分段函數常見題型及求解策

潘麗明

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）01-311-02

若函數在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用幾個式子來表示函數，這種形式的函數叫分段函數。分段函數是一類重要的函數。它不僅形式獨特，而且應用廣泛，是高考的常見題型。下面結合近年高考題對分段函數的常見題型以及解題方法進行歸納總結。

題型一、求函數值

解題策略：先弄清自變量所在區間，將所求函數的自變量引導到已給定分段函數的定義域上代入對應的解析式求值。

例1：設

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【解析】：f（f（2））=f（1）=2，選C

題型二、求分段函數的解析式

解題策略：已知一個分段函數在某一區間上的解析式，根據函數性質求出在另一區間上的解析式。

例2：已知函數f（x）為R上的奇函數，當 時， 若 ，則實數 =_____________.

【解析】：先求 的解析式，再求 的值。

當時 時， ， 。

又 為奇函數， ，從而 。

所以 。 時， ， 。 ，解得 或 （舍） 。

題型三、求方程的解

解題策略：常采用代入法，求出各區間上的解，然后綜合其解即得原方程的解

例3：（2009北京文）已知函數 若 ，則

【解析】由 或 無解，故應填 .

【解析】畫圖由圖像易知交點共有3個。

題型四、分段函數的單調性問題

解題策略：借助分段函數圖像的直觀性，可直接求出數的單調區間或判斷出函數的單調性

例4：求函數 的單調遞增區間。

【解析】：畫出分段函數的圖像，易得單調遞增區間為 。

題型五、求分段函數的最值

解題策略：求分段函數的最值常用兩種方法。一種是先求出函數在各段上的最值，通過比較取其中的最大值；另一種是數形結合作出函數的圖像，觀察圖像即可得到。

例5：（2006浙江卷）對a，b R，記max|a，b|= 函數f（x）=max||x+1|，|x-2||（x R）的最小值是 .

【解析】：由 ，故 ，其圖象如圖，則 。

題型六：求不等式的解集

解題策略：此類題常用分類的方法，把所求不等式化為分段的幾個不等式，取各不等式解集的交集即可

例6：（2009北京理）若函數 則不等式 的解集為____________.

【解析】本題主要考查分段函數和簡單絕對值不等式的解法. 屬于基礎知識、基本運算的考查.

（1）由 .

（2）由 .

∴不等式 的解集為 ，∴應填 .

題型七：判斷函數的奇偶性

例7：判斷函數 的奇偶性

【解析】當 時， ；

當 時， ；

時， ，也有 。所以，對任意

都有 ，故 為奇函數。

題型八、分段函數的連續性

例8：（2009四川卷理）已知函數【解析】由 ， ，由函數的連續性在一點處的連續性的定義知 ，可得 .故選B