《兩個變量的線性相關》教學設計

張朗明

摘 要：《兩個變量的線性相關》是高中新教材人教A版必修3第二章2。3節的內容，本節課主要探討如何利用線性回歸思想對實際問題進行分析與預測.同時為以后更好地研究選修2-3第三章3。1節《回歸分析的基本思想及其初步應用》奠定基礎。

關鍵詞：線性相關；散點圖；最小二乘法；回歸分析

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）01-101-03

一、教學內容

（1）會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系；（2）了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程。

二、教學目標

（1）通過實例和類比的方法來認識現實生活中變量間存在大量的非確定性的相關關系，并利用散點圖直觀體會這種相關關系。

（2）了解最小二乘法的思想及回歸方程系數公式的推導過程，利用圖形計算器求出回歸直線的方程并對實際問題進行分析和預測，通過實例加強對回歸直線方程含義的理解。

（3）通過自主探究體會數形結合、類比、及最小二乘法的數學思想方法。

（4）通過動手操作培養學生觀察、分析、比較和歸納能力，引出利用計算機等現代化教學工具的必要性，合作交流激發學生的學習興趣。

三、教學過程

導入新課：在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題。” 我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關系是函數關系嗎？

這種說法有沒有根據呢？

好 中 差

你的數學成績

你的物理成績

請同學們如實填寫下表（在空格中打“√” ）：

設計意圖：學生通過填表和討論，體會到不能通過一個人的數學成績是多少就準確地斷定他的物理成績能達到多少。但這兩個變量是有一定關系的，它們之間是一種不確定性的關系。如何通過數學成績的結果對物理成績進行合理估計有非常重要的現實意義。為很好地說明上述問題，引導學生學習變量之間的相關關系和兩個變量的線性相關。

[問題1]下列兩個變量之間具有怎樣的關系？

①正方形的邊長與面積之間的關系

②水稻產量與施肥量之間的關系

③人的身高與年齡之間的關系

④降雪量與交通事故的發生率之間的關系

設計意圖：讓學生體會變量之間的兩類關系：函數關系和相關關系，進一步明確相關關系的概念，即“自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系”。并為后面用學生較為熟悉的函數關系來處理相對陌生的相關關系進行鋪墊。

師生活動：學生思考，然后討論交流，教師及時評價。

[問題2]在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據：

（1）對某一個人來說，他的體內脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現出一定的規律性。觀察上表中的數據，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？

（2）為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系，我們需要對數據進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關系有一個直觀的印象。其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數。以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數據對應的圖形嗎？

（3）觀察人的年齡的與人體脂肪含量散點圖的大致趨勢，有什么樣的特點？閱讀課本

P85-86，這種相關關系我們稱為什么？還有沒有其他的相關關系？它又有怎樣的特點？

設計意圖：這個問題分解成三個小問題進行。問題（1）通過研究“人體脂肪含量和年齡關系”的樣本數據，讓學生明確兩個變量具有相關關系，但這種關系的關聯強度還不得而知；問題（2）可讓學生通過作圖得出散點圖，得到散點圖的概念，并讓學生觀察散點圖來初步體會變量間相關關系的強弱程度；問題（3）讓學生進一步研究散點圖中兩個變量的圖形變化趨勢，引出正相關和負相關的概念。學生通過閱讀教材、分析概念，還能培養自學能力和數學閱讀能力。

[問題3]甲同學判斷某人年齡在65歲時體內脂肪含量百分比可能為34，乙同學判斷可能為25，而丙同學則判斷可能為37，你對甲、乙、丙三個同學的判斷有什么看法？

設計意圖：該問題具有探究性、啟發性和開放性。鼓勵學生大膽表達自己的看法。通過設計該問題，引導學生自己發現問題，注意到散點圖中點的分布具有一定規律，體會觀測點與回歸直線的關系；進而引起學生的對本節課內容的興趣。

[問題4] 反思[問題3]，你還可以提出哪些問題嗎？小組討論，看哪個小組提出的問題多。進一步提問：再看看散點圖中點的分布有什么規律嗎？ 設計意圖：通過小組討論比較，調動學生的學習積極性和興趣，活躍課堂氣氛，達到學生自己提出問題并自己想辦法解決的效果，培養學生的學生創新思維和問題意識。

[問題5] 如果用一次函數來近似地表示人體脂肪含量和年齡關系，你會選擇一個怎樣的一次函數？

設計意圖：讓學生運用圖形計算器畫出這條直線，并得到這個一次函數的表達式，然后通過觀察圖像引出線性相關關系、回歸直線和回歸方程的概念。

[問題6] 那么，我們該怎樣來求出這個回歸方程？請同學們展開討論，能得出哪些具體的方案？

設計意圖：引出下面求回歸方程的方法，體會如何選取恰當的計算方法建立回歸方程的過程。

[問題7] 怎樣用數學的方法刻畫“從整體上看，各點與此直線的距離最小”？設計意圖：學生探索得出回歸直線的系數公式和最小二乘法的定義，強調最小二乘法的思想在統計學中具有非常重要的地位。

[問題8] 從圖象和回歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關關系，那么人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量？設計意圖：讓學生學習用相關系數來衡量兩個變量之間的線性關系的強弱，會用兩個變量相關系數計算公式進行計算。

進一步總結：我們利用回歸直線對年齡與脂肪的關系做了上述分析，這種分析方法叫做線性回歸分析。利用這種分析方法可以對生活中的很多問題進行分析與預測。通過回顧和梳理，得出求回歸直線方程的步驟

[問題9] 有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經過統計，得到一個賣出的飲料杯數與當天氣溫的對比表：

（1）畫出散點圖；

（2）從散點圖中發現氣溫與熱飲銷售杯數之間關系的一般規律；

（3）求回歸方程；

（4）如果某天的氣溫是2 ℃，預測這天賣出的熱飲杯數。

設計意圖：進一步熟悉回歸分析的過程，深化對回歸分析思想的理解和觀測數據與回歸直線關系的理解。發展學生的應用意識，是高中數學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體，加深學生對回歸方程的理解，體驗數學在實際生活中的應用。

四、目標檢測設計

1、完成教材P94 第2題。設計意圖：讓學生進一步體會線性回歸思想在實際中的應用，引導學生關注社會、關注生活。

2、實習作業：收集本班男生的身高和體重的數據，并利用統計知識對收集到的數據進行分析與預測。設計意圖：作業是學生學習信息反饋，能在作業中發現和彌補教學中的不足。作業設計不僅注重對教材重點知識的復習，也應對一些學有余力的同學提出一些深入學習的建議和途徑，關注學生個體差異。