正多邊形頂角和各邊帶電在中心處場強的計算

王 鵬　楊培軍

(界首市界首中學(xué)　安徽 阜陽　236500)

正多邊形頂角和各邊帶電在中心處場強的計算

王 鵬楊培軍

(界首市界首中學(xué)安徽 阜陽236500)

摘 要：在正多邊形每個頂角上各放置一個等量同種點電荷，則中心處合場強為零，對于這一結(jié)論本文給出了3種證明方法；并進而分析了正多邊形每個邊均勻帶電等情況．

關(guān)鍵詞：正五邊形正多邊形合場強點電荷對稱

正多邊形對稱性強，勻稱美觀，是一種很常見的圖形，如果讓正多邊形帶上電荷，那么其中心處的電場強度是多少呢？本文分析了幾種簡單情況．

1正多邊形各頂角均放置一等量同種點電荷

1.1問題的提出

【例1】在不少資料中，都有這樣一道題：如圖1(a)所示，A，B，C，D，E是半徑為r的圓周上等間距的5個點，在這些點上各固定一個點電荷，除A點處的電荷量為-q外，其余各點處的電荷量均為+q，則圓心O處

圖1

此題的關(guān)鍵在于證明一個結(jié)論：在正五邊形每個頂角上各放置一個等量同種點電荷[如圖1(b)]，則正五邊形中心處合場強為零．這個結(jié)論可以推廣到正n邊形的情況．本文給出了3種證明方法．

1．2結(jié)論的證明

1.2.1對稱法

先證明邊數(shù)為偶數(shù)的情況．此時正多邊形具有中心對稱性．以正六邊形為例，如圖2所示，很顯然，各點電荷在中心O點產(chǎn)生的場強兩兩抵消，中心O點的合場強為零．

圖2

綜上所述，無論正多邊形的邊數(shù)為偶數(shù)還是奇數(shù)，其中心處合場強均為零．

圖3

1.2.2圖像法

把表示場強的有向線段平移，使之成為一個首尾連接的正多邊形．

以正五邊形為例，在圖4中，任選一個場強例如E3保持不動，平移E2，在平移時要注意在圓心O處E2和E3之間的夾角為72°(圖4中α)，而正五邊形每一頂角為108°，恰好互補，因此將E2平移，使其起點為E3的終點，則E3的終點處角度恰好為108°，這說明E3的終點為正五邊形的某一頂點．然后按順時針順序依次平移E1，E5，E4，即可得到一個首尾連接的正五邊形，由此即可說明5個場強的矢量和為零．

圖4

圖5

1.2.3 平面向量法

我們直接證明正n邊形的情況(圖6)．以正n邊形中心為坐標(biāo)原點，以En所在直線為x軸，垂線為y

α2=2α，E3與x軸夾角α3=3α，……，En與x軸夾角αn=nα．令場強大小為E，接下來我們寫出每個場強在x,y軸上分向量合成的形式，在x,y軸上的單位矢量設(shè)為i,j．

圖6

E1=iEcosα+jEsinα

E2=iEcos 2α+jEsin 2α

E3=iEcos 3α+jEsin 3α

……

En=iEcosnα+jEsinnα

E合=E1+E2+E3+…+En=

iE(cosα+cos 2α+…+cosnα)+

jE(sinα+sin 2α+…+sinnα)

下面我們來證明兩個坐標(biāo)均為零．這是很著名的三角函數(shù)題，利用積化和差等三角函數(shù)公式即可計算出結(jié)果，計算細節(jié)略去．

cosα+cos 2α+…+cosnα=

(1)

sinα+sin 2α+…+sinnα=

(2)

至此我們用了3種方法證明了結(jié)論，有了這個結(jié)論，接下來很容易就解決例1這道題了，解題過程從略．

2正多邊形每個邊都均勻帶電

正多邊形每個邊都均勻帶同種電荷，電荷的線密度為λ，且電荷固定，不能自由移動，則正多邊形中心處合場強仍為零．我們用兩種方法來證明．

2. 1將問題轉(zhuǎn)化為正多邊形每個頂角上帶等量同種點電荷的情況

先來考慮某一個邊在中心處產(chǎn)生的場強．如圖7所示，由對稱性很容易看出AB邊在中心O點產(chǎn)生的場強沿AB邊中垂線方向(具體方向要看電荷的種類)，很顯然在AB邊中點處放置一適當(dāng)同種點電荷q，可以在中心O點產(chǎn)生相同的場強，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了圖7(b)的情況(正多邊形每個邊不帶電，每邊中點均放置等量同種點電荷q)，根據(jù)第一部分的結(jié)果，正多邊形中心處合場強為零．至于電荷量q是多少，我們會在第二種方法中計算．

2. 2將問題轉(zhuǎn)化為均勻帶電圓環(huán)的情況

過中心O點作正多邊形的內(nèi)切圓[圖8(a)]，半徑為R，讓該圓均勻帶電，電荷種類和線密度與正多邊形均相同．設(shè)該內(nèi)切圓與邊AB的切點為C，如圖8(b)所示，我們來證明邊AB在中心O點產(chǎn)生的場強等于均勻帶電圓弧A1B1在中心O點產(chǎn)生的場強[1]．

圖7

圖8

在邊AB上截取很短的一段DE，可視為點電荷，然后在OE上截取OF=OD，DE部分在中心O點產(chǎn)生的場強為

由此可見，線段DE與圓弧D1E1，弦D1E1在中心O點產(chǎn)生的場強相同，所以邊AB在中心O點產(chǎn)生的場強與圓弧A1B1在中心O點產(chǎn)生的場強相同，整個正多邊形在中心O點產(chǎn)生的場強與整個內(nèi)切圓在中心O點產(chǎn)生的場強相同，等于零．

接下來我們繼續(xù)計算．圓弧D1E1在中心O點產(chǎn)生的場強可以分解，由于對稱性，沿水平方向的分量會互相抵消，我們來計算豎直方向的分量．

所以圓弧A1B1在中心O點產(chǎn)生的場強等于弦A1B1(圖12中沒有畫出)在中心O點產(chǎn)生的場強．即

對于其他情況，例如正多邊形每個頂點帶不等量點電荷，也可得出相應(yīng)結(jié)果.就不一一計算了.

3 結(jié)語

從以上討論過程可以看出對稱的重要性，對稱不僅幫助我們認識現(xiàn)象的本質(zhì)，而且可以使計算大為簡化，使復(fù)雜的問題得以快速解決．對對稱性的認識我們不能停留在感性認識上，更要注意認識其內(nèi)部的對稱性，而且還要能夠充分發(fā)揮想象力，善于構(gòu)造對稱關(guān)系，以簡化解題步驟[3]．

參 考 文 獻

1程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程·電磁學(xué)篇.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2004.11

2江志云,黃麗貞.對稱性在高中物理教學(xué)中的初步研究.

收稿日期：(2015-01-16)