采用廣義 Pareto 分布進行車輛荷載效應極值估計的研究

采用廣義Pareto分布進行車輛荷載效應極值估計的研究

馮海月1，伊廷華1,2，陳斌3

(1. 大連理工大學土木工程學院，遼寧大連116023；2. 同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海200092；3.浙江工業大學建筑工程學院，杭州310003)

摘要：為了解決車輛荷載效應數據間的相關性問題并能夠充分利用樣本數據，提出了一種改進的獨立風暴法。首先提出了一種三次類閾值法進行數據的初步分析來獲得閾值；然后考慮到簡支梁橋的車輛荷載效應主要受單輛重車影響，提出了改進的獨立風暴法進行獨立同分布樣本數據的提取；最后采用廣義Pareto分布進行車輛荷載效應極值估計；利用該方法，對動態稱重系統記錄的國內某大橋實測數據進行了車輛荷載效應極值估計，并與超越閾值法、獨立風暴法進行了對比分析，結果表明：在較短評估期(T<20年)內，三種方法均可以較好地預測荷載效應極值；而在中長評估期內，改進的獨立風暴法預測值較高，預測結果偏于安全。

關鍵詞：車輛荷載效應；廣義Pareto分布；閾值；獨立風暴法；動態稱重系統

中圖分類號:TU312.1文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金(10632040, 11302058)

收稿日期：2014-06-13修改稿收到日期：2014-07-16

基金項目：汽車仿真與控制國家重點實驗室開放基金(20121117)；中央高校基本科研業務費專項資金(長安大學基礎研究支持計劃專項基金CHD2012JC021)

收稿日期：2014-07-09修改稿收到日期：2014-09-03

Extreme estimation for vehicle load effect based on generalized Pareto distribution

FENGHai-yue1,YITing-hua1,2,CHENBin3(1. School of Civil Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China;2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;3. College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310003, China)

Abstract:In order to solve data correlation problems for vehicle load effect and make full use of data samples, the modified method of independent storms (MMIS) was proposed. Firstly, a triple-class threshold method was proposed to obtain the threshold with the primary data analysis. Then, considering that the vehicle load effect of simply supported beam bridges was mainly affected by a single heavy vehicle, the MMIS was adopted to extract the independent and identically distributed (IID) sample data. Finally, the extreme vehicle load effect was estimated with the generalized Pareto distribution. In the end, the estimation of the extreme vehicle load effect was performed for the measured data of a bridge recorded with the weighinmotion (WIM). The results were compared with those of the peak-over-threshold method and those of the method of independent storms. The results showed that within the shorter estimation period (T<20 years), all the three methods can be used to better predict the extreme load effect; while within the middle or longer estimation period, the estimation of the modified method of independent storms is higher and safer.

Key words:vehicle load effect; generalized Pareto distribution; threshold; method of independent storms; weighinmotion (WIM)

車輛荷載是影響橋梁結構安全性和耐久性的主要因素之一。近年來，隨著我國交通貨運量呈現爆發式的增長，重車和超重車已逐漸成為最重要的運輸工具之一。因此，針對橋梁所處位置的交通狀況，建立精確的車輛荷載效應模型，具有重要的現實意義。車輛荷載效應是一個隨機過程，它受車重、軸重、車間距、軸距、多車同時作用以及車速等多因素耦合作用的影響。精確的車輛荷載效應模型不但能夠對交通車輛的限載提供基礎依據，而且能夠為橋梁安全評估、壽命預測及養護維修提供有力的支持。

動態稱重系統(Weigh In Motion，WIM)是一組安裝的傳感器和含有軟件的電子儀器，用以測量動態輪胎力和車輛通過時間并提供計算輪重、軸重、總重(如車速、軸距等)的數據[1-2]。由于它可以準確獲取實際車流數據，因此通過這些數據可以進行車輛荷載效應的計算，進而利用極值理論來預測未來荷載效應的情況[3]。傳統基于極值的方法均是基于加載事件服從獨立同分布這一基本假設[4]，而實際的車輛荷載效應屬于平穩時間序列，數據之間具有一定的相關性，因此簡單地將荷載效應作為獨立同分布序列并不十分合理。Cook[5]通過分析一段時間內的風暴最大值，提出了獨立風暴理論(Method of Independent Storms，MIS)，并采用Gumbel分布進行擬合，得到了不同評估期的荷載極值。Bhattacharya[6]認為平穩荷載為點過程序列，他通過分析相關獨立性，并結合閾值超過數的分簇研究，提出了極值指標的計算方法，得到了平穩時間序列分布函數。Naess等[7]基于極值理論是漸進分布，在實際應用時無法判斷在多大程度上適用于實際數據的問題，提出了針對Gumbel 分布的最大值分布模型。Mazas等[8]針對超越閾值法(Peak Over Threshold，POT)中閾值的合理選擇問題，提出了一種雙閾值方法，并進行了不同評估期荷載取值研究。李春前[9]提出了類BM離散法，得到近似獨立荷載數據，采用廣義Pareto分布(Generalized Pareto Distribution，GPD)來擬合車輛荷載效應的尾部分布，認為一天荷載效應值只代表一天最大值截口分布，從而得到了更加貼近實際的車輛荷載效應概率模型。Wang等[10]針對數據的非獨立性，提出將原始數據序列在足夠大的時間間隔中提取出來，得到漸進獨立數據，并結合POT分簇算法得到最優閾值，然后采用GPD分布進行擬合，得到了短期荷載極值分布。

本文采用GPD模型對車輛荷載效應尾部值進行了估計研究，提出了一種三次類閾值法進行數據的初步選擇，并針對數據間的相關性問題，提出了一種改進的獨立風暴法(Modified Method of Independent Storms，MMIS)；最后利用WIM記錄的某橋一個月實際車流數據，對不同設計基準期的車輛荷載效應極值進行了預測，并與POT模型的方法進行對比，得到了一些有益的結論。

1極值理論和GPD模型

1.1極值理論

根據極值理論[11]，設獨立同分布的隨機樣本{X}={X1，X2…Xn}服從某個未知的分布函數F(x)。假設Mn=max{Xi}，則存在數列an>0和bn∈R，使得當n→∞時，概率Pr{(Mn-bn)/an

這三種分布代表了三種不同的極值行為，可以用統一的形式進行表示：

(2)

式中：μ,k∈R，σ>0；μ是位置參數；σ為尺度參數；k為形狀參數。H(x)稱為廣義極值分布，當k=0時，H(x)為極值Ⅰ型，分布的尾部呈指數狀；k>0時，H(x)為極值Ⅱ型，分布的尾部較長；k<0時，H(x)為極值Ⅲ型，分布具有有限的上端點。

對于式(2)，當有足夠大的閾值u，且X>u時，有超出量Y=X-u樣本服從GPD分布：

(3)

1.2車輛荷載效應的極值理論

概率密度函數可以分為低尾、中間、和高尾三部分[12]。由于傳統的單峰或者多峰分布擬合方法可以滿足車輛荷載效應分布中低尾和中間部分的精度要求，因此本文主要進行高尾部分的研究。

根據GPD理論，當u值選定時，樣本變量X的累積概率分布為：

(4)

2獨立樣本數據的獲取

傳統計算車輛荷載效應極值的方法是由WIM系統獲得實際車輛的相關信息，然后根據科學計算軟件來模擬產生荷載效應，并通過一定的時間間隔將效應值劃分為若干段，通過提取每段的最大值作為分析的樣本。若選擇的時間間隔足夠長，則認為可以采用極值理論。通常選擇的時間間隔為一天，然后假設一天的荷載效應最大值為全年最大值，然后應用極值理論進行不同基準期的荷載效應最大值評估。這種方法計算簡單，應用較為普遍。但是一天的荷載效應只使用一個最大值，其他數據則不考慮會造成數據的極大浪費；或者選擇某個閾值，提取大于這個閾值的所有樣本數據，并用GPD方法進行擬合，從而得到車輛荷載效應分布函數。閾值的選擇會直接影響到結果的準確性。過大的閾值會使超出量太少，造成估計量的方差較大；而過小的閾值，則會使得估計量成為有偏估計[11]。

2.1三次類閾值法

本文提出的三次類閾值法的基本思想是剔除荷載效應樣本值中的低尾和中間部分，從而得到MMIS法分析所需的樣本，具體步驟為：

(1)根據樣本數據經驗分布函數，得到類閾值u1。類閾值u1應取在樣本經驗分布函數的中間部分，這樣不僅可以將原始數據中低尾的部分剔除掉，而且還可以減少類閾值u2的選擇循環次數，從而節省類閾值的選擇時間。提取大于u1的樣本{Y}={Y1,Y2，…，YN}，這里N為原始樣本中大于u1的個數。

(2)由平均超出函數法，初步得到一個類閾值u2。類閾值u2的值宜取樣本經驗分布函數的中間部分，這樣可以保證得到的數據樣本不會丟失風暴值。平均超出函數[13]是類閾值u2的線性函數，其表達式為：

(5)

式中：μ,k∈R，σ>0；μ,σ,k分別對應極值分布中的位置參數、尺度參數和形狀參數。

對于樣本{Y}={Y1,Y2…YN}，平均超出函數可由經驗平均超出函數(Empirical mean excess function，EMEF)en(u2)來估計，表達式為：

(6)

(3)根據原始樣本{X}得到累計分布函數值為0.99所對應的樣本值，此值即為類閾值u3。在這里將類閾值u3作為三次類閾值法的閾值選擇上限。

(4)分別將類閾值u2和u3作為MIS法的閾值進行分析。如果MIS法得到的兩個類閾值所對應的獨立風暴個數相差一個量級，則重新進行類閾值u2的選擇，直到前后選擇的類閾值u2所對應的MIS樣本數相差不超過一個量級。這樣選擇類閾值u2的原因是，MIS法對閾值的穩定性較好，閾值適當的提高或減小對MIS分析樣本不會產生太大的影響[14]。

2.2MMIS法

MIS法首先需要確定出閾值u。Cook[5]將閾值點稱為平靜點，兩個平靜點之間為獨立風暴。即若是連續數據超過閾值u，就將其看作為是一個獨立風暴；將每個獨立風暴的最大值作為獨立樣本，忽略掉該數據段中較小的其它值。

由于MIS法在獲取數據樣本時，僅關注兩個連續閾值之間的最大值，并不考慮連續閾值區間次大值是否大于鄰近區間的最大值，從而會造成數據的浪費；且同時考慮到簡支梁橋實際車輛荷載效應最大值主要是由重車控制這一特點，本文提出了一種MMIS法。具體步驟為：

(1)由三次類閾值法得到閾值u。

(2)將連續超過閾值u的車輛荷載效應作為一個獨立的風暴段，記錄風暴段中的最大值和次大值的位置。假設其中的兩個風暴段為{Zi}={Zi-j,Zi-j+1，…，Zi}和{Zk}={Zk-j,Zk-j+1，…，Zk}；令Mi=max{Zi}，Mk=max{Zk}，Mk-1為序列{Zk}中次最大值。

(3)比較Mk-1和Mi。如果Mk-1>Mi，而且Mk-1和Mi之間的距離大于某個固定值s時，則將Mk-1加入最后選取的獨立風暴樣本。s取為根據實測車輛荷載數據統計特性得到的單輛重車長度。獨立風暴值的分布函數為：

(7)

(4)假設R年中有m個獨立風暴樣本，年平均風暴發生概率為r，且r=m/R。假設一年內車輛運行情況變化不會太大，則設計基準期T年發生的風暴總數概率分布為：

(8)

3工程算例

由于實際的車輛類型多樣，各生產廠家生產的車輛軸距也不盡相同，直接進行實測車輛的分析計算比較困難。根據WIM記錄的某橋一個月實際車流數據，并參考計算橋梁疲勞時的車輛荷載類型分類，將車輛類型分為七類，各類型車輛所占總數量的比例及車輛簡圖見表1。各類型車輛軸重所占車重的比例以及軸距直接在車輛簡圖中表示。由實測的車輛荷載統計數據通過蒙特卡洛法模擬生成隨機車輛，并根據影響線加載[9]分別得到車輛在經過30 ～ 60 m橋時的跨中彎矩值。

表1　車輛分類及各車型比例統計

以50 m跨徑簡支梁橋分析為例。由隨機車輛產生的簡支梁跨中彎矩值經驗分布函數見圖1。由不同閾值得到的平均超出函數見圖2。由經驗分布函數選定類閾值u1為6 000 kN·m，但根據平均超出函數圖得到的初步類閾值u2為10 000 kN·m，故初步選定類閾值為u2。累計分布函數值為0.99所對應的類閾值u3為11 046 kN·m。初步類閾值u2對應的MIS法樣本個數為140個，類閾值u3對應的MIS樣本數為48個。因為樣本個數相差很多，故重新選擇類閾值u2為10 500 kN·m，此時類閾值u2所對應的樣本數為85個。再次選擇類閾值u2為10 600 kN·m，對應的MIS樣本個數為80個。因為前后選擇的類閾值u2所對應的MIS樣本個數相差較小，故選擇閾值為10 500 kN·m所對應的樣本為分析樣本。

圖1　簡支梁橋50 m跨中彎矩頻率直方圖 Fig.1 Bending moment frequency histograms of 50 m midspan of simply supported beam bridge

圖2　經驗平均超出函數圖 Fig.2 Empirical mean excess function

簡支梁橋最大車輛荷載效應一般由重車控制。根據WIM記錄的車輛荷載統計特點，四軸車車重較大，而且相比五、六軸車出現的概率較大，因此本文選取四軸車所對應的橋梁影響長度為近似s值，s取為10 m。由MIS方法得到的獨立樣本數據共85個。GPD分布擬合參數為k=-0.129 7。由于k<0是個截尾分布，參考李植淮等[16]的建議，將樣本數據順序排列，取k=0，利用式(3)可得到σ值為847.531。由MMIS法得樣本數據116個。GPD分布擬合參數為k=-0.225 64。取k=0，得到σ為1 000.815。則MIS法最大值截口分布為：

x>1.05×104

(9)

MMIS法得到的最大值截口分布為：

x>1.05×104

(10)

由POT方法得到的最大值截口分布為：

x>1.05×104

(11)

其它跨徑橋梁類閾值、MIS法和MMIS法樣本個數見表2。

表2　簡支梁橋各跨徑樣本個數

采用規范[15]給出的一天荷載效應最大值分布代表一年最大值分布，取分位值滿足FT(x)=0.95的x作為彎矩設計值，計算上述三種不同方法彎矩設計值與設計基準值之間的關系如圖3所示。

圖3　三種分析方法的彎矩設計值與基準期之間的關系 Fig.3 Bending moment v.s. service life of three methods

由圖3可知：①三種方法都可以反映出荷載效應極值隨基準期增加而增大的基本變化規律。②POT方法由于數據具有一定的相關性，其結果明顯偏小；而MIS方法雖然選擇的數據近似獨立，但是由于選擇的數據樣本較少，其結果也偏小，但較POT估計結果準確。③隨著橋梁跨徑的增加，POT法和MIS法評估得到的車輛荷載效應極值相差越來越小。造成這種現象的原因是，隨著橋梁跨徑的增加，車輛荷載效應最大值不再主要是由單輛重車控制引起，而是要考慮多車同時作用的影響。④這三種方法都可以較好地反映樣本的尾部變化規律，在較短的周期(T<20年)，三種方法估計結果相差不多。因此，在進行舊橋評估時，三種方法都可使用，因為舊橋的剩余壽命一般少于20年。⑤在中長期(T>20年)荷載效應極值估計時，POT和MIS法估計結果明顯偏低。因此，在對新建橋梁或擬建橋梁荷載效應計算時，本文提出的MMIS法估計結果更為保守，也偏于安全。

4結論

由于車輛荷載效應樣本是平穩時間序列，具有一定的相關性。為了解決數據間的相關性問題，本文對MIS法進行了改進，提出了MMIS法。同時提出了一種三次類閾值法，通過該閾值法來得到MMIS法的樣本。并以WIM記錄的某橋一個月實際樣本數據進行了分析，得到了以下結論：

(1)本文提出的三次類閾值法，有效地克服了POT方法中閾值需要精確選擇的問題。根據樣本經驗分布函數進行類閾值u1的選擇；通過經驗平均超出函數法進行類閾值u2的初步選擇，并結合MIS法具有對閾值的穩定性較好的特點進行類閾值u2的最終確定；并將類閾值u3作為閾值選擇上限，取樣本累積分布函數值為0.99所對應的值。該方法程序實現簡單，收斂效率較高。

(2)結合簡支梁橋車輛荷載效應主要受單輛重車影響的特點，對MIS法不能充分利用原始樣本數據的缺陷進行了改進，提出了MMIS法。由于MMIS法的分析樣本不僅相互獨立，而且相比MIS法數據利用更加完全，因此得到的分析結果也更為可靠。

(3)通過對某橋WIM記錄的一個月實際車流量分析得到的車輛荷載效應值進行分析，得到以下結果：①若評估期較短，在對舊橋承載力評估或者確定舊橋加固方案時，理論上三種方法的模擬結果相近，都可以使用。但是相比POT方法閾值的選擇、MIS方法中的平靜點確定，本文提出的用三次類閾值法進行樣本數據的選擇更為簡單，而且也較為準確。②若評估期較

長，在對擬建橋梁或新建橋梁服役期間進行最大荷載效應估計時，POT方法和MIS方法可能會低估車輛荷載效應，隱藏著車輛設計荷載偏小的危險；而利用MMIS方法估計未來設計期限內的荷載效應值則較為保守，偏于安全。

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LI Zhi-huai, LI Chun-qian, SUN Jian-kang, et al. Estimation of extreme vehicle load effect based on GPD model[J]. Engineering Mechanics, 2012,29(Sup1): 166-171.

第一作者符毅強男，碩士生，1991年生

通信作者陳予恕男，教授，中國工程院院士，1931年生

郵箱：yschen@hit.edu.cn

第一作者張平男，博士，講師，1977年生

通信作者馬建男，博士，教授，博士生導師，1957年生