一種驅動橋齒輪傳動系統動力學建模與分析方法

一種驅動橋齒輪傳動系統動力學建模與分析方法

周馳1， 丁煒琦2， 桂良進1， 范子杰1

(1.清華大學汽車工程系汽車安全與節能國家重點實驗室，北京100084； 2.陜西漢德車橋有限公司，西安710201)

摘要：為準確分析驅動橋齒輪傳動系統的動力學特性，指導驅動橋產品的減振降噪設計，提出一種考慮箱體影響的驅動橋齒輪傳動系統動力學建模與分析方法，基于經典的非線性軸承理論、有限元方法和模態綜合方法，建立包含主減速器總成、差速器總成、輪轂總成和橋殼等部件的完整驅動橋系統動力學分析模型，對系統進行振動模態分析，計算在單位諧波齒輪傳動誤差激勵下系統的動力學特性，研究驅動橋箱體對齒輪傳動系統動力學特性的影響。以某后驅動橋準雙曲面齒輪傳動系統為例進行的動力學分析結果表明，箱體對驅動橋齒輪傳動系統的動力學特性具有重要影響，在分析時必須予以準確考慮。

關鍵詞：驅動橋；箱體；準雙曲面齒輪；傳動誤差；動力學分析

中圖分類號:TH132.46；U463.218文獻標志碼：A

Dynamic modeling and analysis for a drive axle gear transmission system

ZHOUChi1,DINGWei-qi2,GUILiang-jin1,FANZi-jie1(1. State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy, Department of Automotive Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;2.Shaanxi Hande Axle Co., Ltd., Xi’an 710201, China)

Abstract:In order to analyze the dynamic behavior of a drive axle gear transmission system more accurately and guide vibration and noise reduction design of drive axle products, an efficient strategy based on nonlinear bearing theory, the finite element method and the modal synthesis method were proposed to analyze the drive axle gear transmission dynamic system considering effects of housing. The whole drive axle transmission system’s dynamic finite element model including final drive gear transmission assembly, differential gear transmission assembly, hub assembly and housing etc. was built. The modal analysis of the whole system was performed. The response of the system to a unit harmonic gear transmission error under the hypoid gear mesh was calculated. The effects of housing on the gear transmission system’s dynamic features were studied. An example for dynamic analysis of a rear drive axle gear transmission system showed that the effects of housing on the dynamic features of the drive axle gear transmission system are significant.

Key words:drive axle; housing; hypoid gear; transmission error; dynamic analysis

隨著用戶對驅動橋產品振動噪聲性能要求的日益提高，驅動橋系統動力學特性的相關研究也越來越深入。研究表明，主減速器弧齒錐齒輪的傳動誤差是驅動橋系統振動噪聲的主要激勵源[1]，一方面傳動誤差會引起齒輪自身的嘯叫問題，另一方面齒輪傳動誤差產生的動態激勵經過傳動軸、軸承傳遞至箱體，傳動系與箱體相互影響，形成整個系統的振動噪聲問題。因此對驅動橋齒輪傳動系統的動力學特性進行研究具有重要意義?，F有學者對齒輪傳動系統動力學特性的相關研究[1-5]，大多采用簡化的集中參數模型，如文獻[2]中提出的14自由度準雙曲面齒輪集中參數模型，這種模型無法準確體現軸系的尺寸特征，將軸承外圈考慮為接地，沒有考慮箱體對系統的影響，無法準確體現傳動系統的動力學特性。郭年程等[6]直接建立包含驅動橋所有零部件的實體單元有限元模型，采用有限元接觸計算方法分析驅動橋系統的動力學特性，但是這種方法的建模過程十分復雜，系統模型的規模過大，接觸分析需要消耗大量的計算資源，分析效率低。

針對現有方法的不足，本文提出了一種考慮驅動橋箱體影響的齒輪傳動系統動力學建模和分析方法。以某驅動橋準雙曲面齒輪傳動系統為例，建立了考慮主減速器總成、差速器總成、輪轂總成和橋殼等部件的完整驅動橋系統動力學分析模型，對系統進行了振動模態分析和單位諧波齒輪傳動誤差激勵下的動力學分析，研究了箱體對傳動系統動力學特性的影響。本文提出的方法能夠準確高效地分析驅動橋齒輪傳動系統的動力學特性，為驅動橋產品的減振降噪提供指導，縮短產品的研發周期和制造成本，并可用于其它類似齒輪傳動結構的動力學特性分析。

1齒輪傳動系有限元建模

圖1為某后驅動橋準雙曲面齒輪傳動系，主減速器齒輪為準雙曲面齒輪，小輪由一個圓柱滾子軸承和一對圓錐滾子軸承支撐，大輪與差速器殼通過螺栓連接，差速器殼由一對圓錐滾子軸承支撐。輸入轉矩作用在小輪軸上，經由大輪、差速器殼、十字軸、差速器齒輪、半軸，最終傳遞至車輪。主減速器滾子軸承的內圈與軸系連接，外圈安裝在主減速器殼軸承座上，輪轂軸承的內圈安裝在半軸套管上，外圈與輪轂連接。

圖1　驅動橋準雙曲面齒輪傳動系平面圖 Fig.1 Schematic of drive axle hypoid gear transmission system

1.1軸建模

小輪軸、大輪、差速器殼、十字軸、半軸、行星輪軸和太陽輪軸等部件均為軸對稱部件，采用考慮剪切變形的歐拉-伯努利空間梁單元進行建模，可以準確體現軸系的尺寸特征和力學特性。為了驗證本文梁單元模型的準確性，以長100mm，截面直徑10mm懸臂梁模型為例，對比梁單元和體單元模態分析計算結果見表1。

表1　懸臂梁模態分析對比

在驅動橋每個軸部件模型上劃分若干梁單元，梁單元截面尺寸參照設計圖紙，材料參數為部件的真實材料參數，保證模型的精度準確可靠，以小輪軸為例，將小輪位置的梁單元幾何參數定義為小輪節錐幾何參數，見圖2。以體現小輪的剛度和質量屬性。考慮剪切變形的歐拉-伯努利空間梁單元剛度矩陣Kbeam[7]和一致質量矩陣Mbeam[8]在對應的文獻中均有詳細的計算公式，這里不再贅述。各個軸上的梁單元剛度矩陣和質量矩陣組集得到軸的剛度矩陣Ks和質量矩陣Ms。

圖2　小輪軸梁單元有限元模型 Fig.2 Schematic of pinion shaft beam element model

實際中，大輪軸通過螺栓安裝在差速器殼上，在模型中將大輪軸與差速器殼螺栓連接位置對應的節點之間建立線性彈簧單元，用來模擬實際的螺栓連接關系。

1.2滾子軸承建模

滾子軸承模型基于非線性軸承理論，采用空間彈簧單元進行建模，其剛度矩陣由軸承受載和變形關系計算得到，因此具有耦合性和非線性剛度特性，該方法已被驗證能夠準確體現滾子軸承的剛度特性，且利于編程實現，被廣泛使用[9-10]。滾子軸承各方向的受載與變形關系表達式如式(1)～式(6)，其中，軸承的局部坐標系z軸為軸承的軸向，如圖3所示，Fx和Fy為徑向力，Fz為軸向力，Mx和My為徑向力矩，Mz為軸向力矩，Z為滾子數，α為接觸角，對于圓柱滾子軸承接觸角為零，ψj為第j個滾子的方位角，Dpw為滾子的節圓直徑，ns為每個滾子沿長度方向上劃分的單元數，計算時取40，xk為每個滾子第k個單元距離滾子中心的距離，Kn為滾子與內外圈的綜合接觸剛度，其計算公式如式(7)，E為軸承材料的彈性模量，ν為軸承材料的泊松比，Lwe為滾子的有效作用長度，δj,k為第j個滾子的第k個單元的法向變形量，其計算公式如式(8)，δx和δy為軸承的徑向變形，δz為軸承的軸向變形，θx和θy為軸承的徑向轉角，在軸承的非線性迭代計算時，只有當δj,k大于0時，對應的滾子單元才起承載的作用，若δj,k小于0，則取δj,k等于0。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Mz=0

(6)

(7)

(-δxsinψj+δycosψj)cosα+

xk(-θxcosψj-θysinψj)

(8)

滾子軸承的受載對變形求偏導，即得到滾子軸承的非線性耦合剛度矩陣Kb，表達式如式(9)。

(9)

圖3　圓錐滾子軸承 的二維示意圖 Fig.3 Schematic of tapered roller bearing

式(1)～式(9)充分體現出軸承剛度的非線性特性和各方向受載與變形的耦合特性。軸承的上述尺寸參數均由軸承的設計圖紙得到，保證軸承模型的精度可靠。

將軸承的內外圈根據軸承的實際尺寸等效為圓環，和軸一樣以空間梁單元的形式進行建模，獲得軸承的質量矩陣為Mb。

上述軸承單元模型可以準確的體現軸承的結構尺寸特征，考慮滾子與內、外圈之間的受力關系，模擬軸承各方向受載和變形的耦合關系及非線性剛度特性。

1.3齒輪建模

采用等效嚙合模型對準雙曲面齒輪進行建模，能夠較為準確的模擬準雙曲面齒輪的力學特性[1]。表2為主減速器準雙曲面齒輪副的尺寸和工況信息。

表2　準雙曲面齒輪參數

準雙曲面齒輪的尺寸特征通過梁單元的截面尺寸體現，即將小輪和大輪所在位置對應的梁單元尺寸定義為齒輪的節錐尺寸。進一步模擬齒輪嚙合的剛度耦合關系，分別在小輪和大輪的理論嚙合位置建立等效嚙合節點，其坐標位置根據準雙曲面齒輪的幾何參數計算得到[1]，計算公式如式(10)所示。

(10)

式(10)中，規定驅動橋主減速器齒輪傳動系統采用標準汽車坐標系作為全局坐標系，即汽車前進方向為x軸正向，汽車左側方向為y軸正向，豎直向上為z軸正向，坐標原點為差速器十字軸中心位置；△x1、△y1和△z1分別為等效嚙合點相對小輪中心節點坐標在全局坐標系x、y和z方向上的偏移量；γ1和γ2分別為小輪和大輪的節錐角；Eg為準雙曲面齒輪的偏置距；Rm2為大輪的平均節圓半徑；k1和k2分別為小輪和大輪的朝向系數，當小輪朝前時，k1取1，反之k1取-1，當大輪朝右時，k2取1，反之k2取-1；kh為小輪的旋向系數，當小輪右旋時，kh取1，反之kh取-1。

(11)

(12)

差速器直齒錐齒輪由4個行星輪和2個太陽輪組成，相關參數如表3所示，行星輪和太陽輪共有8個齒輪嚙合對傳遞載荷，同樣采用等效嚙合模型對差速器齒輪進行建模，獲得差速器齒輪剛度矩陣Kd和嚙合剛度矩陣Kdm。

表3　差速器齒輪參數

1.4連接部件模型

驅動橋系統中還包含有若干連接部件，如差速器行星輪與十字軸之間的墊圈，半軸與太陽輪之間的花鍵等，在建模時均采用線性彈簧單元模擬，耦合相互作用的節點自由度。

(13)

2驅動橋箱體有限元建模與試驗驗證

軸系均通過滾子軸承支撐在驅動橋箱體上，在系統建模時必須準確建立箱體的模型。整個驅動橋箱體包括橋殼、主減速器殼、軸承座、板簧座、推力桿座、半軸套管等，采用四節點四面體單元對箱體的幾何模型進行網格劃分，單元尺寸為4mm，各部件之間的焊接關系通過共用節點的方式模擬，主減速器殼與軸承座及橋殼之間的螺栓連接通過梁單元和多點約束剛性單元模擬。約束板簧和推力桿座對應的自由度，作為系統邊界約束。建立的箱體有限元模型如圖4所示，共包含706913個節點，3057036個四節點四面體單元，20個用于模擬螺栓的空間梁單元，以及54個RBE2單元。

為了驗證箱體有限元模型的準確性，進行了自由振動模態試驗，如圖5所示。

表4為有限元計算與試驗結果對比，可知箱體的有限元模型準確。

表4　箱體的固有振動特性

3系統動力學建模

在建立齒輪傳動系和箱體有限元模型后，需要將兩部分進行連接，建立完整系統的有限元模型。箱體有限元模型包含大量節點自由度，無法直接與傳動系模型連接，需要進行縮維處理，采用Craig-Bampton固定界面模態綜合法[12]對箱體的有限元模型進行縮維計算。Craig-Bampton方法將有限元模型中的節點自由度分為邊界自由度o和內部自由度i，計算得到的縮維剛度矩陣為：

(14)

縮維質量矩陣為：

(15)

式中，c為邊界自由度數，n為內部自由度保留的主模態階數。

箱體有限元模型的邊界自由度為軸承座與軸承固定端連接節點的自由度，分別在9個軸承中心位置建立主節點，用RBE2剛性單元與軸承座的相關節點耦合，定義軸承中心節點為邊界節點，每個邊界節點包含6個自由度，因此整個箱體有限元模型包含54個邊界自由度。

采用模態綜合法進行模型縮維計算時保留200階主模態，保證獲得的縮維剛度矩陣和質量矩陣具有足夠的精度，能夠準確體現箱體結構的模態屬性。

將箱體軸承中心的邊界節點與傳動系梁單元對應的軸承安裝節點自由度之間用滾子軸承剛度矩陣Kb耦合，即實現箱體有限元模型與傳動系有限元模型的組裝，獲得完整的系統動力學模型。系統的動力學方程為：

(16)

式中,δ為節點自由度時域位移向量；f為動態載荷向量；M為系統質量矩陣，由梁單元質量矩陣Ms、軸承質量矩陣Mb和箱體縮維質量矩陣Mh組集而成；C為系統阻尼矩陣；K為系統剛度矩陣，由梁單元剛度矩陣Ks、軸承剛度矩陣Kb、齒輪剛度矩陣Kg、齒輪嚙合剛度矩陣Km和箱體縮維剛度矩陣Kh和連接部件剛度矩陣Kc組集而成。

注意，由于滾子軸承的剛度矩陣為非線性，在動力學分析之前需要根據系統所受外載荷計算得到靜平衡狀態下的軸承剛度矩陣，采用Newton-Raphson方法[13]對系統靜力學方程進行非線性迭代求解：

Kδ=f0

(17)

計算收斂得到軸承的剛度矩陣Kb。軸承剛度主要受系統傳遞的載荷影響，可以認為系統振動時軸承剛度基本不變，以靜力平衡時的軸承剛度矩陣作為線性剛度，進行系統動力學分析。因此，在動力學分析過程中，整個系統考慮為線性系統。

最終建立的包含完整箱體的驅動橋準雙曲面齒輪傳動系統動力學模型有209個節點和200階箱體主模態自由度，共1454個自由度。

4系統振動模態分析

系統無阻尼自由振動方程如式(18)所示，系統模態分析實際上是求解其特征方程的特征根ω和特征向量φ[13]。

(18)

對驅動橋系統動力學模型進行自由振動模態分析，通常關心的齒輪激振頻率范圍[1]為0～2000 Hz，對比2000 Hz以內的系統固有振動頻率如圖6所示。可知不考慮箱體時，軸承固定端接地，導致系統邊界剛化，從而丟失箱體模態數據。

圖6　驅動橋系統固有振動頻率對比 Fig.6 Comparison of system natural frequency

5傳動誤差激勵下的系統動力學分析

準雙曲面齒輪單位諧波傳動誤差為E=Aejωt，振幅A=1μm，則激振力為

fg=kmE

(19)

引起的動態嚙合力：

Fmesh=Dmeshδmesh

(20)

式中δmesh為在激振力激勵下小輪和大輪嚙合點沿齒輪嚙合力作用線方向上的相對位移響應，Dmesh為齒輪沿嚙合力作用線方向上的動態剛度，由小輪和大輪的動態柔度決定：

Dmesh=[Cp+Cg]-1

(21)

齒輪動態柔度即單位諧波力激勵下齒輪嚙合點在嚙合力作用線方向上的位移響應幅值[14]，Cp和Cg分別為小輪和大輪的動態柔度。求解小輪和大輪的動態柔度時，需要將齒輪嚙合關系解耦，即齒輪的等效嚙合剛度系數km=0，分別在小輪和大輪嚙合節點上施加沿嚙合力作用線方向的單位諧波力eiωt，則在齒輪嚙合節點對應的自由度上，受到的力為：

Fg(t)=[n,-n]ejωt

(22)

由于系統動力學模型為線性模型，由模態疊加法可知，正則振型下的動力學響應：

(23)

圖7　準雙曲面齒輪柔度頻響特性 Fig.7 Hypoid gear compliance frequency response

將齒輪單位諧波傳動誤差引起的激振力施加在齒輪耦合傳動系統中，分別作用在小輪和大輪的嚙合點上：

fg(t)=kmE[n,-n]ejωt

(24)

同樣采用振型疊加法計算獲得系統的響應：

(25)

由δ可進一步計算小輪和大輪嚙合點沿齒輪嚙合力作用線方向上的合位移響應δmesh，則計算得到單位諧波傳動誤差引起的齒輪動態嚙合力Fmesh的頻響特性曲線如圖8所示。

圖8　準雙曲面齒輪動態嚙合力頻響特性 Fig.8 Hypoid gear dynamic mesh force frequency response

圖8虛線表示不考慮驅動橋箱體時的準雙曲面齒輪動態嚙合力頻響特性曲線，對應模型的軸承固定端節點接地，表5列出了0～2000 Hz范圍內的峰值模態信息。當激振頻率與系統對應的固有振動頻率接近時，齒輪會產生較大的動態嚙合力響應。

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表5　不考慮箱體模型的動態嚙合力對應的峰值模態

圖8實線表示考慮驅動橋箱體時的準雙曲面齒輪動態嚙合力頻響特性曲線，對應模型的軸承固定端節點自由度與驅動橋箱體縮維有限元模型的邊界節點自由度耦合，表6列出了0～2000 Hz范圍內的峰值模態信息。當激振頻率與系統對應的固有振動頻率接近時，齒輪會產生較大的動態嚙合力響應。

對比可知如果不考慮驅動橋箱體的影響，上述系統振動模態分析會丟失大量的動態特性信息，分析得到的動力學特性與考慮箱體時的偏差很大，峰值頻率和峰值力均不準確。

表6　考慮箱體模型的動態嚙合力對應的峰值模態

通過分析得到動態嚙合力的峰值頻率，可以進一步計算得到系統的危險頻率和對應的危險轉速工況，從而在設計和使用時對準雙曲面齒輪的嘯叫及系統振動噪聲問題予以避免。設小輪的輸入轉速為n1(r/min)，小輪的齒數為z1，可知齒輪傳動誤差的激振頻率基頻：

(26)

以某型重卡為例，車輪滾動半徑為0.526m，常用車速為50km/h，對應的準雙曲面齒輪基頻為155.49 Hz，由表6可知系統第14階模態對應的振動頻率與該車速下的齒輪基頻非常接近，該階模態對應的振型為準雙曲面齒輪的嚙合振動，因此容易產生振動噪聲問題，因此在實際使用時應盡量避免50km/h車速，或對系統結構進行改進以調整系統固有振動模態特性。

6結論

本文通過對考慮箱體的驅動橋齒輪傳動系統動力學特性的理論研究，獲得如下結論：

(1)提出了包含主減速器總成、差速器總成和輪轂總成和橋殼等部件的完整驅動橋系統動力學建模和分析方法，能準確高效地體現整個傳動系統的動力學特性，采用matlab編程計算，采用雙核4G內存的計算機在幾分鐘內即可完成計算，避免了未考慮箱體的集中參數模型無法真實反映系統的動力學特性的缺點和建立整個系統的實體單元有限元模型進行接觸分析時計算量過大，效率低的問題。

(2)對比了模型中是否考慮箱體時系統動力學分析結果，可知在對驅動橋齒輪傳動系統進行動力學建模和分析時，箱體的影響不可忽略。對系統進行振動模態分析，并計算了傳動誤差激勵下系統的動力學特性，求得的齒輪動態嚙合力頻響特性曲線能夠有效的指導驅動橋的減振降噪設計，為解決準雙曲面齒輪嘯叫等問題提供有效的分析手段，求得的箱體邊界節點響應可進一步用于箱體結構的動力學分析，為箱體的動力學優化提供依據。

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