重物－橋吊耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析

重物-橋吊耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析

謝偉平，黃金，周家玲，何衛(wèi)

(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，武漢430070)

摘要：考慮吊重的擺動(dòng)，將重物-橋吊耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化為移動(dòng)質(zhì)量+吊重在簡(jiǎn)支梁上運(yùn)動(dòng)模型，基于Lagrange方程，推導(dǎo)了移動(dòng)質(zhì)量+吊重-簡(jiǎn)支梁耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。采用Runge-Kutta積分法對(duì)微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解，分析了移動(dòng)質(zhì)量加速度、吊重質(zhì)量所占比重、吊繩長(zhǎng)度等因素對(duì)梁體振動(dòng)響應(yīng)的影響。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：對(duì)于重物-橋吊耦合系統(tǒng)，若不考慮吊重?cái)[動(dòng)，采用移動(dòng)質(zhì)量過(guò)橋模型將會(huì)低估梁體振動(dòng)響應(yīng)，并且在移動(dòng)質(zhì)量與吊重質(zhì)量之和一定的情況下，吊重質(zhì)量所占比重越大，梁體的振動(dòng)響應(yīng)越大；移動(dòng)質(zhì)量加速度對(duì)梁體的振動(dòng)影響不能忽略，尤其是對(duì)梁體的加速度響應(yīng)影響很大。

關(guān)鍵詞：重物-橋吊耦合系統(tǒng)；移動(dòng)質(zhì)量；吊重；Lagrange方程

中圖分類號(hào):TU311.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51375178);廣東省自然科學(xué)基金(S2012010008789)資助項(xiàng)目

收稿日期：2014-05-07修改稿收到日期：2014-07-23

Vibration ananlysis of a suspension weight-bridge crane coupled system

XIEWei-ping,HUANGJin,ZHOUJia-ling,HEWei(College of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

Abstract:Considering the swing of a suspension weight, a suspension weight-bridge crane coupled system was simplified to a model of a mass with a suspension weight both moving on a simply supported beam, and its differential equation of motion was derived based on Lagrange equation. Runge-Kutta numerical integration method was used for numerically solving. Some influence factors on the system vibration response were analyzed, they were acceleration of moving mass, length of wire and ratio of mass of suspension weight to the total mass of the system. The results showed that without considering the swing of the suspension weight, the vibration response of the beam may be underestimated by using the model of the beam subjected to moving masses; when the mass sum of the moving mass and the suspension weight is fixed, the greater the mass of the suspension weight, the larger the vibration response of the beam; the acceleration of the moving mass has a great influence on the beam vibration.

Key words:suspension weight-bridge crane coupled system; moving mass; suspension weight; Lagrange equation

橋式起重機(jī)械的載重運(yùn)行是一類重物-橋吊耦合系統(tǒng)，該系統(tǒng)往往可簡(jiǎn)化為移動(dòng)荷載-梁耦合系統(tǒng)。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)移動(dòng)荷載-梁耦合系統(tǒng)做了大量的研究[1-9]。Fryba[1]對(duì)移動(dòng)荷載-梁耦合系統(tǒng)列出了許多建模和分析方法，并研究了梁體動(dòng)撓度的主要影響因素；彭獻(xiàn)[3]對(duì)移動(dòng)質(zhì)量模型通過(guò)簡(jiǎn)支梁時(shí), 移動(dòng)質(zhì)量加減速對(duì)橋梁跨中撓度的影響進(jìn)行了研究；夏禾[4]采用移動(dòng)簧上質(zhì)量模型, 分析了簧上質(zhì)量加減速對(duì)橋梁跨中動(dòng)撓度的影響并進(jìn)行了共振研究；楊國(guó)來(lái)[5]采用有限元法和振型疊加法相結(jié)合的方法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行建模，分析了具有大質(zhì)量、高速度移動(dòng)載荷下梁體響應(yīng)問(wèn)題。

上述分析模型多針對(duì)車-橋耦合系統(tǒng)或者彈-炮耦合系統(tǒng)等，對(duì)于重物-橋吊耦合系統(tǒng)，重物在起吊運(yùn)行過(guò)程中往往會(huì)發(fā)生擺動(dòng)，此時(shí)上述分析模型不再適用。關(guān)于重物-橋吊耦合系統(tǒng)的振動(dòng)分析，國(guó)內(nèi)外鮮有文獻(xiàn)報(bào)道。本文考慮吊重的擺動(dòng)，將重物-橋吊耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化為移動(dòng)質(zhì)量+吊重在簡(jiǎn)支梁上運(yùn)動(dòng)模型，基于Lagrange方程，推導(dǎo)了移動(dòng)質(zhì)量+吊重-簡(jiǎn)支梁耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。采用Runge-Kutta積分法對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程組進(jìn)行了數(shù)值求解，分析了移動(dòng)質(zhì)量加速度、吊重質(zhì)量所占比重、吊繩長(zhǎng)度等因素對(duì)梁體振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

移動(dòng)質(zhì)量+吊重-簡(jiǎn)支梁耦合系統(tǒng)如圖1所示。

圖1　移動(dòng)質(zhì)量+吊重-簡(jiǎn)支梁耦合系統(tǒng)模型 Fig.1 The model of the moving mass andthe suspension weigh moving on the simply supported beam

假設(shè)簡(jiǎn)支梁為Euler-Bernoulli梁，梁體阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響很小[2]，不考慮梁體阻尼；為了簡(jiǎn)化分析，根據(jù)橋式起重機(jī)械載重運(yùn)行的實(shí)際工作情況，吊繩假設(shè)為無(wú)質(zhì)量剛性吊繩[10]；吊重簡(jiǎn)化為一個(gè)擺動(dòng)的集中質(zhì)量，通過(guò)無(wú)質(zhì)量的剛性吊繩懸掛在質(zhì)量塊上，隨著質(zhì)量塊一起運(yùn)動(dòng)并且在平面內(nèi)擺動(dòng)。

梁?jiǎn)卧鴺?biāo)可用式(1)表示

xb=x

(1)

小車坐標(biāo)可用式(2)表示

xc=xc(t)

(2)

吊重坐標(biāo)可用式(3)表示

xl=xc+lsinθ

(3)

系統(tǒng)的總動(dòng)能可用式(4)表示

(4)

系統(tǒng)的總勢(shì)能可用式(5)表示

(5)

(1)對(duì)廣義坐標(biāo)qj應(yīng)用Lagrange方程得式(6)

(6)

(2)對(duì)廣義坐標(biāo)θ應(yīng)用Lagrange方程得式(7)

(7)

式(6)、(7)聯(lián)立，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組如式(8)所示。

(8)

2耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的求解

由式(8)可知，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程是(N+1)元二階非線性時(shí)變微分方程組，該微分方程組的非線性和時(shí)變特性給求解帶來(lái)了一定的難度。本文采用Runge-Kutta積分法自主編程求解，在程序編制過(guò)程中為了方便程序編制，將時(shí)變量xc作為一個(gè)已知響應(yīng)的自由度，本文稱為“定位自由度”。“定位自由度”與其它自由度之間是非線性耦合的，這時(shí)方程組多了一個(gè)自由度，如式(9)所示，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為(N+2)元二階非線性微分方程組。

(9)

2.1計(jì)算模型的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文計(jì)算模型的正確性，選取文獻(xiàn)[3]中的計(jì)算實(shí)例進(jìn)行求解。取N=8；吊重質(zhì)量ml為0，此時(shí)本文模型退化為文獻(xiàn)[3]中移動(dòng)質(zhì)量塊過(guò)橋模型。相關(guān)計(jì)算參數(shù)如表1所示，計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖2所示。通過(guò)對(duì)比可知本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[3]采用New-mark方法計(jì)算的結(jié)果非常吻合，從而驗(yàn)證了本文計(jì)算模型的正確性。

表1　計(jì)算參數(shù)

圖2　本文與文獻(xiàn)[3]計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖 Fig.2 Comparison of literature [3] and this paper

2.2耦合系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)求解分析

為了與移動(dòng)質(zhì)量過(guò)橋模型進(jìn)行比較，假定移動(dòng)質(zhì)量與吊重質(zhì)量之和一定，定義吊重質(zhì)量所占比重r為吊重質(zhì)量與移動(dòng)質(zhì)量之比，即r=ml/mc；吊繩長(zhǎng)度l與梁跨度lb之比為n，即l/lb=n。相關(guān)計(jì)算參數(shù)如表1所示。

移動(dòng)質(zhì)量加速度對(duì)梁跨中位移的影響如圖3所示。雖然本文與文獻(xiàn)[3]的分析模型不同，但由圖3可得到與文獻(xiàn)[3]相一致的結(jié)論，即在同一初速度情況下，移動(dòng)質(zhì)量的加速度越大，梁跨中的撓度越大。其力學(xué)解釋文獻(xiàn)[3]已給出，本文不再贅述。

移動(dòng)質(zhì)量加速度對(duì)梁跨中加速度影響如圖4所示。由圖可知，移動(dòng)質(zhì)量的加速度越大，梁跨中的加速度越大，這種影響在移動(dòng)質(zhì)量初速度較低的情況下表現(xiàn)得尤為明顯。

圖3　移動(dòng)質(zhì)量加速度對(duì)梁跨 中位移的影響(r=1;n=0.05) Fig.3 Effect of acceleration of moving mass on the mid-span deflection (r=1;n=0.05)

在移動(dòng)質(zhì)量與吊重質(zhì)量之和一定時(shí)，梁跨中位移最大值和加速度最大值隨吊重質(zhì)量所占比重r變化規(guī)律如圖5所示。由圖可知，①當(dāng)r=0時(shí)，模型退化為移動(dòng)質(zhì)量過(guò)橋模型，而在區(qū)段r∈[0,5]時(shí)，梁跨中位移最大值和加速度最大值都隨r增大而顯著增大。這說(shuō)明吊重?cái)[動(dòng)荷載的存在會(huì)增大梁體的振動(dòng)響應(yīng)，而單純的移動(dòng)質(zhì)量過(guò)橋模型會(huì)低估吊重?cái)[動(dòng)荷載對(duì)梁體振動(dòng)響應(yīng)的影響；②梁跨中位移最大值和加速度最大值都隨r增大而增大。這說(shuō)明移動(dòng)質(zhì)量與吊重質(zhì)量之和一定，吊重質(zhì)量所占比重越大，梁體的振動(dòng)響應(yīng)越大；③移動(dòng)質(zhì)量的加速度越大，其變化趨勢(shì)越明顯。這說(shuō)明移動(dòng)質(zhì)量加速度越大，吊重?cái)[動(dòng)荷載對(duì)梁體振動(dòng)響應(yīng)的貢獻(xiàn)越大。

圖4　移動(dòng)質(zhì)量加速度對(duì)梁跨中 加速度的影響(r=1;n=0.05) Fig.4 Effect of acceleration of moving mass on the mid-span acceleration (r=1;n=0.05)

圖5　梁跨中位移最大值和加速度最大值 隨r變化規(guī)律(n=0.05) Fig.5 The variation of the maximal value of mid-span deflection and acceleration with the mass ratio of the suspension weigh (n=0.05)

圖6　梁跨中位移最大值和加速度最大值隨 n和r變化規(guī)律(v 0=10 m/s;a=1 m/s 2) Fig.6 The variation of the maximal value of mid-span deflection and acceleration with the length of the wire and the mass ratio of the suspension weigh(v 0=10 m/s;a=1 m/s 2)

梁跨中位移最大值和加速度最大值隨吊繩長(zhǎng)度與梁跨度之比n的變化規(guī)律如圖6(a)、6(c)所示。由圖可知，梁跨中位移最大值和加速度最大值隨n增大而增大，當(dāng)n達(dá)到某一值G時(shí)，梁跨中位移最大值和加速度最大值隨n增大而減小，最后慢慢趨于穩(wěn)定，說(shuō)明梁跨中位移最大值和加速度最大值在n=G處存在極大值點(diǎn)。

在移動(dòng)質(zhì)量與吊重質(zhì)量之和一定，吊重質(zhì)量所占比重r不同時(shí)，梁跨中位移最大值和加速度最大值隨n變化規(guī)律如圖6(a)、6(c)所示。由圖可知，r并沒(méi)有改變梁跨中響應(yīng)隨n的變化趨勢(shì)，只是對(duì)其變化幅度有所影響，r越大變化幅度越顯著，這也進(jìn)一步驗(yàn)證了移動(dòng)質(zhì)量與吊重質(zhì)量之和一定時(shí)，吊重質(zhì)量所占比重越大，梁體的振動(dòng)響應(yīng)越大這一結(jié)論。G值隨r的變化規(guī)律如圖6(b)、6(d)所示。由圖可知，吊重質(zhì)量所占比重r對(duì)跨中位移最大值和加速度最大值所對(duì)應(yīng)的G值都沒(méi)有影響，都為0.036，這也從側(cè)面驗(yàn)證了吊重?cái)[動(dòng)荷載的頻率與吊繩長(zhǎng)度有關(guān)，而與吊重質(zhì)量無(wú)關(guān)。

表2　G值所對(duì)應(yīng)的擺動(dòng)荷載近似頻率與梁體基頻關(guān)系

通過(guò)表2分析可知，G值所對(duì)應(yīng)的吊重?cái)[動(dòng)荷載近似頻率大致是梁體基頻的一半，即當(dāng)?shù)踔財(cái)[動(dòng)荷載的近似頻率在梁體基頻一半附近時(shí)，梁體響應(yīng)最大，所以可以通過(guò)調(diào)節(jié)吊繩長(zhǎng)度，避免其近似頻率在梁體基頻一半附近。

3結(jié)論

本文基于Lagrange方程，推導(dǎo)了移動(dòng)質(zhì)量+吊重-簡(jiǎn)支梁耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。該微分方程組為非線性時(shí)變微分方程組，為便于求解采用將時(shí)變量作為“定位自由度”的方法，增加了一個(gè)已知響應(yīng)的自由度，采用Runge-Kutta積分法對(duì)改變后的運(yùn)動(dòng)微分方程組進(jìn)行了數(shù)值求解。通過(guò)對(duì)不同參數(shù)下梁體的振動(dòng)響應(yīng)求解分析，可得到以下結(jié)論：

(1)對(duì)于重物-橋吊耦合系統(tǒng)，若不考慮吊重?cái)[動(dòng)，采用移動(dòng)質(zhì)量過(guò)橋模型將會(huì)低估梁體振動(dòng)響應(yīng)，并且在移動(dòng)質(zhì)量與吊重質(zhì)量之和一定的情況下，吊重質(zhì)量所占比重越大，梁體振動(dòng)響應(yīng)越大。

(2)在移動(dòng)質(zhì)量+吊重-簡(jiǎn)支梁耦合系統(tǒng)模型中，移動(dòng)質(zhì)量的加速度越大，梁體振動(dòng)響應(yīng)越大且吊重?cái)[動(dòng)荷載對(duì)梁體振動(dòng)響應(yīng)的貢獻(xiàn)越大。

(3)當(dāng)?shù)踔財(cái)[動(dòng)荷載的近似頻率大致是梁體基頻一半時(shí)，梁體響應(yīng)最大，可以通過(guò)調(diào)節(jié)吊繩的長(zhǎng)度來(lái)改變吊重?cái)[動(dòng)荷載的頻率，避免其近似頻率在梁體基頻一半附近。

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第一作者耿宇斌男，碩士，1990年8月生

通信作者趙學(xué)智男，教授，1970年11月生