一個(gè)力學(xué)問題的數(shù)學(xué)解法

一個(gè)力學(xué)問題的數(shù)學(xué)解法

錢厚旺陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校江蘇 泰州225500)

【題目】(2014年全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽第3題)：有一個(gè)內(nèi)壁光滑的固定容器，如圖1所示，該容器的內(nèi)壁是一條拋物線繞著其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而得到的曲面．為了確定這條拋物線的方程，小明和小剛用一根長(zhǎng)度為400 mm的同樣光滑的勻質(zhì)直桿AB數(shù)次隨意放入容器之中時(shí)，發(fā)現(xiàn)盡管各次放入后桿件滑動(dòng)和滾動(dòng)的情況都不一樣，但最終靜止時(shí)與水平面的夾角每次都是45°，試確定這條拋物線的方程．

圖1

本題可用大學(xué)物理中的最小勢(shì)能原理、虛位移原理或剛體靜力學(xué)的知識(shí)分析求解，詳見解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)．但對(duì)于該題，也可以從數(shù)學(xué)的角度，用高中知識(shí)來求拋物線的方程．

解析：作出桿AB的受力情況，如圖2．根據(jù)3力匯交原理可知，桿平衡時(shí)，彈力N1，N2和重力G必相交于一點(diǎn)，記為D．

圖2

設(shè)桿AB靜止時(shí)與水平方向的夾角為α，其直線方程為y=kx+b，k=tanα．并設(shè)拋物線方程為y=ax2，桿與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1)、B(x2,y2)，質(zhì)心坐標(biāo)為C(m,n)，則有

x1+x2=2m

將質(zhì)心坐標(biāo)C(m,n)代入y=kx+b,求出

b=n-km

所以

y=kx+n-km

則直線和拋物線的交點(diǎn)滿足方程

ax2-kx-n+km=0

由韋達(dá)定理并結(jié)合質(zhì)心坐標(biāo)，有

所以

2am=k

設(shè)桿長(zhǎng)為2L，由幾何關(guān)系，有

x1=m+Lcosα

x2=m-Lcosα

則A點(diǎn)和B點(diǎn)的切線斜率分別為

2a(m+Lcosα)=2am+2aLcosα=k+2aLcosα

2a(m-Lcosα)=2am-2aLcosα=k-2aLcosα

所以AD所在的直線方程為

BD所在的直線方程為

因?yàn)锳D和BD交于直線x=m上的點(diǎn)，將x=m代入AD和BD的表達(dá)式，有

整理后可得

將2am=k及k=tanα代入，整理后有

4a2L2cos2α=tan2α+1

從而

上式給出了桿在拋物面中處于傾斜平衡時(shí)，拋物線的形狀與桿長(zhǎng)L及桿和水平方向的夾角α之間的制約關(guān)系．若已知其中的任意兩個(gè)量，便可根據(jù)上式求出第3個(gè)量．

所以拋物線的表達(dá)式為

收稿日期：(2015-04-07)