考慮齒側間隙的非等模數非等壓力角行星齒輪系統(tǒng)的均載特性研究

葉福民，朱如鵬，靳廣虎，鮑和云，李發(fā)家

(1.南京航空航天大學機電學院,南京　210016; 2.江蘇科技大學機械工程學院,鎮(zhèn)江　212003)

第一作者葉福民男，博士生，副教授,1968年生

考慮齒側間隙的非等模數非等壓力角行星齒輪系統(tǒng)的均載特性研究

葉福民1.2，朱如鵬1，靳廣虎1，鮑和云1，李發(fā)家1

(1.南京航空航天大學機電學院,南京210016; 2.江蘇科技大學機械工程學院,鎮(zhèn)江212003)

摘要：針對非等模數非等壓力角行星齒輪傳動系統(tǒng)，建立了多自由度平移-扭轉振動的非線性動力學模型?？紤]到齒輪副齒側間隙、系統(tǒng)綜合誤差和齒輪副模數與壓力角的不相等，計算了系統(tǒng)的均載系數并對由它們所引起的系統(tǒng)不均載特性進行了動力學分析。獲得了誤差一定且齒側間隙改變時，嚙合副的動載荷曲線與均載系數間的變化關系。討論了齒輪副模數和壓力角分別不同時，系統(tǒng)均載系數的變化幅度。研究表明：隨著齒輪副壓力角選擇范圍的擴大，系統(tǒng)均載系數有著較大幅度的變化；齒側間隙使系統(tǒng)的嚙合副處于不同沖擊狀態(tài)，不同沖擊狀態(tài)對系統(tǒng)的均載性能有著重要的影響。

關鍵詞：行星傳動；非等模數非等壓力角；均載；非線性特性

基金項目：國家自然科學基金(51305196);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(NZ2014201)

收稿日期：2013-12-11修改稿收到日期：2014-04-16

通信作者朱如鵬男，教授,博士生導師,1959年生

中圖分類號:TH132.4

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.036

Abstract:A translation-torsion coupled nonlinear dynamic model with multi-DOF was established for a planetary gear train system with non-equivalent modulus and pressure angle. Considering backlashes, system’s comprehensive errors and non-equivalent modulus and pressure angle of gear pair, the load sharing coefficient of the system was calculated. The dynamic characteristics of load sharing caused by the factors mentioned above were analyzed. Some relations between the dynamic load curve of gear pair and the load sharing coefficient were obtained due to certain errors and changes of backlash. The change range of the system load sharing coefficient was discussed with the variation of gear modulus and pressure angle. The results showed that the load sharing coefficient has a larger variation with increase in selecting range of pressure angle of gear pair, and the different impacts of meshing pair caused by backlashes have important influences on the load sharing characteristics of the planetary gear train system.

Load sharing characteristics of a planetary gear train system with non-equivalent modulus and pressure angle considering backlashes

YEFu-min1，2,ZHURu-peng1,JINGuang-hu1,BAOHe-yun1,LIFa-jia1(1. College of Mechanical and Electrical Engineeing, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China;2. College of Mechanical Engineering, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China)

Key words:planetary gear train; non-equivalent modulus and pressure angle; load sharing; nonlinear characteristics

出于齒輪潤滑和便于安裝的考慮，在設計齒輪系統(tǒng)時，齒間應保留有一定的齒側間隙。同時，制造和安裝過程中出現的誤差以及運轉過程中的齒輪磨損均會使齒輪副產生齒側間隙。由于齒側間隙的存在，輪齒間的接觸狀態(tài)會發(fā)生變化，進一步導致輪齒間的接觸、脫離、再接觸的重復沖擊，這種由齒側間隙引發(fā)的沖擊帶來的強烈振動、噪聲和較大的動載荷，造成行星齒輪系統(tǒng)的不均載，影響齒輪傳動系統(tǒng)的壽命和可靠性[1-2]。非等模數非等壓力角嚙合副只需滿足法節(jié)相等，即便模數和壓力角不相等，它同樣能夠正常嚙合傳動。采用非等模數非等壓力角嚙合副的行星齒輪系統(tǒng)，可以使其設計空間大，優(yōu)化設計結果更為理想[4]。但是，由于非等模數非等壓力角行星齒輪系統(tǒng)的參數增多，同時考慮到內外嚙合副齒側間隙的影響，系統(tǒng)的動力學特性將更為復雜。因此，在考慮齒側間隙時的該齒輪系統(tǒng)的動載荷和均載特性的研究將成為必要。

國內外學者對行星齒輪系統(tǒng)進行了研究，并取得許多成果。Inalpolat[5]、Kahraman[6-8]、Bodas[9]和Singh[10]研究了行星輪系的均載問題，提出了均載系數和動載系數來表征行星齒輪的均載性能；討論了齒輪位置度偏差和齒形誤差對系統(tǒng)均載特性的影響并進行了試驗驗證；建立系統(tǒng)的動力學模型，考慮了構件的扭轉、橫向和縱向位移、時變剛度和綜合傳動誤差等，分析了其動力學特性，研究了各參數對系統(tǒng)響應的影響。陸俊華[11]分析行星傳動系統(tǒng)的裝配誤差和安裝誤差的變化對系統(tǒng)均載特性的影響。但他們大都未考慮齒側間隙的影響。孫智民[12]研究了齒側間隙對星型齒輪傳動系統(tǒng)嚙合副的單邊沖擊、雙邊沖擊和非沖擊狀態(tài)之間的關系以及其對齒輪動載荷等動態(tài)特性的影響。孫濤[13]分析和研究了行星齒輪傳動系統(tǒng)的各路載荷分配不均勻性的影響。

作者所在課題組進行了與相關行星齒輪傳動系統(tǒng)均載性能的試驗研究，驗證了本文行星齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學模型的正確性[14]。本文在其基礎上以非等模數非等壓力角嚙合副所構成的行星齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，研究了齒輪副模數不同時，系統(tǒng)均載系數的變化幅度；探討了在系統(tǒng)綜合誤差一定時的系統(tǒng)動載荷曲線，并分析了齒側間隙對系統(tǒng)均載性能的影響。所作研究為該行星齒輪系統(tǒng)動力學主動設計提供理論基礎。

1系統(tǒng)的等效力學模型

圖1是行星齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學計算模型。以行星架為參考坐標系，僅考慮行星架的扭轉自由度，原點設在行星架中心；通常太陽輪采用浮動結構，故考慮太陽輪的扭轉、中心橫向和中心縱向自由度，并將其固定于行星架，太陽輪中心重合于坐標系原點；僅考慮行星輪的扭轉自由度，將N個行星輪的坐標系也固定于行星架，原點取為行星輪中心。其中，rbs和rbp分別為太陽輪和行星輪的基圓半徑；rbc為行星架的當量基圓半徑。

圖1　行星齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學計算模型Fig.1 Nonlinear dynamic analysis model of planetary gear train

該模型有(N+4)個自由度，它的廣義坐標為X=[xs,xh,xv,xpi,xc]T。其中，xs為太陽輪沿嚙合線方向的切向微位移；xh和xv分別為太陽輪中心橫向微位移和中心縱向微位移；xpi為第i個行星輪沿嚙合線方向的切向微位移；xc為行星架沿嚙合線方向的切向微位移。

2系統(tǒng)的微分運動方程

齒輪沿外、內嚙合副間的相對位移Xspi和Xrpi為

(1)

式中，asp為外嚙合副的實際嚙合角；φi為行星齒輪的位置角；espi和erpi為系統(tǒng)內外嚙合副上的綜合誤差，由于其有明顯的周期性，那么可表示為

(2)

式中，ω為系統(tǒng)的激勵頻率；espim和erpim分別表示第i個外嚙合副和內嚙合副上的平均綜合誤差；ue為內外嚙合副綜合誤差的波動系數。

由圖1及牛頓定律得系統(tǒng)運動微分方程為

(3)

式中:Ms、Mp和Mc分別為太陽輪、行星輪和行星架的當量質量，ms為太陽輪的質量；Td和Tl分別為輸入轉矩和負載轉矩；kh和kv分別為太陽輪支撐軸在其安裝處的橫向和縱向支撐剛度；ch和cv分別為太陽輪支撐軸在其安裝處的橫向和縱向阻尼系數；arp為內嚙合副的實際嚙合角；kspi和krpi為系統(tǒng)內外齒輪副的時變嚙合剛度，其可表示為

(4)

式中，kspim和krpim分別為第i個外嚙合副和內嚙合副上的平均平均嚙合剛度；uk為內外嚙合副嚙合剛度的波動系數。

式(3)中的f(xq)為齒側間隙非線性函數，其包含的元素都有統(tǒng)一形式，即

(5)

式中:bj為相應的齒側間隙，j=spi, rpi。

定義系統(tǒng)中各齒輪副動載荷系數如下：

(7)

式中:Frpi和Fspi分別為內嚙合副和外嚙合副的輪齒間的嚙合力，它們可表示為

(8)

非等模數非等壓力角行星齒輪傳動系統(tǒng)的各嚙合副的均載系數采用文獻[4]中的定義。系統(tǒng)的均載系數取各嚙合副均載系數的最大值。

3參數影響分析

某非等模數非等壓力角行星齒輪傳動系統(tǒng)的參數見表1。行星輪個數為3，齒輪寬度為15 mm。其它主要參數有：嚙合剛度平均值krpim和kspim分別為2.92×108N/m和2.42×108N/m，嚙合剛度波動系數uk與嚙合副綜合誤差的波動系數ue均為0.15，采用Runge-Kutta數值法對系統(tǒng)運動微分方程式(6)進行仿真計算，獲得該行星齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學響應。

表1　行星齒輪傳動系統(tǒng)的主要參數

3.1齒側間隙不同時的嚙合副均載系數

為研究齒側間隙對非等模數非等壓力角行星齒輪傳動系統(tǒng)均載性能的影響，系統(tǒng)無量綱激勵頻率為0.50，假設內外嚙合副的綜合平均誤差相同且分別取值為5 μm和50 μm，當各齒輪副齒側間隙brpi和bspi為等值且取0，10，50，100和200 μm時，分別計算獲得系統(tǒng)的各齒輪副的均載系數(文中未給出內嚙合副情況)，見表2。

表2　綜合誤差和齒側間隙不同時各嚙合副的均載系數

注：①表示嚙合副的綜合誤差(μm)

圖2　外嚙合副綜合誤差為5μm時的動載荷曲線Fig.2 Curve of dynamic load when meshing pair error is 5 μm

圖3　外嚙合副綜合誤差為50 μm時的動載荷曲線Fig.3 Curve of dynamic load when meshing pair error is 50 μm

由表2可知，當內外嚙合副綜合誤差值為5 μm，同時齒側間隙分別為0，10和50 μm，各嚙合副均載系數減小，說明此時齒側間隙有利于系統(tǒng)的均載性能。是由于當綜合誤差較小時，系統(tǒng)的非線性特征不很明顯，外嚙合副的動載荷為正值，外嚙合副嚙合過程中輪齒均不脫離，系統(tǒng)穩(wěn)定且輪齒間不發(fā)生沖擊現象，動載荷曲線見圖2(a)和圖2(b)。當齒側間隙為100μm和200 μm時，系統(tǒng)的動載荷曲線仍為正值，動載荷曲線見圖2(c)和圖2(d)。此時均載系數變大，但增大幅度較為平緩。

當外嚙合副綜合誤差為50 μm數量級上時，系統(tǒng)處于嚙合沖擊狀態(tài)，并且隨著齒側間隙的增大，系統(tǒng)的嚙合沖擊形式由雙邊沖擊向單邊沖擊轉化(見圖3)。其中，在圖3(a)中的齒側間隙為0 μm時，系統(tǒng)三路齒輪副均處于雙邊沖擊狀態(tài)；在圖3(b)中的齒側間隙為20 μm時，系統(tǒng)中有一路(第3路)變?yōu)閱芜厸_擊，兩路(第1、2路)保持為雙邊沖擊；在圖3(c)中的齒側間隙為100 μm時，單邊沖擊的發(fā)生范圍進一步擴大，系統(tǒng)中有兩路(第2、3路)變?yōu)閱芜厸_擊，一路(第1路)保持為雙邊沖擊；當齒側間隙為200 μm時，如圖3(d)，此時系統(tǒng)中所有三路齒輪副全部變?yōu)閱芜厸_擊狀態(tài)。此時均載系數在1.070到1.293間的變化，齒側間隙越大，系統(tǒng)均載性能的總體趨勢越差，但與文獻[13]的研究相比，沒有出現特別惡劣的情況。

由以上分析可知，在系統(tǒng)綜合誤差較小時，齒輪副處于非沖擊狀態(tài)，齒側間隙對系統(tǒng)載荷分配的影響不大。隨著系統(tǒng)綜合誤差變大，齒輪副處于沖擊狀態(tài)，當齒側間隙較小時，有間隙比無間隙時的均載性能稍好；當齒輪副出現單邊沖擊狀態(tài)，隨著齒側間隙的增大，系統(tǒng)的均載性能變差。齒側間隙與齒輪誤差的相互交織，其對系統(tǒng)的均載性能影響更為復雜。但系統(tǒng)無論處于何種狀態(tài)，系統(tǒng)綜合誤差始終是影響行星齒輪傳動系統(tǒng)均載性能的重要因素。

3.2模數不同時的系統(tǒng)的均載系數

為研究壓力角對行星齒輪傳動系統(tǒng)均載性能的影響，無量綱激勵頻率Ω為1.04，綜合誤差幅值為10 μm，內外嚙合副齒側間隙brpi和bspi也為10 μm，系統(tǒng)其它參數不變，計算獲得該行星齒輪傳動系統(tǒng)的均載系數，根據內外嚙合副的壓力角是否相同，分兩種情況討論。①外嚙合壓力角不相等而內嚙合壓力角相等，即行星輪壓力角與內齒圈的相同，αp(αr)均為20°，而太陽輪壓力角αs由23°至28°之間變化(見表3)；②外嚙合壓力角相等而內嚙合壓力角不相等，即太陽輪壓力角與行星輪的相同，αs(αp)均為20°，而內齒圈壓力角αr由23°至28°之間變化(見表4)。

表3　太陽輪壓力角取不同值的均載系數

表4　內齒圈壓力角取不同值的均載系數

由表3和表4可知，隨著壓力角和模數的改變，系統(tǒng)的均載系數均有相應的變化，當在該綜合誤差和系統(tǒng)激勵頻率下，壓力角或模數取不同值時，均載系數在1.1330至1.20170間變化。其與不考慮齒側間隙時的線性系統(tǒng)規(guī)律相一致。因此，在行星齒輪傳動系統(tǒng)的設計中，可以借助于優(yōu)化設計的方法，以均載系數與系統(tǒng)所達到的均載性能相一致為優(yōu)化設計目標，以齒側間隙、各齒輪的模數和壓力角等為優(yōu)化設計變量，可尋求最合適的齒輪模數與壓力角，使行星齒輪系統(tǒng)有著更好的均載性能。

4結論

(1)研究非線性模型下該齒輪傳動系統(tǒng)功率分流均載特點，計算行星齒輪傳動系統(tǒng)動載荷的時域歷程，從而獲得考慮間隙時的均載系數。

(2)在齒輪副處于非沖擊狀態(tài)時，齒側間隙對齒輪系統(tǒng)載荷分配的影響不很顯著。齒輪副處于雙邊沖擊狀態(tài)，齒側有間隙比無間隙時的均載性能稍好；當齒輪副出現單邊沖擊狀態(tài)，隨著齒側間隙的增大，系統(tǒng)均載性能變差的趨勢明顯。

(3)計算不同的嚙合副模數和壓力角組合下行星齒輪傳動系統(tǒng)均載系數。結果表明：隨著壓力角和模數的改變，系統(tǒng)均載系數的變化幅度較大。

(4)在行星齒輪傳動系統(tǒng)的設計中，借助于優(yōu)化設計的方法，獲得合適的嚙合副齒側間隙以及齒輪副的壓力角或模數，可以使系統(tǒng)有著更好的均載性能。

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