基于奇異值能量譜的 Morlet 小波尺度優化

基于奇異值能量譜的Morlet小波尺度優化

耿宇斌 ，趙學智

(華南理工大學機械與汽車工程學院 ,廣州510640)

摘要：針對尺度對Morlet小波變換結果具有決定性影響的問題，提出一種奇異值能量譜方法，實現Morlet小波尺度的優化并提取故障特征。首先采用Shannon熵的方法優化Morlet小波中心頻率與帶寬參數，針對Shannon熵計算結果中無明確極小值點的情況，通過比較不同參數下的小波變換結果，得到了最優小波參數。然后，根據實際頻率與尺度的對應關系，選擇有效尺度范圍進行連續Morlet小波變換。最后，將每一尺度下的小波系數進行奇異值分解并計算奇異值能量譜，通過選擇能量譜峰值來確定最優尺度參數，實現對故障特征的提取。對仿真信號和實際軸承信號的分析表明，此方法克服了以往方法的缺點，在低信噪比時具有良好的故障特征提取效果。

關鍵詞：Morlet小波；Shannon熵；奇異值能量譜；特征提取

中圖分類號:TH911;TH165文獻標志碼：A

Optimization of Morlet wavelet scale based on energy spectrum of singular values

GENGYu-bin,ZHAOXue-zhi(School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

Abstract:Aiming at the fact that the scale has a tremendous impact on results of Morlet wavelet transformation, a method based on energy spectrum of singular values was proposed to optimize Morlet wavelet scale and extract fault features. Firstly, Shannon entropy was used to optimize the central frequency and bandwidth parameter of Morlet wavelet. Aiming at the situation that there was no minimum value in calculation results of Shannon entropy, Morlet wavelet decomposition results with different parameters were compared to obtain the optimal wavelet parameters. Then, the effective scale ranges were chosen to do Morlet wavelet transformation according to the relationship between practical frequencies and wavelet scale parameters. Finally, the wavelet coefficients under each scale were decomposed into singular values and the energy spectrum of singular values was calculated. The optimal scale was obtained by choosing the peak values in energy spectrum, and then the faults feature were extracted. The experimental results and simulation ones of rolling bearing signals showed that the proposed method overcomes disadvantages of previous methods and has a good effect on fault feature extraction when the signal-to-noise ratio(SNR) is low.

Key words:Morlet wavelet; Shannon entropy; energy spectrum of singular value; feature extraction

根據小波變換的原理可知，小波變換系數反映了原始信號與小波基的相似程度，變換后的小波系數越大，其相似程度越高。Morlet小波是實部和虛部的幅值都按指數衰減的簡諧振動信號[5]，能夠與軸承故障信號的沖擊特征實現較好的匹配；同時，Morlet小波作為非正交小波，由于其尺度連續變化，能夠實現較高的時、頻域分辨率[6-7]，因此在以上小波-SVD的兩種結合方法中一般都是采用Morlet小波作為小波基。

本文在第二種方法的基礎上，通過選用Morlet小波作為母小波，提出一種奇異值能量譜方法，用以提取淹沒在噪聲中的故障特征，克服了以往方法適應性不強和效果不佳的缺點[8]。

1Morlet小波變換原理

設x(t)為能量有限信號,其Morlet連續小波變換的表達式為：

x(t),ψa,b(t)

(1)

式中：W(a,b)為小波變換系數，a為尺度因子，a≠0；b為位移因子；“*”表示共軛；ψa,b(t)為基小波ψ(t)經過伸縮和平移形成的小波基函數。

Morlet小波的數學表達式如下：

(2)

這是一個復函數，工程應用是一般采用此小波的實部作為母小波，如下：

(3)

式中：fc為中心頻率，fb為帶寬參數，中心頻率fc決定小波波形的振蕩頻率，帶寬參數fb決定了波形振蕩衰減的快慢程度。通過選取合適的fc與fb即可得到與故障信號相匹配的母小波。然后對信號進行連續小波變換，可得到一系列不同尺度下的Morlet變換結果W(a,b) ，組成系數矩陣W。本文的目標是優化尺度參數a，然后對得到的最優尺度下的小波系數進行重構，由此實現對故障特征的提取。

2基于Shannon熵的Morlet小波參數優化

2.1Shannon熵理論

Shannon熵[9-10]作為信息熵的一種，近幾年廣泛地應用于Morlet小波的參數優化中。Shannon熵的大小能夠作為信息源隨機性的評判標準，隨機性越大，熵值越大。將連續小波變換后的系數矩陣作為信息源計算Shannon熵，其結果反映了小波系數矩陣的隨機性程度[11-12]。Shannon熵的定義為：

(4)

式中：pi為一不確定的概率分布，由小波系數處理而成，可由下式得到：

(5)

式中：W(ai,b)為某一尺度下的小波變換系數。

2.2參數優化方法分析

文獻[11]中用Shannon熵對帶寬參數fb進行優化，在確定的fc下取一系列fb并計算對應熵值，取最小熵值對應的fb為優化結果。文獻[12]對fc和fb同時進行優化，提出兩個參數同時變化并使Shannon熵值最小，即可得到最優的小波參數。但我們發現，當對純凈的沖擊信號應用最小Shannon熵理論時，能得到較好的效果；但當信號包含噪聲時，由于受噪聲的影響，Shannon熵變化曲線中可能不存在明確的極小值點，這時根據最小Shannon熵理論可能得不到最優小波參數。

下面以一模擬的沖擊信號為例來說明這種情況，該模擬信號的數學表達式如下：

(6)

式中：阻尼系數g=0.1,固有頻率f=1 000 Hz;在0～1 024點數據長度內均勻地產生6個這樣的沖擊，結果如圖1所示。

圖1　沖擊信號波形 Fig.1 Time domain waveform of impact signal

對此信號進行基于Shannon熵的參數優化，取fb∈[0,100]，變化步長為1，取fc∈[0.1,1]，變化步長為0.05。計算結果如圖2所示，Shannon熵最小值點對應的fc=0.6,fb=10，此時的小波變換結果具有非常好的時頻聚集性，如圖3所示。

圖2　Shannon熵計算結果 Fig.2 Calculation result of Shannon entropy

圖3　沖擊信號的小波變換結果 Fig.3 Result of wavelet transform of impact signal

圖4　含噪信號的時域波形 Fig.4 Time domain waveform of noisy signal

圖5　含噪信號Shannon熵計算結果 Fig.5 Calculation result of Shannon entropy of noisy signal

接下來，對圖1中所示的信號，加入正態分布的噪聲，信噪比為-22.0 db，得到的信號如圖4所示。對圖4所示的含噪信號進行基于Shannon熵的Morlet小波參數優化，將Shannon熵的值與fc和fb的關系繪制于

圖5中。可以發現，由于噪聲的干擾，除起始點fc=0.1，fb=1外，在整個fc與fb變化范圍中，沒有明確的極小值點，且當fc≥0.6，fb≥30時，Shannon熵曲線的變化已趨于平穩。

根據文獻[12]的方法，此時fc=0.1，fb=1應為最優小波參數，在該參數下進行連續Morlet小波變換，所得的小波系數如圖6(a)所示。從圖中可以看出，高幅能量塊集中于沖擊成分所處位置，但是高頻和低頻部分也出現了部分能量集中。同時取圖5中Shannon熵最大時對應參數fc=0.3,fb=10以及過渡區間對應參數fc=0.6，fb=30進行連續小波變換，繪制變換結果于圖6(b)、(c)中。三組不同系數下的小波變換結果對比可見，圖6(a)中的系數有最好的時頻聚集性,與最小Shannon熵理論一致，但也導致了部分噪聲成分所處位置的能量聚集；圖6(b)中雖然噪聲被發散到整個相平面中，但沖擊特征也受到了一定程度的發散；相對而言，圖6(c)中所得的結果最為理想。因此本文在選取最優參數時，分別取Shannon熵處在最大、最小值以及過渡區間時的參數，并對連續Morlet小波變換的結果進行對比，得出最優小波參數。例如對于圖4中的含噪信號，過渡區間對應的參數fc=0.6，fb=30 Hz為最優中心頻率與帶寬參數。

圖6　不同參數下的小波變換結果 Fig.6 Morlet wavelet decomposition results with different parameters

3尺度參數優化

3.1尺度范圍選取

當中心頻率fc確定時，尺度參數a的范圍就已經能夠確定，因為由于fc與a有對應關系：

fi/fs=fc/a

(7)

式中，fi為信號實際頻率，fs為采樣率；根據采樣定理，采樣率要大于信號最大實際頻率的2倍，當fc與a滿足fc/a[0,0.5]，即a∈[2fc,+∞]時連續小波變換即可覆蓋整個頻率范圍。

以往研究中通常選取尺度參數為一等差數列，這樣只能得到正確的尺度-時間小波系數圖，但是因為這時的頻率間隔不為常數，無法將其轉換為頻率-時間小波系數圖。但在實際信號處理過程中，頻率-時間小波系數圖能更好得與旋轉機械狀態聯系在一起，直觀的得出故障所處頻段。因此為了使實際頻率成等差數列，并正好覆蓋整個有效頻率范圍，本文中令fc/a的取值范圍為[0.005,0.5]、而步長為0.005的一系列數值，這樣可以得到正確的頻率-時間小波系數圖。對于圖4中的含噪信號采樣率fs=1000，第二節中得出的最優中心頻率fc=0.6，代入式(7)得到實際頻率fi∈[5,500]，步長為5，對應的尺度范圍a∈[1.2,120]。

3.2基于奇異值能量譜的尺度優化

奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是指對于一個實矩陣A∈Rm×n,必定存在正交矩陣U=[u1,u2,…,um]∈Rm×m和正交矩陣V=[v1,v2,…,vn]∈Rn×n,使得：

A=USVT

(8)

成立，其中S=[diag(σ1,σ2,…,σq),O]或者其轉置，這取決于mn,O代表零矩陣，q=min(m,n),且有：σ1≥σ2，...，≥σq>O，它們稱為矩陣A的奇異值[13]。

(9)

式中，1

(10)

計算得到奇異值能量值；④繪制奇異值能量譜，因為尺度步長不為定值，這里選取實際頻率為橫坐標，通過選擇峰值所在位置得到故障特征所在頻率，代入式(7)得到最優尺度參數。

對于圖4中的含噪信號，上一節已優化得到最優中心頻率和最優帶寬參數，連續小波變換后的結果如圖6(c)所示。對于圖6(c)中的系數矩陣，按以上步驟得到奇異值能量譜，結果如圖7所示。

圖7　奇異值能量譜 Fig.7 Energy spectrum of singular value

從譜圖上的極大值點可以判定故障特征可能存在的頻率為15 Hz、45 Hz和150 Hz，對應的尺度參數分別為40、13和4，依次在這三個尺度下進行Morlet小波變換，將結果繪制于圖8(a)、(b)、(c)中。對比圖1、圖4發現，圖8(c)中的結果有效地提取出了淹沒在噪聲中的沖擊性成分，重構波形十分清晰，因此確定最優小波尺度為4。

圖8　沖擊特征提取結果 Fig.8 Extraction result of impact feature

根據以上的分析，將文中的算法流程進行總結，如圖9。

圖9　文中算法流程圖 Fig.9 Flowchart of the proposed algorithm

4軸承故障診斷實例

在BTV-1型軸承振動測量儀上對一個型號見6209的軸承進行振動測量，測量時外圈不動，徑向加載40 N，內圈旋轉速度為3 600 r/min,(即旋轉頻率為60 Hz)，采樣頻率為6 000 Hz，采樣長度為1 024點，得到的振動信號如圖10所示。

圖10　軸承故障原始信號 Fig.10 The original signal of bearing fault

首先針對采集到的信號進行Morlet小波參數優化，取fb∈[0,100]，變化步長為1，取fc∈[0.1,1]，變化步長為0.05，計算得到Shannon熵與fc和fb的關系，結果如圖11所示。從圖11中可以看出Shannon熵計算結果中無明確的極小值，當fc大于0.8,fb大于30時便已趨于平穩。因此選取具有代表性的最大值，最小值及過渡區間值并對連續小波變換結果進行對比，發現fc=0.8,fb=30為最優中心頻率與最優帶寬參數。將此時的中心頻率及采樣率代入式(7)中得到尺度的取值范圍為[1.6,160],并對原始信號進行連續小波變換，結果如圖12所示。

圖11　Shannon熵計算結果 Fig.11Calculation result of Shannon entropy

圖12　連續小波變換結果 Fig.12 Result of continuous wavelet transform

圖13　奇異值能量譜與奇異值比譜 Fig.13 Energy spectrum of singular value and periodicity of singular value

對已經得到的系數矩陣進行奇異值分解，并將得到的奇異值代入式(10)中進行計算，圖13(a)為計算得到的奇異值能量譜；同時，采用文獻[11]中的方法繪制奇異值比譜(SVR)，如圖13(b)。

從圖13(a)中可以發現兩個峰值，分別位于60 Hz與1 530 Hz處，進一步對比可知60 Hz處為周期性成分所處位置，與通過轉速計算得到的旋轉頻率相一致。沖擊成分位于1 530 Hz處，將其代入式(7)中得到最優變換尺度a=3.14。對于圖13(b)中的計算結果，可見此時奇異值比譜中存在較多峰值，其中最大峰值位于2 070Hz處，對應尺度為2.32。

利用本文方法得到的最優小波參數進行Morlet小波變換，有效地提取出了圖12中的11個沖擊，其結果如圖14(a)所示。圖14(b)為用文獻[11]中奇異值比譜的方法所提取的故障特征，所提取的沖擊特征并不明顯。圖14(c)為應用文獻[12]中所提出的基于自適應Morlet小波與SVD的方法所得到的提取結果，對應尺度參數為a=3.97，相對于本文方法損失了部分的沖擊分量。對比不同方法的濾波結果可以發現，本文方法的特征提取效果更好，得到的故障特征最為明顯，更適用于沖擊較弱時的故障特征提取。

根據軸承振動理論可知，當軸承內圈存在損傷時，沖擊特征頻率由式(11)計算：

(11)

式中，z為滾動體個數，d是滾動體直徑，Db是軸承節徑，α是接觸角，fr為軸承轉頻。而軸承外圈存在損傷時，沖擊特征頻率由式(12)計算：

(12)

滾動體損傷時，沖擊特征頻率計算如下：

(13)

對于6209軸承，其參數z=10個，d=12 mm，D=65 mm,α=25°，根據這些數據，可以計算得到當軸承內圈存在損傷時，特征頻率為fi=95.8 Hz；當軸承外圈存在損傷時，特征頻率fo=68.3 Hz；當滾動體存在損傷時，特征頻率fb=86.4 Hz。

圖14　不同方法的故障特征提取結果 Fig.14 Fault feature extraction resluts based on different methods

針對本文所提取的沖擊特征，即圖14(a)，利用Hilbert變換對其該特征進行解調并計算其幅值譜，結果如圖15所示，可見在67.1 Hz處存在一個幅值較大的頻率成分，這與外圈損傷的特征頻率68.3 Hz非常接近，因此可以認為67.1 Hz這一頻率就是外圈損傷引起的。

圖15　沖擊特征的解調譜 Fig.15 Demodulation spectrum of Impact characteristics

5結論

(1)利用Shannon熵同時對Morlet小波中心頻率與帶寬參數進行優化，針對優化結果中無明確極小值點的情況，在最小Shannon熵理論的基礎上，同時選擇具有代表性的Shannon熵最大值及過渡值點，對比Morlet小波變換結果，選取系數矩陣中故障特征時頻聚集性最好同時噪聲能量發散時的小波參數為最優小波參數。

(2)分析了小波變換中實際頻率與尺度參數的對應關系，得到有效的頻率-時間小波系數圖，根據實際頻率的取值選擇有效的尺度變化范圍。

(3)提出一種奇異值能量譜算法，對Morlet小波變換結果中每一尺度下的系數構造Hankel矩陣并計算奇異值能量譜，通過選擇峰值求取最優尺度。將信號在該尺度下進行Morlet小波變換，可提取到有效的故障特征。

(4)信號仿真與實際信號處理表明了本文方法的有效性與可行性。不同方法的對比結果表明，本文方法對弱故障特征具有更好的提取效果。最后通過Hilbert變換與軸承振動理論計算對比，確定了故障來源。

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