一類特殊類型的Riccati方程的求解

張 瑋 瑋

(安慶師范學院 數學與計算科學學院， 安徽 安慶 246133)

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一類特殊類型的Riccati方程的求解

張 瑋 瑋

(安慶師范學院 數學與計算科學學院， 安徽 安慶 246133)

摘要：Riccati方程在常微分方程中占有重要的位置。然而，對于一般形式的里卡蒂方程通解的求解一般沒有初等解法，其解無法用初等函數或其積分表示。本文討論了一類特殊類型的里卡蒂方程解的求解方法，并得出了其通解的公式，最后舉例說明求這類方程的通解。

關鍵詞：微分方程； 里卡蒂方程；特殊；通解

非線性微分方程在理論和實踐中有著極其廣泛的應用，而且越來越引起人們的研究興趣。但是，求解非線性微分方程問題，卻往往是很困難的。眾所周知的里卡蒂(Riccati)方程：

(1)

在微分方程理論中占有重要的位置[1-4]。事實上，能有初等解法的微分方程是很有限的，對于形式上很簡單的Riccati方程一般沒有初等解法。

但是，對于一些特殊類型的里卡蒂方程，譬如：在方程(1)中，若R(x)=0，則方程(1)變為伯努利方程，可以通過初等積分求其通解。若Q(x)=aP(x),R(x)=bP(x)，a,b為常數，則方程(1)變為

(2)

方程(2)為變量分離方程，可以通過初等積分求出其通解。

對于一般的Riccati方程的求解，法國數學家Liouville在1841年證明了，其解無法用初等函數或其積分表示。然而，若能找到方程(1)的一個特解，則可以適當的經過變換后，方程(1)就可以通過初等解法來求其通解。

(3)

則(3)式變為：

此方程為關于z的伯努利方程。

從引理中可以發現，只要找出方程(1)的一個特解，就可以利用初等積分的方法求出其通解。然而對于方程(1)的一個特解并不是很容易求出，現在就一類特殊的情況加以討論。

左端：

右端：

P(x)y2+Q(x)y+R(x)=

P(x)(∫R(x)dx)2-P(x)∫R(x)dx·∫R(x)dx+R(x)=R(x)

下面通過幾個例子來說明本文所得結果。

解這里的P(x)=1,Q(x)=-x,R(x)=1，滿足定理的條件。

解將原方程變形為：

解得

其中C為任意常數,所以原方程的通解為

其中C為任意常數。

參考文獻:

[1] 王高雄，周之銘，等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2006:39-46.

[2] 王懷榮，伍卓群.常微分方程講義[M].北京：人民教育出版社， 1963:44-56.

[3] 尤秉禮.常微分方程補充教程[M]. 北京: 高等教育出版社， 1981:32-41.

[4] 中山大學數學力學系常微分方程組. 常微分方程[M]. 北京: 人民教育出版社，1978:56-72.

Discussion on the General Solutions of the Special

Riccati Ordinary Differential Equations

ZHANG Wei-wei

(School of Mathematics and Computation Science，Anqing Normal University，Anqing，Anhui 246133，China)

Abstract:Riccati equation is an important equation in the ordinary differential equations. However, for the soltions of the general Riccati ordinary differential equations, there is no elementary solution. The solution cannot be expressed in elementary function or integral. The general solutions of a special Riccati ordinary differential equations are discussed, and the formula of the general solution was obtained. Examples are given to illustrate the effectiveness in the end.

Key words:ordinary differential equations, Riccati, special, the general solutions

文章編號：1007-4260(2015)02-0110-02

中圖分類號：O175.1

文獻標識碼：A

作者簡介：張瑋瑋，男，安徽桐城人，碩士，安慶師范學院數學與計算科學學院講師，研究方向為微分方程及其應用。

基金項目：安徽省高等學校省級教學研究項目(2012jyxm364)和安徽省高校自然科學研究一般項目(AQKJ2014B012)。

收稿日期：2014-11-20