具有階段結(jié)構(gòu)的Holling-Tanner捕食系統(tǒng)的持久性與概周期解

林 雪 如

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116)

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具有階段結(jié)構(gòu)的Holling-Tanner捕食系統(tǒng)的持久性與概周期解

林 雪 如

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116)

摘要：本文研究一類具有階段結(jié)構(gòu)的非自治Holling-Tanner系統(tǒng)，考慮了食餌種群具有年齡階段結(jié)構(gòu)，得到了系統(tǒng)一致持久生存和最終絕滅的充分條件，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，得到了概周期解的存在唯一性的充分條件，最后通過數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證系統(tǒng)的一致持久生存。

關(guān)鍵詞：階段結(jié)構(gòu)；一致持久生存；絕滅性；概周期解

對(duì)食餌-捕食者系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的研究是種群動(dòng)力學(xué)模型研究中的一個(gè)非常重要的課題[1-8]。文獻(xiàn)[1]在Leslie模型中引進(jìn)功能性反應(yīng)函數(shù)p(x)，得到了具有Holling-Tanner功能性反應(yīng)的Leslie捕食與被捕食模型

(1)

其中x(t)，y(t)分別表示食餌和捕食者在時(shí)刻t的密度，a表示食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，a/b表示食餌種群的容納量，s>0是捕食者種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，x/h為捕食者種群的容納量，與食餌種群的大小成比率，h為食餌轉(zhuǎn)化為捕食者的度量。

(2)

在自然界中，物種的生長(zhǎng)常常有一個(gè)成長(zhǎng)發(fā)育的過程，如從幼年種群到成年種群等，而且在成長(zhǎng)的每一階段都會(huì)表現(xiàn)出不同的特征，比如，幼年種群沒有生育、捕食能力、生存能力和成年種群競(jìng)爭(zhēng)有限資源的能力都比較弱，容易死亡，難以作大區(qū)域的遷徙等，而成年種群則擁有較強(qiáng)的生存能力和捕食能力等，因此考慮具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型更具有實(shí)際意義[2,5-8]。

本文擬在系統(tǒng)(2)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮食餌種群具有階段結(jié)構(gòu)的非自治Holling-Tanner系統(tǒng)

(3)

其中x1(t)，x2(t)分別表示幼年和成年食餌在時(shí)刻t的密度，y(t)表示捕食者在時(shí)刻t的密度，a1表示成年食餌種群的出生率，b1表示幼年食餌種群向成年食餌種群轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化率，c1，c2分別表示幼年和成年食餌種群的死亡率，d1，d2分別表示幼年和成年食餌種群的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)率，s(t)是捕食者種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，x2(t)/h為捕食者種群的容納量，與成年食餌種群的大小成比率，h(t)為食餌轉(zhuǎn)化為捕食者的度量。假設(shè)參數(shù)a1(t)，b1(t)，s(t)，h(t)，μ(t),ci(t)，di(t)，(i=1,2)，t∈[0,+∞)都是連續(xù)有界、嚴(yán)格正的函數(shù)。

1持久性與滅絕性

為了行文方便，采用如下記號(hào)：

引理2若不等式組

(4)

成立，則系統(tǒng)(3)具有任意正初始值的解將最終一致有界。

證明令V1(t)=max{x1(t),x2(t)}，下面分兩種情形討論：

t>T1，有V1(t)≤M1。

因此，總存在T1>0，使得對(duì)任意的t>T1，都有V1(t)≤M1。

同理，可以證明總存在T2>0，使得對(duì)任意的t>T2，都有V1(t)≤M2。

取M=max{M1,M2}，可以得到：總存在T3=max{T1,T2}，使得對(duì)任意的t>T3，都有

V1(t)≤M

(5)

所以總存在T4>T3，使得對(duì)任意的t>T4，都有y(t)≤N。

再令V2(t)=min{x1(t),x2(t)}，同樣分兩種情形加以討論：

類似上面的證明，必然存在T5>T4，使得對(duì)任意的t>T5，都有V2(t)≥m1。

類似上面的證明，必然存在T6>0，使得對(duì)任意的t>T6，都有V2(t)≥m2，取m=min{m1,m2}，可以得到：總存在T7=max{T5,T6}，使得對(duì)任意的t>T6，都有

V2(t)≥m

(6)

所以總存在T8>T7，使得對(duì)任意的t>T8，都有y(t)≥n。

當(dāng)t>T8時(shí)，系統(tǒng)(3)具有正初始值的解(x1(t),x2(t),y(t))T將進(jìn)入并保持在上述緊集K={(x1(t),x2(t),y(t))T|m≤xi(t)≤M,(i=1,2),n≤y(t)≤N}內(nèi)，這就完成了引理2的證明，從而也就得到了系統(tǒng)(3)的一致持久生存的定理。

定理1如果系統(tǒng)(3)滿足條件(4)，則系統(tǒng)(3)是一致持久生存的。

2概周期解

考慮概周期系統(tǒng)x′=f(t,x),這里f(t,x)∈C(R×SB*,Rn)，SB*={x∶|x|

引理3[3]設(shè)系統(tǒng)(3)中的f(t,x)在R×Rn上有定義且對(duì)x∈Rn關(guān)于t是一致概周期的，并設(shè)系統(tǒng)(3)的解是最終有界的，此外假設(shè)存在一個(gè)定義在R×SB*×SB*上的Lyapunov函數(shù)V(t,x,y)滿足：

(1)a(‖x-y‖)≤V(t,x,y)≤b(‖x-y‖)，其中a(r)和b(r)是連續(xù)、正定、單調(diào)增加的函數(shù)；

(2)‖V(t,x1,y1)-V(t,x2,y2)‖≤{‖x1-x2‖+‖y1-y2‖}，K>0是一個(gè)常數(shù)；

則系統(tǒng)(3)在R×SB*中具有唯一概周期解，且此解是全局漸近穩(wěn)定的。

定理3如果概周期系統(tǒng)(3)滿足條件(4)和下列條件

(7)

(8)

(9)

則系統(tǒng)(3)存在唯一的正概周期解，且此解是全局漸近穩(wěn)定的。

證明由引理2可以知道K={(x1(t),x2(t),y(t))T|m≤xi(t)≤M,(i=1,2),n≤y(t)≤N}是系統(tǒng)(3)的最終有界區(qū)域.考慮系統(tǒng)(3)及其伴隨系統(tǒng)

(10)

(11)

取Lyapunov函數(shù)：

下面驗(yàn)證引理3中的三個(gè)條件：

(2)由三角不等式容易得到

(3)對(duì)V(t)沿著系統(tǒng)(11)求上右導(dǎo)數(shù)可得

3數(shù)值模擬

利用Matlab軟件從數(shù)值模擬驗(yàn)證系統(tǒng)(3)的一致持久生存性。

在系統(tǒng)(3)中，參數(shù)取值：

a1(t)=0.85，b1(t)=0.4，c1(t)=0.1，c2(t)=0.1，d1(t)=0.2，d2(t)=0.2，μ(t)=0.3，k=100，s(t)=0.8，h(t)=0.05。結(jié)果如圖1所示，說(shuō)明系統(tǒng)是一致持續(xù)生存的。

參考文獻(xiàn):

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[3] 王靜，王克.比率型-捕食者-兩競(jìng)爭(zhēng)食餌模型的動(dòng)力學(xué)行為[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004，17(2):172-178.

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[8]J.A. Cui, Y. Takeuchib. A predator-prey system with a stage structure for the prey[J]. Math. Comput. Modelling, 2006(44):1126-1132.

Permanence and Almost Periodic Solution for a Predator-Prey System with Stage-Structure

LIN Xue-ru

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China)

Abstract:In this paper, we study a nonautonomous prey-predator system with stage-structure and Holling-Tanner Ⅱ functional response. We obtain the sufficient conditions for the persistence and the extinction for the system. What's more, when the system is almost periodic, we derive the sufficient conditions for the existence and the global asymptotic stability of almost periodic solution by constructing a special Lyapunov functional. At the last, numerical simulations are presented to illustrate the permanence of the system.

Key words:stage-structure, permanence, extinction, almost periodic solution

文章編號(hào)：1007-4260(2015)02-0012-04

中圖分類號(hào)：O175.13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：林雪如，女，福建龍巖人，碩士，福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院講師， 研究方向?yàn)樯飻?shù)學(xué)、微分方程理論及其應(yīng)用。

收稿日期：2014-07-06