直線定位平臺擾動激勵下柔性操作臂的耦合振動特性研究

直線定位平臺擾動激勵下柔性操作臂的耦合振動特性研究

劉玉飛,李威,楊雪鋒,王禹橋,路恩

(中國礦業大學機電工程學院，江蘇徐州221116)

摘要：以直線定位平臺柔性操作臂為對象，根據能量方法建立了系統的耦合動力學模型，考慮驅動過程中存在的運動波動，對直線定位平臺的運動特性進行表征，結合建立的耦合動力學模型，得到柔性操作臂的耦合振動特性。通過理論分析和仿真實驗，對不同運動特性下運動波動的擾動激勵的作用機理進行研究。結果表明：運動波動對柔性操作臂的振動特性具有明顯的影響，對于勻速運動情形，在起始階段隨著速度取值的增大，柔性操作臂的振動幅值有所增大，隨著響應時間的增加，影響逐漸減小；對于勻加速運動情形，隨著加速度取值的增大，柔性操作臂的振動幅值逐漸減小，且較大的加速度對波動的影響起到一定的抑制作用；理論與實驗結果一致，驗證了所建模型的正確性。研究結果對柔性操作臂的動態特性分析及振動控制具有一定的指導意義。

關鍵詞：定位平臺；柔性操作臂；擾動激勵；耦合振動；振動控制

中圖分類號:TH 112；TH 113.1文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金委創新研究群體基金(51421064);教育部博士點基金(20130041110031);同濟大學土木工程防災國家重點實驗室開放基金(SLDRCE12-MB-03)

收稿日期：2014-05-04修改稿收到日期：2014-07-03

Coupled vibration characteristics of flexible manipulators of a linear positioning platform under disturbance excitation

LIUYu-fei,LIWei,YANGXue-feng,WANGYu-qiao,LUEn(School of Mechatronic Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

Abstract:The flexible munipulator of a linear positioning platform was taken as a study object. Based on the energy method, the coupled dynamic model of the system was established. Considering motion fluctuations in its driving process, the motion features of the linear positioning platform were described. Subsequently, combining the established coupled dynamic model, the coupled vibration characteristics of the flexible manipulator were derived. The disturbance excitation action mechanisms of different motions’ fluctuations were studied through theoretical analysis and simulations. The results indicated that the motion fluctuations have a significant effect on the vibration characteristics of the flexible manipulator; for the constant velocity motion situations, its vibration amplitudes increases with increase in the motion velocity in the initial stage, and with increase in the response time, the effect decreases; for the constant acceleration motion situations, its vibration amplitudes decreases with increase in the motion acceleration, larger accelerations have a certain suppressing action on the effect of the motion fluctuations; the results of theoretical analysis agree well with those of tests, the correctness of the established model here is verified. The study results provided a guidance for the dynamic analysis and vibration control of flexible manipulators.

Key words:positioning platform; flexible manipulator; disturbance excitation; coupled vibration; vibration control

機器人技術在航空航天、農業、生物醫學等領域有著廣泛的應用[1-2]。機器人操作系統由驅動裝置和操作機構兩個基本部件組成[3-4]，在驅動裝置的驅動下，操作機構通過其末端執行器執行規定的操作任務。隨著現代機械裝備不斷地向輕型化、低能耗等方向發展，柔性操作臂受到越來越多的關注[5-6]。與剛性結構相比，柔性操作臂具有能耗低、輕質、操作靈活等特點[7]，廣泛應用于航空航天[8-9]、微操作機器人[10-12]、精密制造加工[13-14]等領域。由于柔性操作臂模態較低，關節和連桿處均存在一定的柔性，在執行操作任務的過程中極易產生彈性變形并激發彈性振動，彈性振動的存在將影響系統的操作精度、穩定性和使用壽命[6,15]。例如，采摘機器人操作機構的振動，導致末端執行器抓取不穩，容易對草莓、葡萄、番茄等外表比較柔嫩的果蔬造成損傷[16-17]；對于生物醫學中的精密操作，柔性操作臂的彈性振動會影響手術成功率，當所操作的對象是具有“生命”的動植物細胞時，如染色體切割、細胞融合、基因注射等，甚至會導致生命的死亡[11,18]。另外，隨著裝備的高度集成以及操作對象的微型化，對柔性操作臂的操作效率和精度也提出了更高的要求[5,19]。

在研究柔性操作臂的振動特性及控制策略時，通常假設驅動裝置具有恒定的運動特性。實際上，以采用電動機作為驅動元件的柔性操作臂系統而言，由于電動機電磁參數和機構慣性等因素的作用，驅動裝置的運動并非理想恒定，而是存在一定的波動[20-22]。運動波動的存在勢必進一步影響柔性操作臂的振動特性，尤其在精密操作領域，對柔性操作臂的振動特性分析及振動控制將產生一定的誤差。因此，為了精確分析柔性操作臂的振動特性并進行有效的振動控制，應考慮驅動裝置運動波動的影響。陳立群等[23-24]對軸向變速運動梁的動力穩定性問題進行了深入研究，馮志華等[25-27]研究了基礎直線運動柔性梁的非線性動力學特性，Pratiher等[28]將基礎視為簡諧激勵，研究了柔性操作臂的非線性振動特性。然而，目前的研究主要是通過理論數值仿真進行分析，針對具體驅動裝置擾動激勵下柔性操作臂的振動特性還較少報道，且擾動激勵與運動特性之間的關系及作用機理還需要進一步研究，從而有利于抑制擾動的影響。本文以直線定位平臺柔性操作臂為對象，對擾動激勵下柔性操作臂的振動特性進行研究，分析不同運動特性下擾動激勵的作用機理，這對柔性操作臂的振動控制并應用于高速、高精度場合實現精確定位具有重要的意義。

1直線定位平臺柔性操作臂的耦合動力學模型

直線定位平臺柔性操作臂的結構如圖1所示。直線定位平臺采用電動機驅動，柔性操作臂通過固定基座固定在直線定位平臺上，在直線定位平臺的驅動下，柔性操作臂通過其末端執行器執行規定的操作任務。為了簡化分析，在建模時，柔性操作臂采用歐拉—伯努利梁進行表征，主要考慮xy平面內柔性操作臂的橫向振動，且忽略重力的影響。假設任意時刻t，直線定位平臺的位移為s(t)，柔性操作臂上任意點P的橫向振動位移為w(x,t)，則P點的總位移y(x,t)可以表示為

y(x,t)=s(t)+w(x,t)

(1)

圖1　直線定位平臺柔性操作臂系統結構示意圖 Fig.1 Schematic diagram of the linear positioning platform flexible manipulator system

根據假設模態法[29]可得

(2)

式中，qi(t)為柔性操作臂的第i階廣義模態坐標；φi(x)為柔性操作臂的第i階模態主振型函數，且可以表示為

φi(x)=sin(kix)-sinh(kix)-

(3)

式中，ki4=(ρA/EI)ωi2，ωi為柔性操作臂的第i階固有頻率，ρ為柔性操作臂的質量密度，A為柔性操作臂的橫截面面積，E為柔性操作臂的彈性模量，I為柔性操作臂的慣性矩。

結合式(1)，系統的動能可以表示為

(4)

式中，L為柔性操作臂的長度，ms為直線定位平臺固定基座的質量，y,x表示y(x,t)對x的偏導數，w,t表示w(x,t)對t的偏導數。

同法，系統的勢能為

(5)

式中，w,xx表示w(x,t)對x的二階偏導數。

根據式(2)，式(4)和(5)可進一步表示為

(6)

(7)

式中，Mi和Ki分別表示廣義質量和廣義剛度，且可以表示為

(8)

(9)

式中，φi,xx表示φi(x)對x的二階導數。

將式(6)和(7)代入拉格朗日方程[30]

(10)

式中，T=Ek-Ep。

由式(6)和(7)可知，存在以下關系

(11)

(12)

(13)

將式(11)～(13)代入式(10)，可得直線定位平臺驅動過程中柔性操作臂的振動位移方程為

(14)

2擾動激勵下柔性操作臂的耦合振動特性

由式(14)可知，分析柔性操作臂的振動特性時需考慮驅動裝置的運動特性，因此，首先需對直線定位平臺的位移s(t)進行描述。由前面分析可知，對于采用電動機作為驅動元件的直線定位平臺而言，由于電磁參數和機構慣性等因素的影響，定位平臺的運動存在一定的波動。充分考慮系統的動態特性，將波動表示為函數f(t)，則s(t)可以表示為

s(t)=s0(t)+f(t)

(15)

式中，s0(t)為直線定位平臺的恒定位移。

易知，f(t)可展開為如下的三角函數形式[31]

(16)

式中，an,bn為傅里葉系數。

為了研究問題的方便，將f(t)表示為正弦函數的形式。則式(15)可進一步表示為

s(t)=s0(t)+γsin(εt)

(17)

式中，γ為波動幅值；ε為波動頻率。

將式(17)代入式(14)，

(18)

根據杜哈梅積分[29]求解可得

qi(t)=B1icos(ωit)+B2isin(ωit)-

(19)

式中，B1i和B2i由初始條件決定且可以表示為

(20)

由式(19)可知，柔性操作臂的振動特性與定位平臺的運動特性及運動波動有關。本文對定位平臺具有勻速和勻加速運動特性時柔性操作臂的振動特性進行分析。

定位平臺作勻速運動的位移可以表示為

s0(t)=vt

(21)

式中，v為定位平臺的運動速度。

將式(21)代入式(19)得

qi(t)=B1icos(ωit)+B2isin(ωit)+

(22)

定位平臺作勻加速運動的位移可以表示為

(23)

式中，a為定位平臺的運動加速度。

同法，將式(23)代入式(19)得

qi(t)=B1icos(ωit)+B2isin(ωit)-

(24)

根據式(2)、(3)和(22)可得直線定位平臺作勻速運動且存在波動時柔性操作臂的振動位移為

(25)

同法，根據式(2)、(3)和(24)可得直線定位平臺作勻加速運動且存在波動時柔性操作臂的振動位移為

3仿真實驗及分析

為了分析直線定位平臺存在運動波動時柔性操作臂的振動特性，利用ADAMS動態仿真軟件，建立直線定位平臺柔性操作臂系統的樣機模型并進行實驗研究。為了簡化分析，建模時直線定位平臺采用質量塊(Solids)進行模擬；柔性操作臂(Flexible Bodies)材料屬性定義為：長L=575 mm，截面28 mm×1 mm，彈性模量E=197 GPa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.26；柔性操作臂與固定基座之間定義為剛性約束，直線定位平臺的運動采用移動副進行模擬，通過在移動副上添加驅動模擬平臺的不同運動特性，從而可以對直線定位平臺不同運動特性下柔性操作臂的振動特性進行分析。建立的直線定位平臺柔性操作臂系統的樣機模型如圖2所示。在仿真實驗的過程中，取柔性操作臂的末端位置進行分析。

圖2　直線定位平臺柔性操作臂系統的樣機模型 Fig.2 Prototype of the linear positioning platform flexible manipulator system

圖3和圖4為直線定位平臺勻速運動時柔性操作臂的振動特性。實驗過程中，運動速度分別取v=0.01 m/s，v=0.02 m/s和v=0.03 m/s。不考慮驅動過程中存在的運動波動時，柔性操作臂的振動位移見圖3，從圖3可以看出，隨著速度取值的增大，振動幅值明顯變大；當考慮運動波動時，取γ=0.001，ε=15時不同運動速度下柔性操作臂的振動位移見圖4，從圖4可以看出，在運動的起始階段，隨著速度取值的增大，振動幅值有所增大，而隨著時間的增加，影響逐漸減小。

圖3　恒定勻速運動時柔性操作臂振動位移 Fig.3 Vibration displacements of the flexible manipulator under constant velocity motions

圖4　勻速運動帶波動時柔性操作臂振動位移(γ=0.001 ε=15) Fig.4 Vibration displacements of the flexible manipulator under velocity motions (γ=0.001 ε=15)

為進一步分析勻速運動時運動波動對柔性操作臂振動特性的影響，取速度v=0.01 m/s時，分別對γ=0.003ε=5，γ=0.001ε=15，γ=0.003ε=15時柔性操作臂的振動特性進行分析，見圖5。從圖5可以看出，勻速運動時運動波動對柔性操作臂的振動特性具有明顯的影響，隨著波動幅值γ和波動頻率ε的增大，振動幅值變大，且振動響應對波動頻率ε更為敏感。

圖5　勻速運動時波動對柔性操作臂 振動特性的影響(v=0.01 m/s) Fig.5 Impact of the disturbances on the flexible manipulator under velocity motion (v=0.01 m/s)

圖6和圖7為直線定位平臺勻加速運動時柔性操作臂的振動特性。實驗過程中，加速度分別取a=0.1 m/s2，a=0.2 m/s2和a=0.3 m/s2。不考慮驅動過程中存在的運動波動時，柔性操作臂的振動位移見圖6，從圖6可以看出，隨著加速度取值的增大，振動幅值明顯變大；當考慮運動波動時，取γ=0.001，ε=15時不同加速度下柔性操作臂的振動位移見圖7，從圖7可以看出，隨著加速度取值的增大，振動幅值逐漸減小，由此可以說明，較大的加速度對波動的影響起到一定的抑制作用。

圖6　恒定勻加速運動時柔性操作臂振動位移 Fig.6 Vibration displacements of the flexible manipulator under constant acceleration motions

圖7　勻加速運動帶波動時柔性 操作臂振動位移(γ=0.001 ε=15) Fig.7 Vibration displacements of the flexible manipulator under acceleration motions (γ=0.001 ε=15)

圖8　勻加速運動時波動對柔性操作 臂振動特性的影響(a=0.1 m/s 2) Fig.8 Impact of the disturbances on the flexible manipulator under acceleration motion (a=0.1 m/s 2)

圖9　勻加速運動時柔性操作臂振動 特性的理論和實驗結果(a=0.1 m/s 2) Fig.9 Theoretical and experimental vibration characteristics of the flexible manipulator (a=0.1 m/s 2)

為進一步分析勻加速運動時運動波動對柔性操作臂振動特性的影響，取加速度a=0.1 m/s2時，分別對γ=0.003ε=5，γ=0.001ε=15，γ=0.003ε=15時柔性操作臂的振動特性進行分析，如圖8所示。從圖8可以看出，勻加速運動時運動波動對柔性操作臂的振動特性具有明顯的影響，隨著波動幅值γ和波動頻率ε的增大，振動幅值變大，且振動響應對波動頻率ε更為敏感，此結論與勻速運動具有一致性。

以上從仿真實驗的角度對擾動激勵下柔性操作臂的振動特性進行了分析。為了驗證本文建立的耦合動力學模型，將直線定位平臺勻加速運動時柔性操作臂振動特性的理論和實驗結果進行對比，見圖9。從圖9可以看出，理論分析與實驗結果比較吻合，運動波動對振動特性的影響和變化趨勢一致。直線定位平臺勻速運動的情況可視為勻加速運動的特例，由此可以說明本文所建模型及分析結果的正確性。

4結論

本文考慮運動波動的擾動激勵，建立了直線定位平臺柔性操作臂系統的耦合動力學模型，并對柔性操作臂的耦合振動特性進行了理論分析及實驗研究。結果表明：

(1)存在運動波動時，運動波動對柔性操作臂的振動特性具有明顯的影響。對于勻速運動，在驅動的起始階段，隨著速度取值的增大，柔性操作臂的振動幅值有所增大，隨著響應時間的增加，影響逐漸減小；對于勻加速運動，隨著加速度取值的增大，柔性操作臂的振動幅值逐漸減小，較大的加速度對波動的影響起到一定的抑制作用。

(2)隨著波動幅值和波動頻率的增大，柔性操作臂的振動幅值變大且對波動頻率更為敏感。

(3)在進行柔性操作臂的動態特性分析及振動控制時應考慮運動波動的影響；根據本文的結果，可通過優化驅動裝置的運動特性、設計控制策略實現柔性操作臂的振動控制及精確定位操作。

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第一作者馮海月女，碩士生，1990年生

通信作者伊廷華男，博士,教授,博士生導師，1979年生