質量－彈簧－帶摩擦自激振動系統的分岔特性及其控制研究

質量-彈簧-帶摩擦自激振動系統的分岔特性及其控制研究

李小彭，孫德華，岳冰，王丹，聞邦椿

(東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819)

摘要：為了深入研究摩擦自激振動系統的非光滑動力學機理，建立了含有Stribeck摩擦模型的具有代表性的質量-彈簧-帶摩擦自激振動系統非線性動力學模型。利用數值仿真方法分析了自激振動系統在不同參數下的分岔特性，仿真結果表明：進給速度、阻尼系數和動靜摩擦系數比均是影響系統運動狀態的主要因素；進給速度較低時系統進行準周期振動，當進給速度達到0.4944時，系統開始出現超臨界Hopf分岔現象；阻尼系數和動靜摩擦系數比變化時系統有與進給速度變化時類似的特性。針對系統中存在的分岔現象，提出了Washout濾波器方法對其進行分岔控制。對比引入Washout濾波器前后系統的相圖，得到Washout濾波器能使受控系統的自激振動振幅明顯減小，拓撲結構得到明顯改善，這間接的表明了在原系統中加入Washout濾波器設計的非線性控制器對摩擦系統進行分岔控制是一種比較有效的方法。

關鍵詞：自激振動；摩擦模型；Washout濾波器；分岔控制

中圖分類號:TH113.1文獻標志碼：A

收稿日期：2014-10-31修改稿收到日期：2015-12-26

基金項目：國家科技重大專項子課題(2011ZX05056)資助項目

收稿日期：2014-02-26修改稿收到日期：2014-06-19

Bifurcation characteristics and control of a mass-spring-belt friction self-excited vibration system

LIXiao-peng,SUNDe-hua,YUEBing,WANGDan,WENBang-chun(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:In order to deeply study the non-smooth dynamic mechanism of a friction self-excited vibration system, a nonlinear dynamic model for a typical mass-spring-belt friction self-excited vibration system containing a Stribeck friction model was established. Secondly, the bifurcation characteristics of the system under different parameters were analyzed by using the numerical simulation method. The results showed that feed speed, damping coefficient and ratio of dynamic-static friction coefficients are the main factors affecting the system motion state; quasi-period vibration happens when the feed speed is lower and the supercritical Hopf bifurcation appears when the feed speed is 0.4944; the system’s characteristics with variation of damping coefficient and ratio of dynamic-static friction coefficients are similar to those with variation of feed speed. Thirdly, Washout filter method was used to control bifurcation phenomena existing in the system. By comparing the phase diagrams of the system behore and after introducing Washout filter, the results showed that the amplitude of the controlled system is reduced and its topologic structure is improved obviously after introducing Washout filter, so adding Washout filter into the system is a more effective method for bifurcation control of a mass-spring-belt friction self-excited vibration system with nonlinear controllers.

Key words:self-excited vibration; friction model; Washout filter; bifurcation control

摩擦引起的振動問題廣泛存在于工程領域和日常生活中，并且以多種方式影響著機械系統的性能。這些問題通常會引起機械零部件的磨損，從而降低被加工件的精度和質量，還會降低控制系統的精度[1]。為此，越來越多的學者開始摩擦系統的建模和系統動力學方面的研究。在建模方面，人們建立了一系列的摩擦模型，如庫侖摩擦模型[2]、Stribeck摩擦模型[3]、Karnopp摩擦模型[4]、Dahl摩擦模型[5]以及LuGre摩擦模型[6]。在系統動力學方面，Feeny[7]用實驗和仿真相對比的方法研究了含有干摩擦的振子的混沌行為。Gdaniec[8]等通過采用LuGre摩擦模型進行單自由度的摩擦振子的研究，發現對于不同的進給速度和摩擦系數會有產生摩擦誘發振動的分岔和混沌現象，而且大部分的運動都為混沌運動。Madeleine[9]研究了一個兩自由度的質量-阻尼-彈簧系統在受到間歇加載時的摩擦激振現象。

雖然考慮摩擦的機械系統的動力學研究已經有很長的歷史，但是摩擦自激振動等非光滑動力學機理還未被深入研究，關于自激振動的理論研究缺乏系統性，沒有得出一定的具有系統性的規律。而高速列車的減振[10]、飛機機翼的顫振[11]、高速切削的振動問題[12]以及汽輪發電機組的油膜振動[13]都與自激振動有關。自激振動往往帶來危害，人們在其抑制和控制方面也在一直探索[14]。文獻[15]中表明，對非自治自激振動系統，可從約束分岔理論的角度得出其穩態解分岔圖譜，這些結果對此類系統的設計具有指導意義。正因為自激振動在工程中廣泛存在，低能耗、高效的自激振動控制器將有極大的工程應用價值[16]。左曙光[17]研究了輪胎胎面的自激振動現象，得出在一定參數條件下，只有當車速在一定范圍內時，輪胎胎面才能產生自激振動，前束角對自激振動的影響與車速類似，兩者都有一個對應于自激振動的取值范圍。另外自激振動的產生往往與系統中的Hopf分岔有關，因而自激振動控制，還與非線性動力學研究熱點問題之一分岔的控制密切相關。因此，對摩擦自激振動系統進行研究具有重要的理論和實際意義。

本文以典型的機床切削系統和進給系統為研究對象，對機械系統中存在的摩擦引起的自激振動現象的分岔特性進行了深入的研究，并提出了可行的Washout濾波器控制方法，對于促進摩擦動力學的發展、研究和解決由于摩擦而產生的動力學問題具有重要的價值。

1摩擦自激振動系統模型建立

對重要的摩擦現象進行準確的數學建模，一直是慣有的一種研究方法。對于自激振動機理，國內外學者建立了一些典型的模型。但是這些模型所應用的場合各不相同，雖然這些物理模型能夠解釋一些現象，但是它們還存在著缺點：

(1)不易構建數學模型，給爬行的數學分析帶來了困難；

(2)較難進行數值仿真分析，動態仿真較難實現；

(3)以往的研究僅僅集中在實驗方面，對進給速度變化引起的研究比較多，而對其他參數的變化對動力學系統的影響研究較少；

(4)已經完成的研究均假設系統法向載荷是不變的，而實際上摩擦副的表面粗糙度、表面波紋度等因素會導致運動件在垂直方向上下起伏，所以在坐標系中的垂直方向上運動件是存在振動的。

圖1　質量-彈簧-帶自激振動系統模型 Fig.1 Model of the friction self-excited vibration system of mass-spring-belt

因此，需要基于一個模型來深入研究。由于狀態參數的變化與系統的質量、剛度、阻尼、摩擦因素和法向振動有直接的關系，根據機床切削系統和進給系統運行的實際情況，電機經聯軸器、絲杠螺母驅動滑動塊運動，可將聯軸器、絲杠螺母簡化為剛度為k的彈簧和一個阻尼為c的等效阻尼，工作臺與導軌之間的的摩擦力為F。因此建立了如圖1所示的質量-彈簧-帶自激振動系統模型。此模型常用于分析機械進給系統的粘滑運動。質量塊m位于以常速v0運行的傳動帶上，進給系統固定端剛度為k的彈簧和阻尼系數為c的阻尼器連接，質量塊和帶間的摩擦力F為質量塊提供驅動力。

系統的動力學方程為：

(1)

將式(1)無量綱化，得到：

(2)

本文摩擦模型采用Stribeck摩擦模型，這個模型非常經典，可以用來描述一般機械部件運動結合面之間的摩擦行為。該模型的表達式為：

(3)

式中，vm為對應于最小動摩擦的速度，μs，μm分別為靜動摩擦系數，且μs≥μm。

由常微分方程理論可知，正規型高階微分方程可以化為等價的一階微分方程組。在此對微分方程進行等價變換，令

(4)

則方程(3)代入方程(2)后，將所得到方程化為一階微分方程組：

(5)

2不同參數下摩擦自激振動系統的分岔數值仿真

Hopf分岔是指系統參數變化經過臨界點時，平衡點由穩定變為不穩定并從中生長出極限環。它是一種比較重要的動態分岔問題，與工程中自激振動的產生有著密切聯系。

系統參數設定為：μs=0.4，μm=0.25，vm=0.5，分別以進給速度、阻尼系數、傳動剛度和靜動摩擦系數比為分岔參數，得到如圖2～圖5的分岔圖。

(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X圖2 以進給速度為分岔參數的系統分岔圖Fig.2Thesystembifurcationdiagramwithfeedspeedasthebifurcationparameter圖3 以阻尼系數為分岔參數的系統分岔圖Fig.3Thesystembifurcationdiagramwithdampingcoefficientasthebifurcationparameter

(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X(a) 位移最大值Xmax(b) 位移X圖4 以傳動剛度為分岔參數的系統分岔圖Fig.4Thesystembifurcationdiagramwithtransmissionstiffnessasthebifurcationparameter圖5 以靜動摩擦系數比為分岔參數的系統分岔圖Fig.5Thesystembifurcationdiagramwiththeratioofdynamic-staticfrictioncoefficientasthebifurcationparameter

由圖2可以看出，當進給速度達到0.494 4時，系統開始出現超臨界Hopf分岔現象，平衡點由不穩定焦點變成了穩定焦點，極限環消失，系統趨于穩定。分岔圖可以分為準周期運動區、單值曲線區兩部分，準周期運動區在進給速度v0等于0～0.494 4之間，單值曲線區則在v0等于0.494 4～1之間。這表明當v0達到臨界速度vb1時，由初始的自激振動產生的穩定極限環變為穩定狀態；進給速度較低時系統進行準周期振動，當大到一定程度時系統開始趨向于穩定。

同樣地，由圖3可以看出，準周期運動區在β等于0～0.2之間，單值曲線區則在β等于0.2～1之間，說明準周期運動主要發生在小阻尼系數區域，當阻尼系數大到一定程度時不穩定狀態就會消除，系統處于穩定狀態。由圖4得，剛度對系統的動力學影響并不是很大，僅僅會減小粘滯階段的比例，至于會不會消除和抑制自激振動并沒有體現出來。由圖5得，準周期運動區在μm/μs等于0～0.9之間，單值曲線區則在μm/μs等于0.9～1之間，說明當動靜摩擦系數差別較大時，系統會發生自激振動現象，而當差別小到一定程度時，系統處于穩定狀態。

3摩擦自激振動的分岔控制

3.1Washout濾波器設計及穩定性分析

由圖6可以看出，當速度大于等于0.49時，系統極限環的幅值突然減小，系統的平衡點處于不穩定狀態；而小于0.49時，系統極限環幅值相對很大，系統的平衡點處于穩定狀態。因此系統在速度減小的過程中，極限環由穩定變為不穩定狀態，而平衡點則由不穩定變成了穩定狀態。由系統穩定性分析得[18]，速度經過0.49時發生了亞臨界Hopf分岔。因此，要想減小系統極限環的幅值，可在此處引入Washout濾波器進行控制[19]。

圖6　不同進給速度下的相圖 Fig.6 The phase diagram with different feed speed

當摩擦力僅僅采用線性部分時，原摩擦自激振動系統可以寫成如下形式：

(6)

這里只對y實施Washout filter控制，控制系統可以寫為：

(7)

將控制器設計為如下的形式：

u=g(v;K)=k1v+k2v3

(8)

式中，K=(k1,k2)為控制向量，k1為線性增益，k2為非線性增益。線性部分可以控制Hopf分岔的產生，立方項可以控制極限環的幅值，將方程(7)代入方程(6)得到：

系統的線性部分Jacobian矩陣為：

(10)

Jacobian矩陣的特征方程為：

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0

(11)

-3.6×0.49=-1.764<0

(12)

當v0=0.49時，求解如下特征量：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(13)～式(19)得極限環的曲率系數[18]為：

(20)

當k3<0.6時，σ1<0。由σ1<0和α′(0)<0可知，系統會在v=0.49處發生超臨界Hopf分岔，分岔方向為v<0.49的方向。

因此，在0.49處引入Washout濾波器之后，系統在0.49處系統性質發生了變化，由亞臨界Hopf分岔控制為了超臨界Hopf分岔。

3.2分岔控制的數值仿真驗證

引入Washout濾波器前，在失穩臨界速度v0=0.49處，平衡點發生了超臨界Hopf分岔，而由第2節進給速度的分岔圖可以看出，在進給速度減小到大約等于v0=0.49處，質量塊位移幅值發生了顯著的變化，其值突然增大，這時候發生了亞臨界分岔。

而引入Washout濾波器后，在帶速度為0.49處系統的平衡點仍然發生超臨界Hopf分岔，因在速度超過0.49時系統平衡點開始穩定，反之則不穩定；而在v0=0.49時，系統位移幅值減小了，說明此時系統亞臨界分岔現象已得到控制。

取分岔前的帶速度v0=0.4，得到在不同的k1和k2時，引入Washout濾波器后系統的相圖，如圖7所示。

圖7　不同參數下受控系統的相圖 Fig.7 The phase diagram with different parameters

由圖7可以看出，調整控制器的參數，能夠達到改變極限環的幅值的目的，也可以使得系統的極限環消失，并且在原有的Hopf分岔處不再存在Hopf分岔，因此通過調整參數能夠控制這一類的自治系統的Hopf分岔。這也說明了本文在原系統中加入Washout濾波器設計的非線性控制器對摩擦系統進行分岔控制是可行的。

4結論

本文通過對機床切削系統和進給系統等摩擦振動結構的動力學現象進行分析，建立了含有Stribeck摩擦模型的質量-彈簧-帶自激振動系統模型。并且分別以進給速度、阻尼系數、傳動剛度和動靜摩擦系數比為分岔參數，對系統進行了分岔與混沌分析。仿真結果表明，進給速度、阻尼系數和動靜摩擦系數比均是影響系統運動狀態的主要因素；進給速度較低時系統進行準周期振動，當進給速度達到0.494 4時，系統開始出現超臨界Hopf分岔現象；阻尼系數和動靜摩擦系數比變化時系統也有類似的特性。

對比引入Washout濾波器前后系統的相圖，得到Washout濾波器方法使系統的零平衡點由原來的亞臨界Hopf分岔變成了超臨界Hopf分岔，而且自激振動振幅明顯減小，拓撲結構得到了明顯的改善。因此，通過在原系統中加入Washout濾波器設計的非線性控制器對摩擦系統進行分岔控制是一種比較有效的方法，這為實際生產中自激振動的控制提供了參考。

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第一作者夏東超男，碩士生，1990年生

通信作者李萬莉女，博士，教授，博士生導師，1965年生

第一作者朱會杰男，博士生，1987年1月生

通信作者王新晴男，博士，教授，1963年7月生