TMD控制系統的相位及控制效果分析

劉良坤 ，譚　平 ，李祥秀 ，張　穎 ，周福霖 ,

(1.廣州大學工程抗震研究中心，廣州　510405； 2.北京工業大學建筑工程學院，北京　100124)

第一作者劉良坤男，碩士生，1988年生

TMD控制系統的相位及控制效果分析

劉良坤1，譚平1，李祥秀2，張穎1，周福霖1,2

(1.廣州大學工程抗震研究中心，廣州510405； 2.北京工業大學建筑工程學院，北京100124)

摘要：推導了TMD系統的相位公式,研究了各參數對相位差及減震效果的影響。結果表明當TMD選取最優頻率比與最優阻尼比時具有最優控制效果。TMD質量比的增大不僅有助于增加控制效果，而且提高了頻域內的控制魯棒性。此外，本文提出了相能原理并結合能量耗散相等的原理給出了TMD的等效阻尼比，該數值比白噪聲激勵下推導的等效阻尼比更加符合TMD系統的實際情況。

關鍵詞：TMD系統;相位差;結構控制;相能原理;等效阻尼比

基金項目：國家973項目(2012CB723304)；國家基金委面上項目(51208129)；國家教育部新世紀人才項目(NCET-11-0914)；廣州市羊城學者科技計劃項目(10A032D)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-06-06

通信作者譚平男，研究員，博士生導師，1973年生

中圖分類號:TU352.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.028

Abstract:Here, the phase formulas of a TMD control system were derived. The effects of parameters on phase difference and vibration reduction result were investigated. Both the frequency band of vibration reduction and the distribution of phase difference change with parameters were indicated. The results showed that the comprehensive optimal control effect of TMD is obtained with the optimal damping ratio and the optimal frequency ratio; the increase in mass ratio of TMD can improve both the control performance and control robustness. In addition, the theory of phase energy combined with the principle of energy dissipation was employed to obtain the equivalent damping ratio of TMD. It was shown that the proposed equivalent damping ratio is more reasonable than that deduced under the excitation of white noise.

Phase and performance analysis for TMD control systems

LIULiang-kun1,TANPing1,LIXiang-xiu2,ZHANGYing1,ZHOUFu-lin1,2(1. Earthquake Engineering Research & Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China；2. School of Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Key words:TMD system; phase difference; structural control; theory of phase energy; equivalent damping ratio

調諧質量阻尼器(TMD)在高層建筑和高聳結構的振動控制中有較為廣泛的運用。TMD系統通過自身的慣性力反作用于主結構，從而達到減震目的。其參數的選取極大地影響著減振效果，Den hartog[1]利用二自由度體系并假定主結構無阻尼的情況下推導了TMD的最優頻率比與最優阻尼比；當考慮主結構阻尼時,很難得到最優參數的解析解,不過Sadek[2]等采用數值尋優得到地震控制的TMD最優參數。

Rana[3]通過對TMD參數研究表明使用簡諧激勵下的參數設計的結果與地震作用時較為接近。譚平等[4]針對帶TMD的高聳結構，進行了動力可靠度研究，強調了TMD減震裝置限位設計的必要性。黃瑞新[5]采用了二維模型分析了某演播塔的TMD風振控制。歐進萍等[6]比較了TMD,TLD系統的控制效果以及分別對高層鋼和鋼筋混凝土結構的控制效應。李春祥等[7]廣泛評述了TMD等控制裝置，指出了有待進一步研究的若干問題。李創第[8]給出了帶TMD結構隨機地震響應分析的復模態分析方法。但TMD減震過程中相位分析不容忽視。Soong等[9]探討了簡諧激勵下TMD單自由度系統相位概念，并指出當TMD相對位移滯后主結構90°相位差時，結構轉移到TMD系統的能量最大，此時TMD效果最好，但無定量分析。張俊平等[10]提出了TMD作用在結構上力的相位和外激勵輸入滿足180°相位差時，TMD作用在結構上的力才減小外激勵，降低結構響應，但只限于正弦荷載輸入。張力[11]提出TMD主結構的速度相位與TMD相對主結構位移相位為180°時，即TMD的減震效果最好。但上述文獻并未給出TMD系統相位差與減震機理的詳細研究。文獻[12-13]通過地震或風作用激勵的主結構位移方差分析，求出等效阻尼比，但此時等效阻尼比與外激勵頻率無關，與實際不符。本文推導了主結構有阻尼情況下TMD系統相位差公式，并研究其與減震效果的關系；提出了相能原理，結合能量耗散等效原理得出了單自由度的等效阻尼比及其與控制效果的關系。

1計算模型與相位差推導

1.1簡化模型及動力方程

TMD控制系統(以下簡稱TMD系統)，見圖1。

圖1　TMD系統簡化模型Fig.1 Simplified model of TMD system

為方便相位的分析，在水平地震作用下TMD系統的運動方程采用形式：

(1)

M=diag([m1,m2]),K=[k1+k2,-k2;-k2,k2]

C=[c1+c2,-c2;-c2,c2]

1.2TMD相位差的推導

單自由度體系受正弦激勵時，相位差指結構穩態反應的相位與激勵相位之間的差值。按文獻[11]的分析見圖2。

圖2　結構與TMD運動的相對位置Fig.2 Relative position of structure and TMD

圖3　TMD等效作用力與結構運動狀態Fig.3 TMD equivalent force and motion state of structure

(2)

代入到運動方程(1)中并根據恒等式的條件對比系數得：

(3)

式(3)每一項除m1，并令

式中各參數：

主結構的頻率ω1，阻尼比ξ1，TMD頻率ω2，阻尼比ξ2；質量比為μ=m2/m1。并求解四元一次方程組得到：

TMD的相對位移：

x2r=(A3-A1)cosωt+(A4-A2)sinωt

(4)

由式(4)得：

x2r=Arsin(ωt+φr)

(5)

主結構的速度：

(6)

那么TMD的相對位移與主結構速度的相位差：θ=φa-φr，以下分析簡稱相位差。

2TMD系統參數對相位差的影響分析

TMD和主結構的參數對減震效果的影響，實際是相位差與減震效果的關系。本節試圖改變子結構參數或主結構的參數來分析相位差與減震效果的關系。

2.1主結構參數的影響

為方便分析，假設TMD系統中主結構為單位質量，TMD與主結構質量比為0.01，TMD系統的最優參數采用Den hartog公式設計。圖4(a)繪出了主結構阻尼比0.02時周期與相位差的關系。由圖4(a)可得知三條曲線重合，即相位差與主結構周期變化無關，這可從“1.2”的公式中相位差在質量比、頻率比、阻尼比確定后就只與主結構頻率有關進行解釋。若主結構周期為1 s，改變主結構的阻尼比；由圖4(b)可得知隨著主結構的阻尼比增大時，同一相位差處外激頻率比往兩端拓展，但在最優頻率點處的相位差基本不變。

圖4　主結構參數與相位差Fig.4 Main structure Parameters and phase difference

2.2TMD參數的影響

在研究TMD參數與相位差的關系時，假定TMD系統中主結構為單位質量，主結構阻尼比0.02。圖5(a)中頻率比與阻尼比按Den hartog公式計算:

fopt=1/(1+u)

(7)

(8)

繪出TMD最優參數時相位差隨質量比的變化規律圖，隨著質量比的增大，同一相位差處外激頻率比往兩端拓展，即同一相位差質量比越大外激頻率比頻帶越大。

圖5(b)頻率比按Den hartog公式計算，取質量比為0.01。與其它阻尼比相比，最優阻尼比0.06(圖5(b)中細實線ζ=0.06)處于其余線條中間，相位差處于90°以上的頻段較寬。圖5(c)阻尼比按Den hartog[1]公式計算，取質量比為0.01。圖5(c)中最優頻率比取0.99(圖5(c)粗實線f=0.99)在主結構共振頻率處相位差接近180°具有最好減震效果，而其余相位都嚴重偏離180°。因此，在確定合適質量比后，TMD采用最優頻率比與最優阻尼比在具有綜合最優減震效果，此時相位差接近180°。

3TMD系統相位差的應用

3.1相位差與減震效果

為了分析相位差的對減震效果的影響，取TMD控制系統與無控結構在基底受正弦激勵下的位移幅值之比為放大系數。其中無控結構的幅值：

(9)

圖5　TMD參數與相位差Fig.5 TMD parameters and phase difference

質量比左失效段右失效段總失效區段有效控制區段有效外激頻率比范圍0.01-75°～52°-90°～92°-90°～92°92°～180°0.91～1.080.02-71°～49°-90°～104°-90°～104°104°～180°0.89～1.110.03-69°～45°-90°～109°-90°～109°109°～180°0.87～1.130.04-67°～43°-90°～115°-90°～115°115°～180°0.85～1.140.05-66°～40°-90°～120°-90°～120°120°～180°0.83～1.15

圖6　相位差與減震效果Fig.6 Phase difference and vibration-reduction

當質量比由0.01到0.05變化時，按Den hartog[1]公式計算作相位差與放大系數關系見圖6a，質量比與相位差的關系如“2.2”所述，此處將詳細說明不同質量比下放大系數、外激頻率比和相位差的關系。圖6(b)為相位差與放大系數關系圖，由圖可見質量比的增加提高了減震效果，其余詳細情況見表1。

表1中失效區段表示放大系數大于1的情況，有效控制區段則表示放大系數小于1；“左”和“右”表示圖6(a)中外激勵頻率比1對應的左右相位差區段。表1中給出的具體情況，經分析發現：質量比0.01到0.05變化，有效控制相位差區段從92°～180°變為120°～180°度，也就是說有效控制區域的相位差區段減小了，使更多的區域處在接近最佳控制點；而外激勵頻率比則從0.91～1.08變為0.83～1.15，說明外激勵頻率的有效控制頻帶加寬了。這就說明小范圍內的質量比的增大不僅有助于增加控制效果，而且增加了頻域上的控制魯棒性。

3.2TMD等效阻尼比的確定及其能量分析

本文所用的相位差為TMD系統相對主結構位移與主結構速度的穩態反應之間的相位差；若按“1.2”所述指主結構阻尼力與TMD等效作用力的相位差，即主結構速度與TMD等效作用力的相位差，這兩種情況是等效的。那么主結構參數與TMD參數一旦確定，其相位差便可求得，并且利用相位差與能量的關系還可求得TMD系統的等效阻尼比。

在穩態運動的一個自振周期內，當TMD系統的相位差為180°時，TMD對主結構完全做負功，即阻礙主結構的運動；當相位差為0°時，對主結構完全做正功，起放大主結構運動作用；當相位差為90°時，在一個循環內對主結構所做的正負功相互抵消，基本不放大也不減小主結構的響應，這從“3.1”中的分析也可論證：質量比較小時相位差90°左右為有效控制區段的分界點。由于TMD等效作用力做功與相位差有關，本文將TMD做功原理稱為相能原理，以下為這一原理的推導：

當TMD控制系統基底受到某一正弦激勵，為方便分析可令相位平移后的主結構穩態速度為

(10)

取θ為主結構速度與TMD等效作用力的相位差，穩態時的TMD等效作用力為

Fe=Fsin(ωt+θ)

(11)

當相位差θ=00，TMD等效作用力做功表示如下：

(12)

當相位差θ不為0，TMD等效作用力做有效功表示如下：

(13)

這就推出相能原理公式，TMD等效作用力做功為相位差余弦值與相位差為0時的等效作用力做功之積。利用相能公式即可論證上述相位差在0°、90°、180°的做功情況。公式表明TMD系統對主結構的控制作用依賴于相位差，因為TMD的有效功與相位差有關，而有效功對消耗主結構振動能量起著重要作用。因此調節好相位差是TMD系統良好控制與魯棒性控制的重要保證。

基底受到到正弦激勵時TMD等效作用力

(14)

有效功表達式

m2πω2(A2A3-A1A4-pA1)

(15)

主結構耗能(Ed),無控結構耗能(Ed0):

(16)

(17)

根據能量等效原則，TMD的附加粘性阻尼比的確定

(18)

于是TMD控制系統的總等效阻尼比：ξeq=ξ1+ξa，其中ξ1為主結構阻尼比。

為確定此方法的有效性，可根據文獻[13]的的方法求出等效阻尼比對比，通常假設地震或風作用為白噪聲激勵，通過分析主結構方差求出的等效阻尼比。本文取Luft[14]假定地震激勵為白噪聲時的擬合出的等效阻尼比作對比:

(19)

作出TMD等效阻尼比及其幅值、能量的關系見圖7。圖7(a)中按白噪聲激勵下的等效阻尼比為定值0.041，不能真正的反映TMD的等效阻尼比，因為TMD對主結構的減震效果受外激勵頻率的影響，在最優頻率比處減震效果最好，其等效阻尼比最大，而在失效時有放大作用，此時等效阻尼比應小于原主結構的阻尼比；

圖7　TMD等效阻尼比與幅值、能量關系Fig.7 Equivalent damping of TMD vs amplitude or energy of structure

但從圖7(a)可知，采用能量進行等效時，可以體現結構在不同頻率比處有不同的等效阻尼比，更符合實際情況，而白噪聲等效阻尼比并未反映出與外激頻率比的關系。

圖7(b)是正弦激勵下的反應幅值，取白噪聲等效阻尼比時的幅值，在最優頻率比處并未反映TMD系統最佳減震的情況，僅右端失效處重合；當采用能量等效阻尼比時，在左端失效處與TMD系統基本一致，在最優頻率比處的等效阻尼比也可正好的反應了實際情況，僅右端處比實際幅值大，但這說明此方法在此處是偏于保守的。圖7c的結構耗能關系上，可看出能量等效阻尼比和實際的TMD系統主結構的耗能基本吻合，這可由能量等效的原理解釋，但白噪聲下的等效阻尼比和實際的TMD系統的主結構的耗能相差甚遠。因此，總體上能量等效的阻尼比在分析實際TMD系統時能夠更好地體現其特性。但在時域分析時由于要考慮頻率特性會受到限制，不過可以通過求取瞬時頻率來得到不同時段下的響應。

4結論

本文通過推導TMD系統的相位公式，研究了各參數對相位差和控制效果的影響規律；提出了相能原理，結合能量耗散相等原理推導了不同激勵頻率比下的等效阻尼比。經過分析有以下結論：

(1)主結構周期對相位差無影響；主結構阻尼比增大時，可增加接近1800區域的頻段。在確定合適質量比后最優頻率比與最優阻尼比在主結構共振處有最好減震效果。

(2)TMD質量比的增大不僅有助于增加控制效果，而且可增加頻域內的控制魯棒性。

(3)基于相位差結合能量耗散相等推導出TMD等效阻尼比，分析結果表明，該數值比白噪聲激勵下得到的等效阻尼比更加符合TMD系統的實際情況。

參考文獻

[1]Den Hartog J P. Mechanical Vibrations[M].4thed. NY: McGraw Hill 1956.

[2]Sadek F M, Ohraz B T, Aylor A W, et al. A method of estimating the parameters of tuned mass dampers for seismic applications[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1997,26(6): 617-635.

[3]Rana R,Soong T T. Parametric study and simplified design of tunedmass dampers[J]. Engineering Structures,1998(20):193-204.

[4]譚平，卜國雄，周福霖. 帶限位TMD的抗風動力可靠度研究[J]. 振動與沖擊，2009,28(6):42-59.

TAN Ping, BU Guo-xiong, ZHOU Fu-lin. Study on wind-resistant dynamic reliability of TMD with limited spacing[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009,28(6):42-59.

[5]黃瑞新，李愛群，張志強等. 北京奧林匹克中心演播塔TMD風振控制[J]. 東南大學學報:自然科學版，2009,39(3):519-524.

HUANG Rui-xin, LI Ai-qun, ZHANG Zhi-qiang,et al.TMD vibration control of beijing olympic center broadcast tower under fluctuating wind load[J]. Journal of Southeast University:Natural Science Edition, 2009,39(3):519-524.

[6]歐進萍，王永富. 設置TMD、TLD控制系統高層建筑風振分析與設計方法[J]. 地震工程與工程振動，1994,14(2):61-75.

OU Jin-ping, WANG Yong-fu. Wind induced vibration analysis and design methods of tall buildings with tuned mass dampers or tuned liquid dampers[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 1994,14(2):61-75.

[7]李春祥，劉艷霞,王肇民. 質量阻尼器的發展[J]. 力學進展，2003,33(2):194-206.

LI Chun-xiang, LIU Yan-xia, WANG Zhao-min. A review mass dampers[J]. Advances in Mechanics, 2003,33(2):194-206.

[8]李創第，黃天立，李暾,等. 帶TMD結構隨機地震響應分析的復模態法[J]. 振動與沖擊，2003,22(1):36-39.

LI Chuang-di, HUANG Tian-li, LI Tun, et al. The complex modal methods for analysis of random earthquake response of structure with TMD[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003,22(1):36-39.

[9]Soong T T, Dargush G F. Passive energy dissipation systems in structural engineering[M]. John Wiley&Sons Chichester,New Yark: l 997.

[10]張俊平,禹奇才,周福霖. 結構振動控制的兩個理論問題[J]. 地震工程與工程振動，2000,20(1):125-129．

ZHANG Jun-ping, YU Qi-cai, ZHOU Fu-lin. Two theoretical problems in structural vibration control[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2000,20(1):125-129．

[11]張力. 導管架海洋平臺冰激振動控制的實驗研究[D]. 大連:大連理工大學, 2008.

[12]葛曉明, 范存新, 劉雯彥. TMD參數對高聳結構風振控制的影響[J]. 世界地震工程，2001,17(2):123-127．

GE Xiao-ming, FAN Cun-xin, LIU Wen-yan. Effect of TMD parameters on the wind vibration control of high rise buildings[J]. Word Information on Earthquake Engineering, 2001,17(2):123-127．

[13]瞿偉廉, 陶牟華, CHANG C C. 五種被動動力減振器對高層建筑脈動風振反應控制的實用設計方法[J]. 建筑結構學報，2001, 22(2): 30-34．

QU Wei-lian, TAO Muhua, Chang C C. Practical design method for effect of five kings of passive dynamic absorbers on fluctuation wind-induced vibration response control of tall buildings[J]. Journal of Building Structure, 2001, 22(2): 30-34．

[14]Luft R W.Optimal tuned mass dampers for buildings[J].Journal of the Structural Division(ASCE),1979,105(12):2766-2772．