物理實驗數據處理中線性函數逐差法與平均法的關系

何述平

(西北師范大學教育學院物理教育研究所　甘肅 蘭州　730070)

物理實驗數據處理中線性函數逐差法與平均法的關系

何述平

(西北師范大學教育學院物理教育研究所甘肅 蘭州730070)

摘 要：探究了物理實驗數據處理中線性函數逐差法與平均法的關系問題，給出了細致的推證，結果表明：線性函數逐差法與平均法等效．

關鍵詞：線性函數逐差法平均法關系

1引言

物理實驗數據處理中時常遇到兩個直接測量量呈線性函數關系，因此，探究線性函數的數據處理方法具有現實意義．線性函數的數據處理基本方法(準確程度由低到高)有：圖像法、平均法、逐差法、最小二乘法，且分別有所論述[1]．然而，線性函數逐差法與平均法有無關聯？若有，具體怎樣？本文就此進行相應的探究，以明確線性函數逐差法與平均法的關系，并為進一步理解與運用逐差法或平均法進行線性函數的數據處理奠定理論基礎．

2探究

逐差法、平均法是物理實驗數據處理的基本方法，也是解決擬合(回歸)直線時方程數多于變量數的方法[1]；據此簡明、普遍推證線性函數的逐差法、平均法，進而明確其關系．設物理直接測量量x和y呈線性關系

y=a0+a1x

(1)

式中a0與a1為間接測量量(恒量)．測2n組數據(xi,yi)，i=1,2,…,2n，n≥1；依次代入式(1)，得2n個線性方程．

2.1線性函數逐差法

根據逐差法處理數據的基本思想[1]，式(1)的2n個線性方程按測量數據大小順序隔n項逐差，得

yi+n-yi=a1(xi+n-xi)

(2)

式(2)求和，得

(3)

式(1)的2n個線性方程求和，得

(4)

式(3)代入式(4)，化簡得

(5)

簡化式(5)、(3)，有

(6)

(7)

2.2線性函數平均法

根據平均法處理數據的基本思想[1]，式(1)的2n個線性方程按測量數據大小順序對半分為兩組，再分別求和，得

(8)

(9)

由式(8)、(9)得

(10)

(11)

簡化式(10)、(11)，有

(12)

(13)

2.3線性函數逐差法與平均法的關系

比較式(12)、(13)與式(6)、(7)知：線性函數逐差法、平均法的表達式相同，即對同一2n組直接測量量(xi,yi)，線性函數的a0與a1(間接測量量)的逐差法、平均法的估值相同；且有數據處理實例[1]表明線性函數逐差法、平均法對同一2n組數據給出相同的結果．因此，線性函數逐差法、平均法的效果相同，即等效．可謂異曲同工．

3討論

3.1特點

由上述推證可見：逐差法的實質是差分-平均，平均法的實質是分組-平均[1]；因此，線性函數逐差法、平均法的等效反映間接測量量對直接測量量取平均的效果[式(12)、(13)]，只是這種平均是粗略的統計平均，而非準確的統計平均(如線性函數最小二乘法)，即線性函數逐差法、平均法的等效實質是粗略的統計平均，并非某種運算巧合．

逐差法的適用條件是因變量與自變量的函數形式為多項式和自變量等間距變化[1]，因此，線性函數逐差法，若對自變量有等間距的條件，則為嚴格的逐差法；若無此條件，則為廣義的逐差法即差值法[1]．對式(1)線性函數逐差法、平均法，都要求測2n組即偶數組數據，因需同時確定兩個間接測量量a0與a1．

對式(1)的線性函數，最小二乘法的估值為[1，2]

(14)

(15)

比較式(14)、(15)與式(12)、(13)知：線性函數逐差法、平均法的表達式與最小二乘法的不同，即對同一2n組數據，逐差法、平均法處理的結果一般與最小二乘法的不同．然而，線性函數最小二乘法卻要求自變量無測量誤差、僅因變量有測量誤差或自變量的誤差限相對較小或可忽略[1，2]，且無偶數組數據的要求．

線性函數的逐差法、平均法與最小二乘法不同，但線性函數逐差法、平均法處理數據的結果與線性函數最小二乘法的卻很接近[1]；線性函數逐差法、平均法的等效實質是粗略的統計平均，因粗略而計算標準差或不確定度就沒有多大的意義[1]．因此，線性函數逐差法、平均法不失為簡便、實用的中學物理實驗數據處理的基本方法．

3.2建議

鑒于線性函數逐差法與平均法等效，因此，中學物理實驗中涉及線性函數的數據處理，既可運用逐差法，又可運用平均法(當然可運用最小二乘法)．尤其對普通高中課程標準實驗教科書中涉及的基本而重要的實驗(如測自由落體的加速度[3]、測電源的電動勢和內阻[4])，應運用線性函數逐差法或平均法處理數據，而不僅僅是運用更粗略的作圖圖像法(當然可運用準確的回歸圖像法[5])．

4結語

本文細致推證了物理實驗數據處理中線性函數逐差法與平均法的等效；討論了線性函數逐差法與平均法的等效實質、各自特點，線性函數逐差法與平均法不等效的特例及其特點，并與線性函數最小二乘法做了比較；提出了運用線性函數逐差法與平均法處理數據的建議．

本文的探究深化了線性函數逐差法與平均法的認識，奠定了合理運用線性函數逐差法或平均法處理數據的理論基礎．

參 考 文 獻

1龔鎮雄．普通物理實驗中的數據處理．西安：西北電訊工程學院出版社，1985．67～168，132，119～120，126～127，120～121，134～135，130

2朱鶴年．基礎物理實驗教程：物理測量的數據處理與實驗設計．北京：高等教育出版社，2003．67

3人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心．普通高中課程標準實驗教科書物理1(第3版)．北京：人民教育出版社，2010．44

4人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心．普通高中課程標準實驗教科書物理選修3-1(第2版)．北京：人民教育出版社，2007．69～70

5何述平．圖像法處理打點紙帶的研究．物理教師，2013，34(1)：57～60

The Relation between Successive Difference Method

and Average Method of Linear Function

in the Physical Experiment Data Processing

He Shuping

(Research Institute of Physics Education，College of Education，Northwest Normal University，Lanzhou,Gansu730070)

Abstract：This paper inquires into the relation between equaling difference method and average method of linear function in the physical experiment data processing，particular deductions are given，the results indicate that equaling difference method and average method of linear function are equivalent；and necessary discussion is made．

Key words：linear function；equaling difference method；average method；relation

收稿日期：(2015-03-30)

作者簡介：何述平(1964-)，男，碩士，副教授，從事物理教學論的理論和實驗的教學與研究工作．