土-結構動力相互作用下網架結構簡化分析方法研究

劉　毅，薛素鐸，李雄彥，王國鑫

(北京工業大學空間結構研究中心，北京　100124)

第一作者劉毅男，博士生，1986年生

土-結構動力相互作用下網架結構簡化分析方法研究

劉毅，薛素鐸，李雄彥，王國鑫

(北京工業大學空間結構研究中心，北京100124)

摘要：根據不同學者有關地基動力阻抗的計算公式，結合整體有限元法，從工程應用出發對S-R(Swing-Rocking)模型進行修正，提出適用于分析土-結構動力相互作用下大跨空間結構的簡化計算方法。基于修正的S-R模型建立土-網架結構動力相互作用的計算模型，與已驗證的三維整體有限元(3-D)模型進行對比分析。研究表明，根據修正S-R模型計算所得土-網架結構相互作用體系的自振特性和地震響應與已驗證的3-D模型結果呈現出完全一致的規律性且吻合較好，從而驗證了修正S-R模型的合理性；在不同地震波作用下，采用Gazetas提出的地基動力阻抗公式建立的土-網架結構相互作用體系中網架節點最大位移和峰值加速度與已驗證的3-D模型結果最大誤差不超過8.0%，結構桿件內力最大誤差不超過10%，表明Gazetas提出的地基動力阻抗公式更適用于分析土-大跨空間結構動力相互作用問題，且具有較好的精度。

關鍵詞：網架結構；土-結構動力相互作用；修正S-R模型；自振特性；地震響應

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51078010，51278008)；北京市自然科學基金資助項目(8112005)

收稿日期：2014-03-10修改稿收到日期：2014-05-29

通信作者薛素鐸男，教授，博士生導師，1959年生

中圖分類號:TU311.3

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.014

Abstract:Based on the foundation dynamic impedance calculation formulas suggested by different scholars, the S-R (swing-rocking) model was modified by combining with the integral finite element method and starting from the view point of engineering application. The practical simplified calculation method suitable for the soil-structure dynamic interaction analysis of long-span spatial structures was proposed. Then, the model of soil-grid structure interaction was established according to the modified S-R model, and the three-dimensional finite element model verified was also established for a comparative analysis. The study showed that the natural vibration properties and seismic response of the soil-grid structure interaction model based on the modified S-R model reveal same regularities and agree well with those of the 3-D FE model, the rationality of the modified S-R model is verified; the nodal maximum displacement error and peak acceleration error of the soil-grid structure interaction system established with the foundation dynamic impedance calculation formulas proposed by Gazetas are less than 8.0%, and the maximum stress error of members is less than 10% compared with those obtained with the 3-D FE model under different seismic waves; thus the foundation dynamic impedance calculation formulas proposed by Gazetas are more suitable for the analysis of soil-large span spatial structure interaction and have a higher precision.

Simplified analysis method of grid structure considering soil-structure dynamic interaction

LIUYi,XUESu-duo,LIXiong-yan,WANGGuo-xin(Spatial Structures Research Center, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Key words:grid structure; soil-structure dynamic interaction; modified S-R model; natural vibration properties; seismic response

近些年，隨著社會的發展和生活水平的提高，人們對生活空間要求越來越高，大跨空間結構由于結構受力合理，整體性和穩定性好，抗震性能好且造型美觀，已被工程師們廣泛應用于火車站房、工業廠房、飛機庫、體育場和歌劇院。然而，由于大跨空間結構自身的復雜性和特殊性，以及抗震設計中軟件的局限性，在抗震設計中常將上部屋蓋結構、下部支承結構、基礎及地基分開設計，這種設計方法的缺陷和不足已在1995年日本阪神地震[1]、2008年汶川大地震[2]等數次地震中體現出來。因此，對大跨空間結構土-結構動力相互作用問題的研究是極其必要的。

鑒于結構地震反應的觀測及震后調查研究，人們逐漸認識到土-結構動力相互作用問題的重要性，并針對不同土質[3-4]、基礎類型[5-6]及結構形式[7-8]提出多種分析方法和計算模型。其中比較常用的模型有S-R模型、有限元模型、并列質點系模型、子結構模型、混合元模型等，不同的計算模型有其自身實用性及缺陷，用于考慮土-大跨空間結構的抗震驗算未必合適。S-R模型[9]簡單、實用，是用于分析土體對上部結構地震反應影響的有效方法，但難以得到嚴格的精確解；有限元模型[10]可以用于處理較復雜的結構形式和場地特性，而且可以處理土的非線性問題，能真實的反應大跨空間結構與土體相互作用的實際工作狀態，且計算結果具有較好的穩定性與收斂性，但此方法需要高性能計算機，耗時多；并列質點系模型[11]難以處理較復雜的地形且土體的非線性用近似方法處理，難以得到精確解；子結構法[12]僅能適用于線性或等效線性的分析；混合元模型[13]計算精度高，適應范圍廣泛，但其涉及多種方法，難以掌控。

針對大跨空間結構土-結構相互作用的問題已有少數學者做過初步研究。孫艷坤等[14]采用集總參數法，將土體簡化為彈簧-阻尼器體系，分析考慮土-結構相互作用下網架結構的地震響應，研究表明只要基礎滿足剛度和變形的要求，基于剛性假定的網架結構抗震設計方法是偏于安全的；王國華等[15]在其基礎上分析了考慮土-結構相互作用下單層球面網殼結構的動力穩定性，研究指出考慮土-結構相互作用條件下單層球面網殼結構的動力穩定臨界荷載有所下降，結構的變形和塑性有所增大；欒小兵[16]也是采用集總參數法研究土-結構相互作用下網殼結構在近場和遠場地震作用下的地震響應；但以上分析中只是將單一學者的土體阻抗函數應用到數值計算中，研究方法過于單一，且未探討所選取阻抗公式對大跨空間結構土-結構相互作用問題的適用性，所建立模型缺少三維實體模型驗證和相應的試驗驗證。邸龍[17]采用有限元法對土體進行三維實體建模，以等效線性法模擬土體的非線性，研究了考慮土-結構相互作用下的雙層柱面網殼結構在多點輸入下的地震響應，指出多點輸入的結構位移小于一致輸入；研究中雖建立三維實體有限元模型，但未能考慮人工動力邊界對地震波的輻射和散射效應及三維實體模型的簡化計算問題。唐敢[18]采用有限元法，以透射人工邊界模擬地基無限域，建立包含土、基礎、空間結構在內的整體三維模型，通過正放四角錐網架探討了三維時域直接分析方法的合理性；但該方法未考慮土體的地應力平衡問題，只是論證所建三維時域算法的可行性，未對網架結構動力性能進行具體討論，也未提出應用性的結論。

從以上研究可以看出，現有對于土-大跨空間結構相互作用問題的研究缺陷主要概括為以下幾方面： ①缺少必要的三維實體有限元模型和試驗驗證；②研究方法過于單一，缺少不同方法之間的對比論證；③未針對土-大跨空間結構相互作用問題提出合理、高效的算法。針對第①方面文獻[19]中結合ABAQUS和FORTRAN程序用整體有限元法建立了網架結構三維實體模型(3-D模型)，分析土-結構相互作用下網架結構的動力性能，整體有限元分析過程的合理性和相關程序的正確性已結合盧華喜等[20]所做的試驗在文獻中進行了詳細驗證。然而，采用整體有限元法計算3-D模型時計算周期≈3.5d，相當耗時，不便于工程師應用。因此，研究適合于分析土-大跨空間結構相互作用問題的合理、高效算法勢在必行。

針對第②、第③方面的問題，基于不同學者提出的關于地基土的動力阻抗公式，從便于工程應用出發對S-R模型進行修正，通過修正的S-R模型建立土-網架結構動力相互作用的簡化計算模型，與采用整體有限元法建立的3-D模型進行對比分析，并結合剛性地基假定模型(R-F模型)，通過對不同網架結構計算模型的自振特性及Kobe波和Northridge波作用下的網架結構節點位移、加速度、桿件內力的對比，驗證修正S-R模型的正確性和合理性，將各學者的不同地基動力阻抗公式對于修正模型的適用性和精確度進行對比甄選，探究最適用于分析土-大跨空間結構相互作用的地基動力阻抗公式，給出分析土-大跨空間結構動力相互作用的實用、高效計算方法，以便于工程師們應用。

1修正S-R模型

S-R模型是研究土-結構相互作用的有效方法之一，S-R模型是一種通過在結構基礎部位分別設置與基礎平動和轉動有關的水平彈簧KH和轉動彈簧KR模擬地基土的較為簡單的計算模型。但該模型對于高階振型的計算精度不高，而大跨空間結構由于跨度大、結構較柔、頻譜密集，尤其是振型很復雜[21]，且在高階振型中豎向振型較顯著。雖有部分學者在高層建筑[22]、橋梁結構[23]、風力發電塔[24]中對該模型進行過直接應用，但不能滿足大跨空間結構對于高階振型及豎向動力特性的需求，不能直接用于大跨空間結構抗震驗算。今對S-R模型在計算大跨空間結構所存在的缺陷和不足，對S-R模型進行修正。

圖1　修正S-R模型參數Fig.1 Modified swaying-rocking model parameter

對于置于土體中的基礎見圖1(a)，L為基礎底面半長度；B為基礎底面半寬度。在地震動作用下，基礎將會產生分別沿X、Y向的水平滑動、沿Z的豎向振動、繞X、Y軸的轉動、繞Z軸的扭轉等六種運動模式。根據彈性半空間理論地基反力可表示為：

(1)

修正的S-R模型見圖1(b)，以彈簧剛度系數K來模擬地基剛度，利用阻尼系數D模擬土體輻射和散射作用，將基礎的六種運動模式分別以動力阻抗函數形式明確給出，不是簡單籠統的一個水平彈簧和一個扭轉彈簧，而是將X、Y、Z方向分別以四個參數值給出。豎向Z為豎向阻抗KVZ、DVZ及繞Z軸扭轉阻抗KTZ、DTZ；水平X向為水平阻抗KHX、DHX及繞X軸轉動阻抗KRX、DRX；水平Y向為水平阻抗KHY、DHY及繞Y軸轉動阻抗KRY、DRY。圖2給出土-大跨空間結構相互作用的簡化計算模型。

圖2　大跨空間結構簡化計算模型Fig.2 Simplified mathematical model of long-span spatial structure

2地基阻抗函數及模型參數

2.1地基阻抗

修正S-R模型中基礎有六種運動模式，修正S-R模型的關鍵在于土體阻抗函數公式的選取。為探究最適用于修正S-R模型的地基動力阻抗函數，今對不同學者提出的土體阻抗函數計算公式進行整理匯編。Newmark和Resenblueth[25]提出的阻抗函數公式見表1，記為S-R-Ⅰ模型；

表1(a)　S-R-Ⅰ模型地基阻抗

表1(b)　參數CS、CT、Kφ

注：1.A為基礎底面面積，ρ為土體的密度，υ為土體的泊松比，G為土體的剪切模量，r0為圓形基礎半徑，E為土體彈性模量，I為繞基礎底面的慣性矩，J為繞基礎底面的截面極慣性矩；

Pais和Kausel[26]整理提出的阻抗函數公式見表2，記為S-R-Ⅱ模型；Gazetas[27]整理提出的阻抗函數公式見表3，記為S-R-Ⅲ模型。基于修正的S-R模型，根據表1～表3給出的地基阻抗函數公式求出土體的動力阻抗，并按圖2所示模型分別建立土-網架結構相互作用簡化計算模型。同時建立相應的剛性地基假定模型，記為R-F模型，作為對比模型；采用整體有限元法建立相應的三維實體模型，記為3-D模型。

表2　S-R-Ⅱ模型地基阻抗

注：1.A為基礎底面面積，υ為土體的泊松比，G為土體的剪切模量，VS為剪切波速，VLa為土體的等效波速，E為土體彈性模量；

表3　S-R-Ⅲ模型地基阻抗

注： 1.A為基礎底面面積，ρ為土體的密度，υ為土體的泊松比，G為土體的剪切模量，VS為剪切波速，Ibx、Iby為繞基礎底面X、Y軸的慣性矩，Ibz為繞基礎底面的截面極慣性矩；

3. 地基動剛度系數kd，地基動阻尼系數cd根據文獻[28]查圖可得。

2.2大跨屋蓋及支承結構參數

根據文獻[18]建立網架結構動力相互作用模型，此模型為大型多功能廳，屋蓋形式為四點柱支承正放四角錐網架，屋蓋投影面積24 m×24 m，柱網21 m×21 m，挑檐1.5 m，網格3 m×3 m，網架高度2.121 m，柱高8 m。桿件截面選為42.5mm×3.5 mm、60mm×3.5 mm、88.5mm×4 mm，鋼管柱截面800mm×20 mm。鋼材選用Q235，密度為7 800 kg/m3，泊松系數為0.2，彈性模量為2.06×1011Pa。網架屋蓋自重取0.3 kN/m2，吊頂荷載為0.15 kN/m2，屋面活荷載按不上人屋面取為0.5 kN/ m2，雪荷載0.3 kN/ m2。所建正放四角錐網架屋蓋模型見圖3。

圖3　網架結構模型Fig.3 Grid structure model

2.3基礎及土體參數

采用鋼筋混凝土獨立基礎，長×寬×高尺寸為3 m×3 m×3 m，混凝土彈性模量取為3.25×1010Pa，質量密度為2 500 kg/m3，泊松比為0.167。土體模型采用Mohr-Coulomb條件，土體的剪切波速為328 m/s2，土體的密度1 980 kg/m3，土體的泊松比為0.42，土體的阻尼比取為0.14，粘聚力為21kPa，內摩擦角為25°，土與基礎間的摩擦系數為0.3。

3修正S-R模型下網架結構自振特性分析

網架屋蓋常見的振型有豎向振型、水平振型及少數的近似豎向振型。在3-D模型中，由于網架結構體系地基土剛度與上部結構剛度相比較柔，其振型多以土體的振型為主，且振型相當密集；網架屋蓋的振型相對不明顯，高階振型少見。表4給出剛性地基假定下R-F模型、3-D模型及修正S-R模型下網架屋蓋的前幾階振型及對應的自振頻率。

表4　網架屋蓋自振頻率

由表4中五類數值計算模型下網架屋蓋的自振頻率可以看出：

(1)考慮土-結構相互作用下網架結構的自振周期較剛性地基假定下延長；

(2)修正的S-R模型對土-網架結構相互作用體系的振型和自振頻率的模擬結果，能較好的與已在文獻[19]驗證過的3-D模型和R-F模型結果吻合，且呈現出一致的變化規律。

(3)S-R-Ⅲ模型模擬結果更接近于已驗證的3-D模型的自振頻率，說明Gazetas整理提出的阻抗函數公式相對精度更高，更適用本文修正的S-R模型。

綜上可知，修正簡化模型能很好的模擬網架結構的自振特性，同時S-R-Ⅲ模型具有較高的精度。

4修正S-R模型下網架結構地震響應分析

4.1輸入地震動參數

為研究修正S-R模型對土-結構相互作用下網架結構地震響應的適用性和精確度，同時甄選出分析大跨空間結構土-結構相互作用更為合理的地基土動力阻抗函數，今選取具有代表性的日本Kobe波及美國Northridge波加速度記錄作為地震動輸入，并對五類計算模型下網架結構的地震響應進行分析。地震動截取能反映波動特性前20s時程進行輸入[29]，并將峰值加速度調整為0.7 m/s2。輸入地震波的加速度時程曲線見圖4。

圖4　不同地震波加速度時程曲線Fig.4 Acceleration time history cure of different waves

4.2網架節點加速度和位移響應

圖5～圖6為五類計算模型下網架屋蓋上弦中心節點(圖3所示N)的加速度和位移時程曲線(右上角為最大值出現附近局部放大圖)；表5為五類計算模型下網架屋蓋上弦中心節點加速度峰值和位移最大值的對比，表中誤差表示修正S-R模型中節點加速度峰值和位移最大值與3-D模型中節點加速度峰值和位移最大值的差值百分比。由圖5～圖6和表5可知：

(1)在不同地震作用下，修正S-R模型的節點加速度時程曲線和位移時程曲線與已驗證的3-D模型呈現出一致的變化規律，其中S-R-Ⅲ模型結果與已驗證的3-D模型結果最為接近，節點加速度峰值誤差在8.0%之內，節點位移最大值誤差不超過7.0%，考慮到土體離散性及非線性明顯，可認為本文提出的簡化模型是合理的，且具有較好的精度。

(2)在地震作用下，土-結構動力相互作用使得網架結構節點位移和節點加速度響應較剛性地基假定下的響應增大，對網架結構抗震是不利的。

(3)在輸入相同大小的地震動情況下，在Kobe波及Northridge波作用下網架結構節點加速度和位移響應是不同的，這是由不同地震波的頻譜特性差異所引起的。

圖5　Kobe波作用下節點N加速度和位移響應Fig.5 Acceleration and displacement of node N under Kobe wave

圖6　Northridge波作用下節點N加速度和位移響應Fig.6 Acceleration and displacement of node N under Northridge wave

地震波KobeNorthridge計算模型加速度/(m·s-2)位移/mm加速度/(m·s-2)位移/mmR-F模型1.51346.6161.59913.7793-D模型3.22390.6173.56229.626S-R-Ⅰ模型1.92051.6992.40220.675誤差(%)40.4342.9532.5730.21S-R-Ⅱ模型2.83460.1502.92824.901誤差(%)12.0733.6217.8015.95S-R-Ⅲ模型3.15684.2883.29827.679誤差(%)2.086.987.416.57

4.3網架結構桿件內力

為研究網架結構桿件在修正S-R模型與已驗證3-D模型中的內力，表6為在Kobe波和Northridge波作用下五類數值計算模型中網架屋蓋上弦桿、腹桿、下弦桿的最大應力，表6中誤差表示修正S-R模型中網架屋蓋桿件最大應力與3-D模型的網架屋蓋桿件最大應力的差值百分比。由表6可知：

表6　網架屋蓋桿件最大應力(MPa)

(1)在不同地震作用下，三類土-網架結構相互作用的簡化模型的桿件內力均大于剛性地基假定模型下桿件內力，且與3-D模型呈現一致的變化規律。表明本文修正S-R模型是合理的，能較好的模擬土-結構相互作用下的大跨空間結構的地震響應。

(2)S-R-Ⅲ模型中屋蓋上弦桿、腹桿、下弦桿的內力結果與已驗證的3-D模型結果最為接近，最大誤差不超過10%，考慮到土體離散性、非線性明顯，可認為此計算精度已滿足數值模擬的要求。

(3)在地震作用下，考慮土-結構相互作用下網架結構的桿件內力較剛性地基假定下桿件內力增加，不利于網架結構抗震設計。

(4)在輸入相同大小的地震動情況下，在不同地震波作用下，考慮土-結構相互作用下網架結構桿件的內力不同，這是由于不同地震波的頻譜特性所引起的。

綜上可知，修正簡化模型能很好的模擬土-結構相互作用下網架結構的地震響應，同時S-R-Ⅲ模型具有較高的精度。

5結論

本文通過對傳統的S-R模型進行修正，提出一種適用于分析土-網架結構相互作用的簡化計算方法，以便于工程應用。修正的S-R模型中地基土簡化為與土體參數有關的動力阻抗，將不同學者提出的土體阻抗函數用于修正模型中，通過與已驗證過的3-D模型中網架結構的自振特性和地震響應的對比分析，得出以下結論：

(1)修正S-R模型能夠較好的模擬土-結構相互作用下網架結構的自振特性和地震響應，其模擬結果與3-D模型吻合較好，呈現出完全一致的變化規律，表明本文提出的修正S-R模型是合理的，能較好的解決土-大跨空間結構動力相互作用問題。

(2)修正S-R模型的關鍵在于土體動力阻抗的選取，通過對網架結構的自振特性及不同地震波作用下的網架結構節點位移、加速度及桿件內力的對比分析，對不同學者提出的土體動力阻抗進行了甄選。其中，Gazetas學者整理提出的土體動力阻抗函數公式更加適用于修正的S-R模型(S-R-Ⅲ)，而且具有較高的精度，其網架結構節點峰值加速度誤差在8.0%之內，節點位移最大值誤差不超過7.0%，桿件內力最大誤差不超過10%。

(3)修正S-R模型使得土-結構相互作用下網架結構地震響應分析時的計算效率得到明顯提高，3-D模型計算周期≈3.5 d，而采用簡化的計算模型≈2.5 h。

(4)考慮土-結構相互作用下網架結構較剛性地基假定下自振周期延長，網架節點加速度、位移和桿件內力增大，不利于網架結構抗震設計。

大跨空間結構土-結構相互作用問題數值分析的關鍵在于如何選用合適的計算模型，使計算過程簡單、高效。本文提出的修正S-R模型能夠較好的研究土-大跨空間結構動力相互作用下的自振特性及地震響應，不僅能夠有效的避開3-D模型中的諸多難點(例如人工邊界條件、地震動輸入、土體地應力平衡、計算耗時長)，而且文中甄選出的土體阻抗函數(S-R-Ⅲ模型)便于工程師們直接采用，對于指導土-大跨空間結構相互作用的抗震設計具有重要的意義。

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