學模型

圖1所示的力學模型為一類兩自由度含間隙彈性碰撞系統的典型代表，兩質量塊的質量分別用M1,M2表示，位移用X1,X2表示，兩質量塊之間由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數為C1的線性阻尼器相連。質塊M2由剛度為K2的線性彈簧和阻尼系數為C2的線性阻尼器固定于支承面，作用在兩質量塊上的簡諧激振力為Pisin(ΩT+τ)(i=1,2)。當激振力幅值較小時，系統屬于簡單的線性振子；隨著激振力幅值的增加，當質量塊M1的位移等于間隙B，即X1=B時，M1與固定于支承的剛度為K0的彈性約束碰撞。彈性約束的剛度K0可以在[0, ∞)區間取值，因彈性碰撞的存在，使原本分段線性的系統變成一個具有復雜動力學行為的沖擊碰撞系統。為使分析具有一般性，引入以下無量綱量：

圖1　兩自由度含間隙彈性碰撞系統的力學模型 Fig.1 Mechanical model of a two-degree-of-freedom system with clearance and soft impact

(1)

由方程(1)可得，系統參數的取值范圍為：μm∈(0,1),μk∈(0,1),μc∈(0,1),μk0∈[0,1),f20∈[0,1]。圖1所示兩自由度含間隙彈性碰撞系統的無量綱運動微分方程為：

(2)

其中，

(3)

用符號q=p/n表示系統相應的周期碰撞運動，p=0, 1, 2, 3,…表示碰撞次數，n=1, 2, 3,…表示周期數。當間隙δ較大或激振力幅值較小時，系統為無碰撞的線性振子，用q=0，即p=0表示無碰撞運動。

(4)

2周期運動的參數域及顫碰轉遷規律

顫碰運動是指振動系統在有限時間內與約束界面發生無限次碰撞的振幅逐漸衰減的振動，它是碰撞振動系統的一種固有運動特性。顫碰運動通常發生在一個激勵周期內，它是碰撞振動系統中最重要的問題之一。在(ω,δ)參數平面上，通過分析圖1所示兩自由度含間隙彈性碰撞系統的力學模型，得出了系統的周期運動、顫碰及參數存在區域。

由無量綱運動微分方程(2)可知，系統的動力學特性由μm,μk,μc,ζ,f20,μk0,δ和ω八個參數決定，其中最重要的兩個關鍵參數是間隙δ和激振頻率ω。選取參數(Ⅰ)：μm=2/3,μk=5/6,μc=5/6,ζ=0.1,f20=0,μk0=0.95. 以δ∈[0,4]和ω∈[0.05,3]為參數采樣范圍，數值計算系統在(ω,δ)參數平面上的雙參數分岔，如圖2所示。彈性碰撞周期運動的參數區域用p/n及相應的顏色表示，一些未識別的周期運動和混沌運動統一用黑色區域表示。

圖2 參數(Ⅰ)下系統周期運動的雙參數分岔圖Fig.2Diagramofdoubleparameterbifurcationofperiodicmotionsforthesystemwiththeparameters(Ⅰ)圖3 低頻工況下系統周期運動的雙參數分岔圖Fig.3Diagramofdoubleparameterbifurcationofperiodicmotionsforthesysteminlowfrequencycase圖4 圖3的局部放大圖Fig.4ThepartialenlargementofFig.3

由圖2可知，當ω>1.0時，系統存在0/1，1/1，2/2，4/4,1/2和2/4周期運動，即在中高頻區出現1/1周期運動的倍周期分岔，但倍周期序列2p/2n被Saddle-node分岔或Grazing分岔打斷，導致1/n(n=2, 3,…)亞諧運動的產生。在(ω,δ)參數平面的左下角區域，即δ<1.2和ω<1.0，彈性碰撞系統存在一系列p/1單周期多碰撞運動，并且隨著激振頻率的遞減，p/1周期運動的碰撞次數p逐一增加。

為了分析p/1周期運動及其參數存在區域，數值計算系統低頻工況下的(ω,δ)雙參數分岔，如圖3和圖4所示。由圖3和圖4可以看出，系統在δ∈[0,1.2]和ω∈[0.05,0.95]的參數采樣范圍內存在完整的p/1周期運動序列。

由圖3可得，當δ<1.2時，隨激振頻率ω的減小，小間隙系統的p/1周期運動發生Grazing分岔，碰撞次數p逐一增加，當碰撞次數p足夠大時，系統呈現出Chatting-impact的動力學特征，顫碰運動增大了系統噪音和零部件磨損。隨激振頻率ω的減小，系統由1/1周期運動到顫碰運動的轉遷規律如下：

(5)

圖5　δ=0.52時系統的局部分岔圖 Fig.5 Local bifurcation diagrams for the system along a horizontal scan for δ=0.52

3擦邊分岔及顫碰運動分析

當激勵頻率ω∈[0.626 4,1.549 6]時，系統呈現穩定的1/1周期運動(見圖6(a))，圖中虛線表示位移x1=δ=0.52的彈性約束位置。當ω=0.626 4時，質量塊M1以零速度接觸彈性約束面，1/1周期運動Grazing分岔，碰撞次數p增加1次，形成2/1運動，1/1擦邊運動相圖如圖6(b)所示。

當ω=0.440 5時，2/1周期運動Grazing分岔為3/1運動，2/1擦邊運動相圖如圖7(b)所示。當ω穿越ω=0.379 59時，發生擦邊分岔，3/1周期運動分岔為4/1運動，4/1周期運動Grazing分岔的臨界頻率為ω=0.267 94，ω=0.243 78時，5/1周期運動發生擦邊分岔，6/1周期運動當ω=0.22956時擦邊分岔為7/1運動，相應的擦邊運動相圖如圖8所示。

當ω∈[0.05,0.7]時，隨激振頻率ω的減小，p/1周期運動發生Grazing分岔，碰撞次數p逐一增加，并且相應的參數域寬度逐漸變窄。當碰撞次數p足夠大時，系統呈現出Chatting-impact的動力學特征，即在一個有限時間內(t

(a) 1/1運動,ω=0.63　　　　　(b) 1/1擦邊運動,ω=0.6264　　　　　(c) 2/1運動,ω=0.6262 圖6　周期運動相圖 Fig.6 Phase plane portraits of periodic motions

(a) 2/1運動,ω=0.443　　　　　(b) 2/1擦邊運動,ω=0.4405　　　　　(c) 3/1運動,ω=0.43 圖7　周期運動相圖 Fig.7 Phase plane portraits of periodic motions

圖8　擦邊運動相圖 Fig.8 Phase plane portraits with grazing contact

圖9　p/1運動時間歷程圖 Fig.9 Time series of p/1 motions

4擦邊分岔邊界上特殊運動分析

由圖3和圖4可以發現，在p/1周期運動發生Grazing分岔的邊界上存在數個凸起的舌狀區域。每個舌狀區域內部均存在周期運動和混沌，如3/2，5/2，7/2，10/3，9/2，13/3等，并且其周期運動與p/1周期運動存在一定的關系。即：在p/1和(p+1)/1運動擦邊分岔邊界上的舌狀區域內，存在(np+1)/n的周期運動序列。

圖10　ω=0.352 4時系統的局部分岔圖 Fig.10 Local bifurcation diagrams for the system along a vertical scan for ω=0.352 4

圖11　周期運動相圖 Fig.11 Phase plane portraits of periodic motions

通過以上分析和圖11可知，因倍周期、Saddle-node和Grazing分岔的相互交織，在4/1和5/1周期運動之間擦邊分岔邊界的舌狀區域內，存在9/2, 13/3, …等周期運動序列。符合在p/1和(p+1)/1運動擦邊分岔邊界上的舌狀區域，存在完整的(np+1)/n的周期運動序列的規律。

5結論

本文以典型的兩自由度含間隙彈性碰撞系統為研究對象，建立了系統的力學模型，構造了σp,σn兩種Poincaré映射，分析了系統的周期運動及Grazing分岔。運用數值仿真方法，在(ω,δ)關鍵參數平面上詳細分析了系統彈性碰撞運動的參數存在區域及顫碰運動的轉遷規律。

(1)以δ∈[0,4]和ω∈[0.05,3]為參數采樣范圍，數值計算了系統的(ω,δ)雙參數分岔，分析了間隙δ和激振頻率ω兩個關鍵參數對系統動力學特性的影響。在(ω,δ)雙參數平面上分析系統的周期運動特征，可彌補單參數分岔圖的不足，發現了在p/1運動擦邊分岔邊界上存在特定的舌狀區域。

(2)當δ>1.2時系統僅有0/1和1/1等主要周期運動。當δ<1.2時，在ω>1.5中高頻區開始出現1/1周期運動的倍周期分岔，但倍周期序列2p/2n被Saddle-node分岔或Grazing分岔打斷，導致1/n(n=2, 3,…)亞諧運動的產生。

(3)對于p/1系列基本周期運動，在p/1和(p+1)/1運動的擦邊分岔邊界上的舌狀區域內，存在完整的(np+1)/n的周期運動序列。

(4)在δ<1.2,ω<0.7的采樣區間，系統呈現出一系列p/1周期運動。隨激振頻率ω的減小，系統發生Grazing分岔，碰撞次數p逐一增加，當碰撞次數p足夠大時，系統呈現出Chatting-impact的動力學特征，并總結了系統由1/1周期運動到顫碰的轉遷規律。

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第一作者胡峰男，博士，副教授，碩士生導師，1979年生